Строительство ADHM - ADHM construction

В математическая физика и калибровочная теория, то Строительство ADHM или же конструкция монады это конструкция всего инстантоны используя методы линейной алгебры Майкл Атья, Владимир Дринфельд, Найджел Хитчин, Юрий Иванович Манин в своей статье «Построение инстантонов».

Данные ADHM

В конструкции ADHM используются следующие данные:

• сложный векторные пространства V и W измерения k и N,
• k × k комплексные матрицы B₁, B₂, а k × N комплексная матрица я и N × k комплексная матрицаJ,
• а настоящий карта моментов ${displaystyle mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{dagger }]+[B_{2},B_{2}^{dagger }]+II^{dagger }-J^{dagger }J,}$
• а сложный карта моментов ${displaystyle displaystyle mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.}$

Тогда конструкция ADHM утверждает, что при определенных условиях регулярности

• Данный B₁, B₂, я, J такой, что ${displaystyle mu _{r}=mu _{c}=0}$, анти-самодвойственный Немедленное включение в SU (N) калибровочная теория с инстантонным номером k могут быть построены,
• Все анти-самодвойные инстантоны могут быть получены таким образом и находятся во взаимно однозначном соответствии с решениями с точностью до U (k) вращение, действующее на каждый B в присоединенное представительство и дальше я и J через фундаментальный и антифундаментальные представления
• В метрика на пространство модулей инстантонов - это то, что унаследовано от плоской метрики на B, я и J.

Обобщения

Некоммутативные инстантоны

В некоммутативный калибровочная теория, конструкция ADHM идентична, но отображение момента ${displaystyle {vec {mu }}}$ устанавливается равным автодуальной проекции матрицы некоммутативности пространства-времени, умноженной на единичная матрица. В этом случае инстантоны существуют даже тогда, когда калибровочная группа - это U (1). Некоммутативные инстантоны были открыты Никита Некрасов и Альберт Шварц в 1998 г.

Вихри

Параметр B₂ и J к нулю, получаем классическое пространство модулей неабелевых вихрей в суперсимметричный калибровочная теория с равным количеством цветов и ароматов, как было продемонстрировано в Вихри, инстантоны и браны. Обобщение на большее количество вкусов появилось в Солитоны в фазе Хиггса: матричный подход модулей. В обоих случаях Термин Файе-Илиопулоса, что определяет скварк конденсат, играет роль параметра некоммутативности в реальном отображении момента.

Формула построения

Позволять Икс быть 4-мерным Евклидово пространство-время координаты записаны в кватернионный обозначение${displaystyle x_{ij}={egin{pmatrix}z_{2}&z_{1}-{ar {z_{1}}}&{ar {z_{2}}}end{pmatrix}}.}$

Рассмотрим 2k × (N + 2k) матрица

${displaystyle Delta ={egin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}J^{dagger }&-B_{1}^{dagger }-{ar {z_{1}}}&B_{2}^{dagger }+{ar {z_{2}}}end{pmatrix}}.}$

Тогда условия ${displaystyle displaystyle mu _{r}=mu _{c}=0}$ эквивалентны условию факторизации

${displaystyle Delta Delta ^{dagger }={egin{pmatrix}f^{-1}&0�&f^{-1}end{pmatrix}}}$ куда ж(Икс) это k × k Эрмитова матрица.

Затем отшельник проекция оператор п можно построить как

${displaystyle P=Delta ^{dagger }{egin{pmatrix}f&0�&fend{pmatrix}}Delta .}$

В пустое пространство из Δ (Икс) имеет размерность N для общего Икс. Базисные векторы для этого нулевого пространства могут быть собраны в (N + 2k) × N матрица U(Икс) с условием ортонормировки U^†U = 1.

Условие регулярности ранга Δ гарантирует выполнение условия полноты

${displaystyle P+UU^{dagger }=1.,}$

Анти-самодвойственный связь затем строится из U по формуле

${displaystyle A_{m}=U^{dagger }partial _{m}U.}$

Смотрите также

• Монада (линейная алгебра)
• Твисторная теория

Рекомендации

• Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса, Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, МИСТЕР  0554924
• Атья, Майкл Фрэнсис; Дринфельд, В.; Хитчин, Н. Дж.; Манин Юрий Иванович (1978), «Построение инстантонов», Письма о физике A, 65 (3): 185–187, Bibcode:1978ФЛА ... 65..185А, Дои:10.1016 / 0375-9601 (78) 90141-Х, ISSN  0375-9601, МИСТЕР  0598562
• Хитчин, Н. (1983), «О строительстве монополей», Commun. Математика. Phys. 89, 145–190.