Уравнение Абеля первого рода - Abel equation of the first kind

Эта статья посвящена некоторым дифференциальным уравнениям. О некоторых функциональных уравнениях, названных в честь Абеля, см. Уравнение Абеля.

В математика, Уравнение Абеля первого рода, названный в честь Нильс Хенрик Абель, любой обыкновенное дифференциальное уравнение это кубический в неизвестной функции. Другими словами, это уравнение вида

${\displaystyle y'=f_{3}(x)y^{3}+f_{2}(x)y^{2}+f_{1}(x)y+f_{0}(x)\,}$

где ${\displaystyle f_{3}(x)\neq 0}$. Если ${\displaystyle f_{3}(x)=0}$ и ${\displaystyle f_{0}(x)=0}$, или ${\displaystyle f_{2}(x)=0}$ и ${\displaystyle f_{0}(x)=0}$, уравнение сводится к Уравнение Бернулли, а если ${\displaystyle f_{3}(x)=0}$ уравнение сводится к Уравнение Риккати.

Свойства

Замена ${\displaystyle y={\dfrac {1}{u}}}$ приводит уравнение Абеля первого рода к "Уравнение Абеля второго рода "формы

${\displaystyle uu'=-f_{0}(x)u^{3}-f_{1}(x)u^{2}-f_{2}(x)u-f_{3}(x).\,}$

Замена

${\displaystyle {\begin{aligned}\xi &=\int f_{3}(x)E^{2}~dx,\\[6pt]u&=\left(y+{\dfrac {f_{2}(x)}{3f_{3}(x)}}\right)E^{-1},\\[6pt]E&=\exp \left(\int \left(f_{1}(x)-{\frac {f_{2}^{2}(x)}{3f_{3}(x)}}\right)~dx\right)\end{aligned}}}$

приводит уравнение Абеля первого рода к каноническому виду

${\displaystyle u'=u^{3}+\phi (\xi ).\,}$

Димитриос Э. Панайотоунакос и Теодорос И. Зармпутис открыл аналитический метод решения вышеуказанного уравнения в целом.^[1]

Заметки

1. Panayotounakos, Dimitrios E .; Зармпутис, Теодорос И. (2011). «Построение точных параметрических или замкнутых решений некоторых неразрешимых классов нелинейных ОДУ (нелинейных ОДУ Абеля первого рода и относительных вырожденных уравнений)». Международный журнал математики и математических наук. Хиндави Издательская Корпорация. 2011: 1–13. Дои:10.1155/2011/387429.

использованная литература

• О решении невынужденного демпфированного осциллятора затяжки без члена линейной жесткости^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Построение точных параметрических или замкнутых решений некоторых неразрешимых классов нелинейных ОДУ (нелинейных ОДУ Абеля первого рода и относительных вырожденных уравнений)
• Манкас, Стефан К., Рошу, Харет К., Интегрируемые диссипативные нелинейные дифференциальные уравнения второго порядка через факторизации и уравнения Абеля. Письма по физике A 377 (2013) 1434–1438. [arXiv.org:1212.3636v3]