Модель активного контура - Active contour model

Модель активного контура, также называемый змеи, это фреймворк в компьютерное зрение представлен Майкл Касс, Андрей Уиткин, и Деметри Терзопулос ^[1] для выделения контура объекта из возможного шумный 2D изображение. Модель змей популярна в компьютерном зрении, а змеи широко используются в таких приложениях, как отслеживание объектов, распознавание форм и т. Д. сегментация, обнаружение края и стерео согласование.

Змея - минимизирующая энергию, деформируемая сплайн под влиянием ограничений и сил изображения, которые притягивают его к контурам объекта, и внутренних сил, сопротивляющихся деформации. Змеи можно рассматривать как частный случай общей техники согласования деформируемой модели с изображением посредством минимизации энергии.^[1] В двух измерениях активная модель формы представляет собой дискретную версию этого подхода, использующую преимущества модель распределения точек чтобы ограничить диапазон формы явной областью, полученной из обучающего набора.

Змеи - активные деформируемые модели

Змеи не решают всей проблемы нахождения контуров на изображениях, так как метод требует заранее знать желаемую форму контура. Скорее, они зависят от других механизмов, таких как взаимодействие с пользователем, взаимодействие с некоторым процессом понимания изображения более высокого уровня или информация из данных изображения, смежных во времени или пространстве.

Мотивация

В компьютерном зрении контурные модели описывают границы форм на изображении. Змеи, в частности, предназначены для решения задач, в которых известна приблизительная форма границы. Будучи деформируемой моделью, змеи могут приспосабливаться к различиям и шуму при стереосогласовании и отслеживании движения. Дополнительно метод может найти Иллюзорные контуры на изображении, игнорируя отсутствующую информацию о границах.

По сравнению с классическими методами извлечения признаков у змей есть несколько преимуществ:

• Они автономно и адаптивно ищут состояние минимума.
• Силы внешнего изображения действуют на змею интуитивно.
• Включение сглаживания по Гауссу в функцию энергии изображения вводит масштабную чувствительность.
• Их можно использовать для отслеживания динамических объектов.

Основные недостатки традиционных змей:

• Они чувствительны к состояниям локальных минимумов, которым можно противодействовать с помощью методов моделирования отжига.
• При минимизации энергии по всему контуру часто игнорируются мелкие детали.
• Их точность зависит от политики конвергенции.^[2]

Формулировка энергии

Простая эластичная змея определяется набором п точки ${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$ за ${\displaystyle i=0,\ldots ,n-1}$, член внутренней упругой энергии ${\displaystyle E_{\text{internal}}}$, и член внешней энергии на краю ${\displaystyle E_{\text{external}}}$. Назначение члена внутренней энергии состоит в том, чтобы управлять деформациями змеи, а цель члена внешней энергии - контролировать подгонку контура к изображению. Внешняя энергия обычно представляет собой комбинацию сил, обусловленных самим изображением. ${\displaystyle E_{\text{image}}}$ и силы ограничения, введенные пользователем ${\displaystyle E_{\text{con}}}$

Энергетическая функция змеи - это сумма ее внешней энергии и внутренней энергии, или

${\displaystyle E_{\text{snake}}^{*}=\int \limits _{0}^{1}E_{\text{snake}}(\mathbf {v} (s))\,ds=\int \limits _{0}^{1}(E_{\text{internal}}(\mathbf {v} (s))+E_{\text{image}}(\mathbf {v} (s))+E_{\text{con}}(\mathbf {v} (s)))\,ds}$

Внутренняя энергия

Внутренняя энергия змеи складывается из непрерывности контура ${\displaystyle E_{\text{cont}}}$ и гладкость контура ${\displaystyle E_{\text{curv}}}$.

${\displaystyle E_{\text{internal}}=E_{\text{cont}}+E_{\text{curv}}}$ ^[3]

Это можно расширить как

${\displaystyle E_{\text{internal}}={\frac {1}{2}}(\alpha \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{s}(s)\right\vert ^{2})+{\frac {1}{2}}(\beta \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{ss}(s)\right\vert ^{2})={\frac {1}{2}}{\bigg (}\alpha \,\!(s)\left\|{\frac {d{\bar {v}}}{ds}}(s)\right\Vert ^{2}+\beta \,\!(s)\left\|{\frac {d^{2}{\bar {v}}}{ds^{2}}}(s)\right\Vert ^{2}{\bigg )}}$

куда ${\displaystyle \alpha (s)}$ и ${\displaystyle \beta (s)}$ - веса, определяемые пользователем; они управляют чувствительностью функции внутренней энергии к величине растяжения змейки и величине кривизны змейки, соответственно, и тем самым контролируют количество ограничений на форму змейки.

На практике большой вес ${\displaystyle \alpha (s)}$ поскольку термин непрерывности наказывает изменения расстояний между точками контура. Большой вес ${\displaystyle \beta (s)}$ поскольку термин «гладкость» снижает колебания контура и заставляет контур действовать как тонкая пластина.

Энергия изображения

Энергия изображения - это некоторая функция характеристик изображения. Это одна из наиболее частых модификаций производных методов. Элементы изображений и самих изображений можно обрабатывать множеством различных способов.

Для изображения ${\displaystyle I(x,y)}$, линий, краев и окончаний, присутствующих на изображении, общая формулировка энергии из-за изображения

${\displaystyle E_{\text{image}}=w_{\text{line}}E_{\text{line}}+w_{\text{edge}}E_{\text{edge}}+w_{\text{term}}E_{\text{term}},}$

куда ${\displaystyle w_{\text{line}}}$, ${\displaystyle w_{\text{edge}}}$, ${\displaystyle w_{\text{term}}}$ веса этих характерных черт. Более высокие веса указывают на то, что характерный элемент будет иметь больший вклад в силу изображения.

Линия функциональная

Линейный функционал - это интенсивность изображения, которую можно представить как

${\displaystyle E_{\text{line}}=I(x,y)}$

Знак ${\displaystyle w_{\text{line}}}$ определит, будет ли линия притягиваться темными или светлыми линиями.

На изображении может быть использовано сглаживание или шумоподавление, после чего линейный функционал выглядит как

${\displaystyle E_{\text{line}}=\operatorname {filter} (I(x,y))}$

Edge функционал

Функционал краев основан на градиенте изображения. Одна из реализаций этого -

${\displaystyle E_{\text{edge}}=-\left|\nabla I(x,y)\right\vert ^{2}.}$

Змея, исходящая далеко от желаемого контура объекта, может ошибочно сходиться к некоторому локальному минимуму. Чтобы избежать этих локальных минимумов, можно использовать продолжение пространства масштаба. Это достигается за счет использования фильтра размытия на изображении и уменьшения степени размытия по мере выполнения расчетов для уточнения соответствия змейки. Функционал энергии с использованием продолжения масштабного пространства равен

${\displaystyle E_{\text{edge}}=-\left|G_{\sigma }\cdot \nabla ^{2}I\right\vert ^{2}}$

куда ${\displaystyle G_{\sigma }}$ гауссиан со стандартным отклонением ${\displaystyle \sigma }$. Минимумы этой функции приходятся на нулевые переходы из ${\displaystyle G_{\sigma }\,\nabla ^{2}I}$ которые определяют края согласно Марр-Хилдрет теория.

Завершение функциональное

Кривизну линий уровня на слегка сглаженном изображении можно использовать для определения углов и концов изображения. Используя этот метод, пусть ${\displaystyle C(x,y)}$ быть сглаженным изображением

${\displaystyle C(x,y)=G_{\sigma }\cdot I(x,y)}$

с углом наклона

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {C_{y}}{C_{x}}}\right),}$

единичные векторы вдоль направления градиента

${\displaystyle \mathbf {n} =(\cos \theta ,\sin \theta ),}$

и единичные векторы, перпендикулярные направлению градиента

${\displaystyle \mathbf {n} _{\perp }=(-\sin \theta ,\cos \theta ).}$

Функционал прекращения энергии можно представить в виде

${\displaystyle E_{\text{term}}={\partial \theta \over \partial n_{\perp }}={\partial ^{2}C/\partial n_{\perp }^{2} \over \partial C/\partial n}={{C_{yy}C_{x}^{2}-2C_{xy}C_{x}C_{y}+C_{xx}C_{y}^{2}} \over (C_{x}^{2}+C_{y}^{2})^{3/2}}}$

Энергия ограничения

Некоторые системы, включая исходную реализацию змей, позволяли взаимодействовать с пользователем, чтобы направлять змей не только в исходное положение, но и с точки зрения их энергии. Такая энергия ограничения ${\displaystyle E_{con}}$ может использоваться для интерактивного направления змей к определенным объектам или от них.

Оптимизация за счет градиентного спуска

Учитывая начальное предположение о змеи, функция энергии змеи итеративно минимизируется. Градиентный спуск минимизация - одна из простейших оптимизаций, которые можно использовать для минимизации энергии змеи.^[4] Каждая итерация делает один шаг в отрицательном градиенте точки с контролируемым размером шага. ${\displaystyle \gamma }$ найти локальные минимумы. Эта минимизация градиентного спуска может быть реализована как

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}\leftarrow {\bar {v}}_{i}+F_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})}$

Где ${\displaystyle F_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})}$ - сила, действующая на змейку, которая определяется отрицательной величиной градиента энергетического поля.

${\displaystyle F_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})=-\nabla E_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})=-{\Bigg (}w_{\text{internal}}\,\nabla E_{\text{internal}}({\bar {v}}_{i})+w_{\text{external}}\,\nabla E_{\text{external}}({\bar {v}}_{i}){\Bigg )}}$

Предполагая веса ${\displaystyle \alpha (s)}$ и ${\displaystyle \beta (s)}$ постоянны относительно ${\displaystyle s}$, этот итерационный метод можно упростить до

${\displaystyle {\bar {v}}_{i}\leftarrow {\bar {v}}_{i}-\gamma {\Bigg \{}w_{\text{internal}}{\bigg [}\alpha {\frac {\partial ^{2}{\bar {v}}}{\partial s^{2}}}({\bar {v}}_{i})+\beta {\frac {\partial ^{4}{\bar {v}}}{\partial s^{4}}}({\bar {v}}_{i}){\bigg ]}+\nabla E_{\text{ext}}({\bar {v}}_{i}){\Bigg \}}}$

Дискретное приближение

На практике изображения имеют конечное разрешение и могут быть интегрированы только за конечные временные интервалы. ${\displaystyle \tau }$. Таким образом, для практической реализации змей должны быть сделаны дискретные приближения.

Энергетическая функция змеи может быть аппроксимирована с помощью дискретных точек на змеи.

${\displaystyle E_{\text{snake}}^{*}\approx \sum _{1}^{n}E_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i})}$

Следовательно, силы змеи можно аппроксимировать как

${\displaystyle F_{\text{snake}}^{*}\approx -\sum _{i=1}^{n}\nabla E_{\text{snake}}({\bar {v}}_{i}).}$

Градиентная аппроксимация может быть сделана любым методом конечной аппроксимации относительно s, Такие как Конечная разница.

Числовая нестабильность из-за дискретного времени

Введение дискретного времени в алгоритм может вводить обновления, которые перемещают змейку за минимумы, к которым она привлекается; это в дальнейшем может вызвать колебания вокруг минимумов или привести к обнаружению других минимумов.

Этого можно избежать, настроив временной шаг таким образом, чтобы размер шага никогда не превышал пиксель из-за сил изображения. Однако в областях с низким энергопотреблением при обновлении будут преобладать внутренние энергии.

В качестве альтернативы, силы изображения могут быть нормализованы для каждого шага, так что силы изображения обновляют змейку только на один пиксель. Это можно сформулировать как

${\displaystyle F_{\text{image}}=-k{\frac {\nabla E_{\text{image}}}{\|\nabla E_{\text{image}}\|}}}$

куда ${\displaystyle \tau k}$ близка к значению размера пикселя. Это позволяет избежать проблемы доминирования внутренних энергий, возникающей при настройке временного шага.^[5]

Числовая нестабильность из-за дискретного пространства

Энергии в непрерывном изображении могут иметь нулевые переходы, которые не существуют в виде пикселя в изображении. В этом случае точка змейки будет колебаться между двумя пикселями, которые находятся рядом с этим переходом через нуль. Этого колебания можно избежать, используя интерполяцию между пикселями вместо ближайшего соседа.^[5]

Выполнение

Следующее псевдокод реализует метод змей в общем виде

функцияv =змеи (Я, в)% INPUT: N на M изображение I, контур v из n контрольных точек  % OUTPUT: сходящийся контур v из n контрольных точек  E_image = generateImageEnergy (я);  пока не сходится    F_cont = масса.альфа * contourDerivative(v, 2);    F_curv = масса.бета * contourDerivative(v, 4);    F_image = Interp2 (E_image, v(:,2), v(:,1));    F_image_norm = масса.k * F_image ./ норма (F_image);    F_con = inputForces();    F_internal = F_cont + масса.внешний * F_curv;    F_external = масса.внешний * (F_image + F_con);    v = updateSnake(v, F_internal, F_external);    checkConvergence ();  конецконец

Где generateImageEnergy (I) можно записать как

функцияE_image =generateImageEnergy (я)[C, Сх, Сай, Cxx, Cxy, Cyy] = generateGradients (я);  E_line = я;  E_edge = -(Сх.^2 + Сай.^2)^0.5;  E_term = (Cyy.*Сх.^2 - 2*Cxy.*Сх.*Сай + Cxx.*Сай.^2)./((1 + Сх.^2 + Сай.^2).^(1.5));  E_image = масса.линия * E_line + масса.край * E_edge + масса.срок * E_term;конец

Некоторые варианты змей

Метод змей по умолчанию имеет различные ограничения и угловые случаи, когда сходимость работает плохо. Существует несколько альтернатив, которые решают проблемы метода по умолчанию, хотя и со своими собственными компромиссами. Некоторые из них перечислены здесь.

Модель змеи GVF

В векторный градиент потока (GVF) модель змеи^[6] решает две проблемы со змеями:

• низкая производительность сходимости для вогнутых границ
• низкая производительность сходимости при инициализации змейки далеко от минимума

В 2D векторное поле GVF ${\displaystyle F_{\text{GVF}}}$ минимизирует функционал энергии

${\displaystyle E_{\text{GVF}}=\iint \mu (u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+|\nabla f|^{2}|\mathbf {v} -\nabla f|^{2}\,dx\,dy}$

куда ${\displaystyle \mu }$ - управляемый сглаживающий член. Это можно решить, решив уравнения Эйлера

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}u-{\Bigg (}u-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}v-{\Bigg (}v-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

Это может быть решено путем итераций к установившемуся значению.

${\displaystyle u_{i+1}=u_{i}+\mu \,\nabla ^{2}u_{i}-{\Bigg (}u_{i}-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+\mu \,\nabla ^{2}v_{i}-{\Bigg (}v_{i}-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

Этот результат заменяет внешнюю силу по умолчанию.

${\displaystyle F_{\text{ext}}^{*}=F_{\text{GVF}}}$

Основная проблема с использованием GVF - это условие сглаживания ${\displaystyle \mu }$ вызывает закругление краев контура. Снижение стоимости ${\displaystyle \mu }$ уменьшает округление, но ослабляет степень сглаживания.

Модель воздушного шара

Модель воздушного шара^[5] решает эти проблемы с помощью активной модели контура по умолчанию:

• Далекие края змейки не привлекают.
• Змея сожмется внутрь, если на нее не действуют существенные силы изображения.
• змейка, размер которой превышает контур минимума, в конечном итоге сжимается в нее, но змейка, размер которой меньше контура минимума, не найдет минимума и вместо этого продолжит сжиматься.

Модель воздушного шара вводит инфляционный член в силы, действующие на змею.

${\displaystyle F_{\text{inflation}}=k_{1}{\vec {n}}(s)}$

куда ${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$ нормальный унитарный вектор кривой в точке ${\displaystyle v(s)}$ и ${\displaystyle k_{1}}$ - величина силы. ${\displaystyle k_{1}}$ должен иметь ту же величину, что и коэффициент нормализации изображения ${\displaystyle k}$ и быть меньше по стоимости, чем ${\displaystyle k}$ чтобы силы на краях изображения преодолевали силу накачивания.

При использовании модели воздушного шара возникают три проблемы:

• Вместо того, чтобы сжиматься, змейка расширяется до минимумов и не находит контуров минимумов меньше их.
• Внешняя сила приводит к тому, что контур немного больше фактических минимумов. Это можно решить, уменьшив силу баллона после того, как будет найдено стабильное решение.
• Сила накачивания может пересилить силы от слабых краев, усугубляя проблему из-за того, что змеи игнорируют более слабые элементы изображения.

Модель диффузных змей

Модель диффузной змеи^[7] устраняет чувствительность змей к шуму, беспорядку и непрозрачности. Реализует модификацию Функционал Мамфорда – Шаха и его предел мультипликации и включает статистические знания формы. Функционал энергии изображения по умолчанию ${\displaystyle E_{\text{image}}}$ заменяется на

${\displaystyle E_{\text{image}}^{*}=E_{i}+\alpha E_{c}}$

куда ${\displaystyle E_{i}}$ основан на модифицированном функционале Мамфорда – Шаха

${\displaystyle E[J,B]={\frac {1}{2}}\int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,d{\vec {x}}+\lambda {\frac {1}{2}}\int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\,d{\vec {x}}+\nu \int _{0}^{1}{\Bigg (}{\frac {d}{ds}}B(s){\Bigg )}^{2}\,ds}$

куда ${\displaystyle J({\vec {x}})}$ - кусочно гладкая модель изображения ${\displaystyle I({\vec {x}})}$ домена ${\displaystyle D}$. Границы ${\displaystyle B(s)}$ определены как

${\displaystyle B(s)=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}B_{n}(s)}$

куда ${\displaystyle B_{n}(s)}$ являются квадратичными базисными B-сплайн-функциями и ${\displaystyle {\vec {p}}_{n}}$ являются контрольными точками шлицев. Модифицированный предел мультипликации получается как ${\displaystyle \lambda \to \infty }$ и является допустимой конфигурацией ${\displaystyle E_{i}}$.

Функционал ${\displaystyle E_{c}}$ основан на обучении по бинарным изображениям различных контуров и контролируется по силе параметром ${\displaystyle \alpha }$. Для гауссовского распределения векторов контрольных точек ${\displaystyle {\vec {z}}}$ со средним вектором контрольной точки ${\displaystyle {\vec {z}}_{0}}$ и ковариационная матрица ${\displaystyle \Sigma }$ квадратичная энергия, соответствующая гауссовской вероятности, равна

${\displaystyle E_{c}({\vec {z}})={\frac {1}{2}}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})^{t}\Sigma ^{*}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})}$

Сила этого метода зависит от мощности обучающих данных, а также от настройки модифицированного функционала Мамфорда – Шаха. Для разных змей потребуются разные наборы данных для обучения и настройки.

Геометрические активные контуры

Геометрический активный контур или геодезический активный контур (GAC)^[8] или конформные активные контуры^[9] использует идеи из Сокращение евклидовой кривой эволюция. Контуры разделяются и объединяются в зависимости от обнаружения объектов на изображении. Эти модели во многом вдохновлены наборы уровней, и широко использовались в обработка медицинских изображений.

Например, уравнение эволюции кривой градиентного спуска GAC имеет вид ^[8]

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=g(I)(c+\kappa ){\vec {N}}-\langle \,\nabla g,{\vec {N}}\rangle {\vec {N}}}$

куда ${\displaystyle g(I)}$ это функция остановки, c множитель Лагранжа, ${\displaystyle \kappa }$ кривизна, а ${\displaystyle {\vec {N}}}$ - это единица, направленная внутрь нормально. Эта конкретная форма уравнения эволюции кривой зависит только от скорости в нормальном направлении. Следовательно, его можно эквивалентно переписать в эйлеровой форме, вставив функция установки уровня ${\displaystyle \Phi }$ в него следующим образом

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=|\nabla \Phi |\operatorname {div} {\Bigg (}g(I){\frac {\nabla \Phi }{|\nabla \Phi |}}{\Bigg )}+cg(I)|\nabla \Phi |}$

Это простое, но мощное преобразование набора уровней позволяет активным контурам обрабатывать изменения топологии во время эволюции кривой градиентного спуска. Он вдохновил на огромный прогресс в смежных областях, и использование численных методов для решения переформулировки набора уровней теперь широко известно как метод установки уровня. Хотя метод установки уровня стал довольно популярным инструментом для реализации активных контуров, Ван и Чан утверждали, что не все уравнения эволюции кривых должны быть напрямую решено этим.^[10]

Более поздние разработки в области активных контуров касаются моделирования региональных свойств, включения априорных значений гибкой формы и полностью автоматической сегментации и т. Д.

Статистические модели, сочетающие локальные и глобальные особенности, были сформулированы Лэнктоном и Аллен Танненбаум.^[11]

Связь с разрезами графа

Разрезы графа, или же макс. расход / мин. резка, является общим методом минимизации особой формы энергии, называемой энергией марковского случайного поля (MRF). Метод разрезов графика также применялся к сегментации изображения, и иногда он превосходит метод установки уровня, когда модель является MRF или может быть аппроксимирована MRF.

Рекомендации

1. Касс, М .; Виткин, А.; Терзопулос, Д. (1988). «Змеи: активные контурные модели» (PDF). Международный журнал компьютерного зрения. 1 (4): 321. CiteSeerX  10.1.1.124.5318. Дои:10.1007 / BF00133570. Архивировано из оригинал (PDF) на 2016-01-12. Получено 2015-08-29.
2. Змеи: активная модель, Рамани Пичумани, http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/RAMANI1/node31.html
3. Д-р Джордж Бебис, Университет Невады, http://www.cse.unr.edu/~bebis/CS791E/Notes/DeformableContours.pdf
4. Понимание изображения, Брайан С. Морс, Университет Бригама Янга, 1998–2000 гг. http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/MORSE/iu.pdf
5. Лоран Д. Коэн, Об активных контурных моделях и воздушных шарах, CVGIP: Image Understanding, Volume 53, Issue 2, March 1991, Pages 211–218, ISSN 1049-9660, Дои:10.1016 / 1049-9660 (91) 90028-Н
6. Ч. Сюй и Дж. Л. Принс, "Векторный градиентный поток: новая внешняя сила для змей", Proc. IEEE Conf. на комп. Vis. Патт. Recog. (CVPR), Лос-Аламитос: Comp. Soc. Press, стр. 66–71, июнь 1997 г., http://iacl.ece.jhu.edu/pubs/p087c.pdf
7. Cremers, D .; Schnorr, C .; Вейкерт, Дж. (2001). Диффузионные змеи: объединение статистических данных о формах и информации об изображениях в вариационной структуре. Ход работы. Семинар IEEE по. 50. С. 137–144. CiteSeerX  10.1.1.28.3639. Дои:10.1109 / VLSM.2001.938892. ISBN  978-0-7695-1278-5.
8. Геодезические активные контуры, В. Казеллес, Р. Киммель, Дж. Сапиро http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.21.2196
9. Потоки конформной кривизны: от фазовых переходов к активному зрению, Сатьянад Киченассами, Арун Кумар, Питер Олвер, Аллен Танненбаум и Энтони Йеззи https://doi.org/10.1007%2FBF00379537
10. Ван, Цзюньянь; Чан, Кап Лук (2014-07-08). «Активный контур с тангенциальной составляющей». Журнал математической визуализации и зрения. 51 (2): 229–247. arXiv:1204.6458. Дои:10.1007 / s10851-014-0519-у. ISSN  0924-9907.
11. Lankton, S .; Танненбаум, А., «Локализация активных контуров на основе области», Обработка изображений, IEEE Transactions on, том 17, № 11, стр. 2029,2039, ноябрь 2008 г. doi: 10.1109 / TIP.2008.2004611 http://ieeexplore.ieee.org/xpls/abs_all.jsp?arnumber=4636741&tag=1

внешняя ссылка

• Дэвид Янг, март 1995 г.
• Змеи: Active Contours, CVOnline
• Активные контуры, деформируемые модели и векторный градиент потока Чэньян Сюй и Джерри Принс, включая загрузку кода
• ICBE, Манчестерский университет
• Внедрение активных контуров и графический интерфейс тестовой платформы
• Простая реализация змей доцент Крис Луенго
• Документация MATLAB для активного контура, которая сегментирует изображение с использованием активных контуров

Образец кода

• Практические примеры разных змей разработан Сюй и Принс
• Базовый инструмент для игры со змеями (активные контурные модели) от Тима Кутса, Манчестерский университет
• Реализация в Matlab 2D и 3D змеи, включая GVF и баллонную силу
• Демо Matlab Snake Крис Бреглер и Малкольм Слейни, Interval Research Corporation.
• Демонстрация использования Java
• Внедрение Active Contours и графический интерфейс тестовой платформы Николай С. и Алекс Блехман, реализующие «Активные контуры без краев»
• Активная сегментация контура Автор: Шон Лэнктон, внедряющий «Активные контуры без краев»
• Геометрический код активного контура Ярно Ралли
• Морфологические змеи