Обнаружение края - Edge detection

Обнаружение края включает в себя множество математических методов, направленных на определение точек в цифровое изображение на котором яркость изображения меняется резко или, говоря более формально, имеет прерывности. Точки, в которых яркость изображения резко изменяется, обычно объединяются в набор изогнутых линейных сегментов, называемых края. Та же проблема поиска разрывов в одномерных сигналах известна как обнаружение шагов и проблема обнаружения разрывов сигнала с течением времени известна как обнаружение изменений. Обнаружение краев - фундаментальный инструмент в обработка изображений, машинное зрение и компьютерное зрение, особенно в областях обнаружение функции и извлечение признаков.^[1]

Мотивации

Обнаружение хитрых краев применяется к фотографии

Цель обнаружения резких изменений яркости изображения состоит в том, чтобы зафиксировать важные события и изменения в свойствах мира. Можно показать, что при довольно общих предположениях для модели формирования изображения неоднородности яркости изображения, вероятно, будут соответствовать:^[2][3]

• неоднородности по глубине,
• неоднородности ориентации поверхности,
• изменения свойств материалов и
• вариации освещения сцены.

В идеальном случае результат применения детектора края к изображению может привести к набору связанных кривых, которые указывают границы объектов, границ маркировки поверхности, а также кривых, которые соответствуют неоднородностям ориентации поверхности. алгоритм обнаружения краев изображения может значительно уменьшить объем данных, которые необходимо обработать, и, следовательно, может отфильтровать информацию, которая может считаться менее актуальной, при сохранении важных структурных свойств изображения. Если этап обнаружения краев успешен, Следовательно, последующая задача интерпретации информационного содержания в исходном изображении может быть существенно упрощена. Однако не всегда возможно получить такие идеальные края из реальных изображений средней сложности.

Края, извлеченные из нетривиальных изображений, часто затруднены фрагментация, что означает, что кромочные кривые не соединены, отсутствуют кромочные сегменты, а также ложные края не соответствует интересным явлениям на изображении, что усложняет последующую задачу интерпретации данных изображения.^[4]

Обнаружение краев - один из основных этапов обработки изображений, анализа изображений, распознавания образов изображений и методов компьютерного зрения.

Свойства края

Края, извлеченные из двухмерного изображения трехмерной сцены, можно классифицировать как зависимые от точки обзора или независимые от точки обзора. независимый край точки обзора обычно отражает присущие трехмерным объектам свойства, такие как маркировка и форма поверхности. край, зависимый от точки обзора может изменяться при изменении точки обзора и обычно отражает геометрию сцены, например, объекты, перекрывающие друг друга.

Типичный край может быть, например, границей между блоком красного цвета и блоком желтого цвета. В отличие от линия (как можно извлечь из детектор гребня ) может быть небольшое количество пиксели другого цвета на неизменном фоне. Поэтому для линии обычно может быть по одному краю с каждой стороны линии.

Простая краевая модель

Хотя в определенной литературе рассматривается обнаружение идеальных краев ступенек, края, полученные из естественных изображений, обычно вовсе не являются идеальными краями ступенек. Вместо этого они обычно подвержены одному или нескольким из следующих эффектов:

• фокусное размытие, вызванное конечным глубина резкости и конечный функция разброса точки.
• полутеневое размытие вызванные тенями, создаваемыми источниками света ненулевого радиуса.
• затенение на гладком объекте

Ряд исследователей использовали сглаженный по Гауссу край ступени (функция ошибок) как простейшее расширение модели идеального края ступени для моделирования эффектов размытия края в практических приложениях.^[4][5]Таким образом, одномерное изображение ${\displaystyle f}$ у которого ровно одно ребро размещено на ${\displaystyle x=0}$ можно смоделировать как:

${\displaystyle f(x)={\frac {I_{r}-I_{\ell }}{2}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {x}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right)+1\right)+I_{\ell }.}$

Слева от края интенсивность равна ${\displaystyle I_{\ell }=\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)}$, а справа от края это${\displaystyle I_{r}=\lim _{x\rightarrow \infty }f(x)}$. Параметр масштаба ${\displaystyle \sigma }$ называется масштабом размытия края. В идеале этот масштабный параметр следует настраивать в зависимости от качества изображения, чтобы избежать искажения истинных краев изображения.^{[нужна цитата ]}

Почему это нетривиальная задача

Чтобы проиллюстрировать, почему обнаружение краев является нетривиальной задачей, рассмотрим проблему обнаружения краев в следующем одномерном сигнале. Здесь мы можем интуитивно сказать, что должна быть граница между 4-м и 5-м пикселями.

5	7	6	4	152	148	149

Если бы разница в яркости была меньше между 4-м и 5-м пикселями и если бы разница в яркости между соседними соседними пикселями была больше, было бы не так просто сказать, что в соответствующей области должен быть край. Более того, можно утверждать, что в этом случае имеется несколько ребер.

5	7	6	41	113	148	149

Следовательно, твердо установить конкретный порог того, насколько большим должно быть изменение интенсивности между двумя соседними пикселями, чтобы мы могли сказать, что между этими пикселями должен быть край, не всегда просто.^[4] Действительно, это одна из причин, по которой обнаружение краев может быть нетривиальной проблемой, если только объекты в сцене не являются особенно простыми и условиями освещения можно хорошо управлять (см., Например, края, извлеченные из изображения с девушкой выше. ).

Подходы

Существует множество методов обнаружения краев, но большинство из них можно сгруппировать в две категории: на основе поиска и переход через ноль Методы, основанные на поиске, обнаруживают края, сначала вычисляя меру силы края, обычно выражение производной первого порядка например, величина градиента, а затем поиск локальных направленных максимумов величины градиента с использованием вычисленной оценки локальной ориентации края, обычно направления градиента. Методы, основанные на пересечении нуля, ищут пересечения нуля в выражение производной второго порядка вычисляется из изображения, чтобы найти края, обычно нулевые пересечения Лапласиан или переходы через нуль нелинейного дифференциального выражения. В качестве этапа предварительной обработки для обнаружения краев этап сглаживания, обычно Гауссовский сглаживание, применяется почти всегда (см. также подавление шума ).

Опубликованные методы обнаружения кромок в основном различаются типами применяемых сглаживающих фильтров и способом вычисления показателей силы кромок. Поскольку многие методы обнаружения краев полагаются на вычисление градиентов изображения, они также различаются типами фильтров, используемых для вычисления оценок градиента в Икс- и у-направления.

Обзор ряда различных методов обнаружения краев можно найти в (Ziou and Tabbone 1998);^[6] см. также статьи энциклопедии об обнаружении краев в Энциклопедия математики^[3] и Энциклопедия компьютерных наук и инженерии.^[7]

Canny

Основная статья: Детектор Canny Edge

Джон Кэнни рассмотрена математическая проблема получения оптимального сглаживающего фильтра с учетом критериев обнаружения, локализации и минимизации множественных откликов на одно ребро.^[8] Он показал, что оптимальный фильтр с учетом этих предположений представляет собой сумму четырех экспоненциальных членов. Он также показал, что этот фильтр может быть хорошо аппроксимирован производными первого порядка от гауссианов. Кэнни также ввел понятие немаксимального подавления, что означает, что с учетом фильтров предварительного сглаживания граничные точки определяются как точки, в которых величина градиента принимает локальное значение. Максимум в направлении градиента. Поиск пересечения нуля второй производной вдоль направления градиента был впервые предложен Харалик.^[9]Менее чем за два десятилетия потребовалось найти современное геометрическое вариационное значение для этого оператора, связывающего его с Марр-Хилдрет (переход через нуль лапласиана) краевой детектор. Рон Киммел и Альфред Брукштейн.^[10]

Хотя его работа была сделана в первые дни компьютерного зрения, Детектор Canny Edge (включая его вариации) по-прежнему остается передовым детектором кромок.^[11] Детекторы фронтов, которые работают лучше, чем Canny, обычно требуют большего времени вычислений или большего количества параметров.

Детектор Кэнни-Дериша был получен на основе тех же математических критериев, что и детектор границ Кэнни, хотя начинался с дискретной точки зрения и затем приводил к набору рекурсивных фильтров для сглаживания изображения вместо экспоненциальные фильтры или гауссовские фильтры.^[12]

В дифференциальный детектор края описанное ниже, можно рассматривать как переформулировку метода Кэнни с точки зрения дифференциальных инвариантов, вычисленных из представление масштабного пространства что дает ряд преимуществ как с точки зрения теоретического анализа, так и с точки зрения реализации субпикселей. В этом аспекте Фильтр Log Gabor было показано, что это хороший выбор для выделения границ в естественных сценах.^[13]

Другие методы первого порядка

Для оценки градиентов изображения из входного изображения или его сглаженной версии могут применяться различные операторы градиента. Самый простой подход - использовать центральные различия:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}(x,y)&=-{\frac {1}{2}}L(x-1,y)+0\cdot L(x,y)+{\frac {1}{2}}\cdot L(x+1,y)\\[8pt]L_{y}(x,y)&=-{\frac {1}{2}}L(x,y-1)+0\cdot L(x,y)+{\frac {1}{2}}\cdot L(x,y+1),\end{aligned}}}$

соответствующий применению следующих масок фильтра к данным изображения:

${\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}+1/2&0&-1/2\end{bmatrix}}L\quad {\text{and}}\quad L_{y}={\begin{bmatrix}+1/2\\0\\-1/2\end{bmatrix}}L.}$

Известные и ранее Оператор Собеля основан на следующих фильтрах:

${\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}+1&0&-1\\+2&0&-2\\+1&0&-1\end{bmatrix}}L\quad {\text{and}}\quad L_{y}={\begin{bmatrix}+1&+2&+1\\0&0&0\\-1&-2&-1\end{bmatrix}}L.}$

Учитывая такие оценки первого порядка производные изображения, величина градиента затем вычисляется как:

${\displaystyle |\nabla L|={\sqrt {L_{x}^{2}+L_{y}^{2}}}}$

а ориентацию градиента можно оценить как

${\displaystyle \theta =\operatorname {atan2} (L_{y},L_{x}).}$

Другие операторы разности первого порядка для оценки градиента изображения были предложены в Оператор Prewitt, Робертс Кросс, Кайяли^[14] оператор и Оператор Фрея – Чена.

Можно увеличить размер фильтров, чтобы избежать проблемы распознавания края изображения с низким SNR. Стоимость этой операции - потеря разрешения. Примеры: Extended Prewitt 7x7.

Установление порогов и связывание

После того, как мы вычислили меру силы края (обычно величину градиента), следующим этапом является применение порога, чтобы решить, присутствуют ли края в точке изображения. Чем ниже порог, тем больше краев будет обнаружено, и результат будет в большей степени подвержен влиянию шум и обнаружение краев нерелевантных элементов изображения. И наоборот, высокий порог может привести к пропуску тонких краев или к фрагментированным краям.

Если край применяется только к изображению с градиентной величиной, результирующие края обычно будут толстыми, и потребуется некоторая постобработка для утончения краев. Однако для краев, обнаруженных не с максимальным подавлением, краевые кривые являются тонкими по определению, и краевые пиксели могут быть связаны в краевой многоугольник с помощью процедуры связывания краев (отслеживания краев). На дискретной сетке этап подавления без максимума может быть реализован путем оценки направления градиента с использованием производных первого порядка, затем округления направления градиента до кратных 45 градусов и, наконец, сравнения значений величины градиента в оцененном градиенте. направление.

Обычно используемый подход для решения проблемы подходящих пороговых значений для пороговой обработки заключается в использовании пороговое значение с гистерезис. Этот метод использует несколько пороговых значений для поиска краев. Мы начинаем с использования верхнего порога, чтобы найти начало ребра. Когда у нас есть начальная точка, мы отслеживаем путь края через изображение пиксель за пикселем, отмечая край всякий раз, когда мы превышаем нижний порог. Мы перестаем маркировать край только тогда, когда значение падает ниже нашего нижнего порога. Этот подход делает предположение, что края, вероятно, будут в виде непрерывных кривых, и позволяет нам проследить слабый участок края, который мы видели ранее, не имея в виду, что каждый зашумленный пиксель в изображении отмечен как край. Тем не менее, у нас есть проблема выбора подходящих параметров пороговой обработки, и подходящие значения пороговой обработки могут варьироваться в зависимости от изображения.

Истончение кромок

Истончение краев - это метод, используемый для удаления нежелательных ложных точек на краях изображения. Этот метод используется после того, как изображение было отфильтровано на наличие шума (с использованием медианы, фильтра Гаусса и т. Д.), Был применен оператор края (например, описанные выше, canny или sobel) для обнаружения краев и после того, как края были сглажены с использованием подходящего порогового значения. Это удаляет все нежелательные точки и, если применяется осторожно, приводит к краевым элементам толщиной в один пиксель.

Преимущества:

1. Острые и тонкие края позволяют повысить эффективность распознавания объектов.
2. Если Хафа преобразовывает используются для обнаружения линий и эллипсов, тогда прореживание может дать гораздо лучшие результаты.
3. Если край оказывается границей области, то утончение может легко дать параметры изображения, такие как периметр, без особой алгебры.

Для этого используется множество популярных алгоритмов, один из которых описан ниже:

1. Выберите тип подключения, например 8, 6 или 4.
2. 8 возможность подключения является предпочтительным, когда рассматриваются все непосредственные пиксели, окружающие конкретный пиксель.
3. Удалите точки с севера, юга, востока и запада.
4. Делайте это в несколько проходов, т.е. после северного прохода используйте одно и то же полуобработанное изображение на других проходах и так далее.
5. Удалите точку, если:
   Точка не имеет соседей на севере (если вы находитесь на северном перевале, и соответствующие направления для других перевалов).
   Дело не в конце линии.
   Дело изолированное.
   Удаление точек никоим образом не приведет к отключению его соседей.
6. Остальное сохраните суть.

Количество проходов в поперечном направлении следует выбирать в соответствии с желаемым уровнем точности.

Подходы второго порядка

Некоторые операторы обнаружения краев вместо этого основаны на производных второго порядка интенсивности. По сути, это отражает скорость изменения в градиенте интенсивности. Таким образом, в идеальном непрерывном случае обнаружение переходов через нуль во второй производной фиксирует локальные максимумы градиента.

Рано Марр-Хилдрет Оператор основан на обнаружении переходов через нуль оператора Лапласа, применяемого к сглаженному по Гауссу изображению. Однако можно показать, что этот оператор также возвращает ложные края, соответствующие локальным минимумам величины градиента. Более того, этот оператор даст плохую локализацию на изогнутых краях. Следовательно, этот оператор сегодня представляет в основном исторический интерес.

Дифференциальный

Более совершенный подход к обнаружению краев второго порядка, который автоматически определяет края с субпиксельной точностью, использует следующие дифференциальный подход обнаружения переходов через нуль производной второго порядка по направлению в направлении градиента:

Следуя дифференциально-геометрическому способу выражения требования не максимального подавления, предложенному Линдебергом,^[4][15] введем в каждой точке изображения локальную систему координат ${\displaystyle (u,v)}$, с ${\displaystyle v}$-направление параллельно направлению градиента. Предполагая, что изображение было предварительно сглажено гауссовым сглаживанием и представление масштабного пространства ${\displaystyle L(x,y;t)}$ в масштабе ${\displaystyle t}$ был вычислен, мы можем потребовать, чтобы величина градиента представление масштабного пространства, равную производной первого порядка по направлению ${\displaystyle v}$-направление ${\displaystyle L_{v}}$, должна иметь производную первого порядка по направлению ${\displaystyle v}$-направление равно нулю

${\displaystyle \partial _{v}(L_{v})=0}$

а производная второго порядка по направлению ${\displaystyle v}$-Направление ${\displaystyle L_{v}}$ должно быть отрицательным, т.е.

${\displaystyle \partial _{vv}(L_{v})\leq 0.}$

Записывается как явное выражение через локальные частные производные ${\displaystyle L_{x},L_{y},\ldots ,L_{yyy}}$, это определение ребра можно выразить как кривые перехода через нуль дифференциального инварианта

${\displaystyle L_{v}^{2}L_{vv}=L_{x}^{2}\,L_{xx}+2\,L_{x}\,L_{y}\,L_{xy}+L_{y}^{2}\,L_{yy}=0,}$

удовлетворяющие знаковому условию на следующий дифференциальный инвариант

${\displaystyle L_{v}^{3}L_{vvv}=L_{x}^{3}\,L_{xxx}+3\,L_{x}^{2}\,L_{y}\,L_{xxy}+3\,L_{x}\,L_{y}^{2}\,L_{xyy}+L_{y}^{3}\,L_{yyy}\leq 0}$ куда ${\displaystyle L_{x},L_{y},\ldots ,L_{yyy}}$

обозначают частные производные, вычисленные из представление масштабного пространства ${\displaystyle L}$ полученный путем сглаживания исходного изображения с помощью Гауссово ядро. Таким образом, края будут автоматически получены как непрерывные кривые с субпиксельной точностью. К этим дифференциальным и субпиксельным краевым сегментам также может применяться пороговая обработка гистерезиса.

На практике приближения производной первого порядка могут быть вычислены с помощью центральных разностей, как описано выше, в то время как производные второго порядка могут быть вычислены из представление масштабного пространства ${\displaystyle L}$ в соответствии с:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{xx}(x,y)&=L(x-1,y)-2L(x,y)+L(x+1,y),\\[6pt]L_{xy}(x,y)&={\frac {1}{4}}(L(x-1,y-1)-L(x-1,y+1)-L(x+1,y-1)+L(x+1,y+1)),\\[6pt]L_{yy}(x,y)&=L(x,y-1)-2L(x,y)+L(x,y+1).\end{aligned}}}$

соответствующие следующим фильтрам-маскам:

${\displaystyle L_{xx}={\begin{bmatrix}1&-2&1\end{bmatrix}}L\quad {\text{and}}\quad L_{xy}={\begin{bmatrix}-1/4&0&1/4\\0&0&0\\1/4&0&-1/4\end{bmatrix}}L\quad {\text{and}}\quad L_{yy}={\begin{bmatrix}1\\-2\\1\end{bmatrix}}L.}$

Аналогичным образом могут быть получены производные высших порядков для знакового условия третьего порядка.

На основе конгруэнтности фаз

Недавняя разработка методов обнаружения краев использует подход в частотной области для поиска местоположений краев. Фазовое соответствие Методы (также известные как фазовая когерентность) пытаются найти места на изображении, где все синусоиды в частотной области находятся в фазе. Эти местоположения обычно будут соответствовать местоположению воспринимаемого края, независимо от того, представлен ли край большим изменением интенсивности в пространственной области. Ключевым преимуществом этого метода является то, что он хорошо реагирует на Полосы Маха, и позволяет избежать ложных срабатываний, которые обычно встречаются края крыши. Кромка крыши - это разрыв в производной первого порядка профиля уровня серого.^[16]

Вдохновленный физикой

Улучшение характеристик изображения (Собор Святого Павла, Лондон) с использованием фазового растягивающего преобразования (PST). Левая панель показывает исходное изображение, а правая панель показывает обнаруженные функции с использованием PST.

В фазовое преобразование растяжения или PST - это основанный на физике вычислительный подход к обработке сигналов и изображений. Одна из его утилит предназначена для обнаружения и классификации признаков.^[17][18] PST - это результат исследования временное дисперсионное преобразование Фурье. PST преобразует изображение, имитируя распространение через дифракционную среду со спроектированным 3D-дисперсионным свойством (показателем преломления). Работа основана на симметрии профиля дисперсии и может быть понята в терминах дисперсионных собственных функций или мод растяжения.^[19] PST выполняет те же функции, что и фазово-контрастная микроскопия, но для цифровых изображений. PST также применим к цифровым изображениям, а также к временным данным, временным рядам.

Субпиксель

Для повышения точности обнаружения границ было предложено несколько субпиксельных методов, включая аппроксимацию кривой, основанную на моменте,^[20][21] реконструктивные и частичные методы воздействия на площадь.^[22] Эти методы имеют разные характеристики. Методы аппроксимации кривых просты в вычислительном отношении, но на них легко влияет шум. Моментные методы используют подход, основанный на интегралах, для уменьшения эффекта шума, но в некоторых случаях могут потребоваться дополнительные вычисления. Реконструктивные методы используют горизонтальные градиенты или вертикальные градиенты, чтобы построить кривую и найти пик кривой как край субпикселя. Методы эффекта частичной площади основаны на гипотезе о том, что значение каждого пикселя зависит от площади по обе стороны от края внутри этого пикселя, что дает точную индивидуальную оценку для каждого пикселя края. Было показано, что некоторые варианты моментного метода являются наиболее точными для изолированных ребер.^[21]

Обнаружение края на ангиографическом изображении. Слева обнаружение краев выполняется на уровне пикселей. Справа: обнаружение края субпикселя точно определяет край внутри пикселя

Смотрите также

• Свертка # Приложения
• Обнаружение функций (компьютерное зрение) для других детекторов низкоуровневых функций
• Производные изображения
• Фильтр Габора
• Снижение шума изображения
• Оператор Кирша для обнаружения края в направлениях по компасу
• Обнаружение гребня для взаимосвязи между детекторами края и детекторами гребня
• Фильтр Log Gabor
• Преобразование растяжения фазы

Рекомендации

1. Умбау, Скотт Э (2010). Цифровая обработка и анализ изображений: приложения человеческого и компьютерного зрения с CVIPtools (2-е изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1-4398-0205-2.
2. Х. Г. Барроу и Дж. М. Тененбаум (1981) «Интерпретация линейных рисунков как трехмерных поверхностей», Искусственный интеллект, том 17, выпуски 1–3, страницы 75–116.
3. Линдеберг, Тони (2001) [1994], «Обнаружение края», Энциклопедия математики, EMS Press
4. Т. Линдеберг (1998) «Обнаружение краев и обнаружение выступов с автоматическим выбором шкалы», Международный журнал компьютерного зрения, 30, 2, страницы 117–154.
5. В. Чжан и Ф. Бергхольм (1997) "Оценка многомасштабного размытия и классификация типов краев для анализа сцены ", Международный журнал компьютерного зрения, том 24, выпуск 3, страницы: 219–250.
6. Д. Зиу и С. Таббоун (1998) "Методы обнаружения кромок: обзор ", Международный журнал распознавания образов и анализа изображений, 8 (4): 537–559, 1998 г.
7. Дж. М. Парк и Й. Лу (2008) «Обнаружение границ в полутоновых, цветных и дальномерных изображениях», в Энциклопедии информатики и инженерии Б. В. Ва (редактор), doi 10.1002 / 9780470050118.ecse603
8. Дж. Кэнни (1986) "Вычислительный подход к обнаружению краев ", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol 8, pages 679–714.
9. Р. Харалик, (1984) "Границы цифрового шага от пересечения нуля вторых производных по направлению ", IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 6 (1): 58–68.
10. Р. Киммел, А. Брукштейн (2003) "О регуляризованных лапласовских переходах через нуль и других оптимальных краевых интеграторах", Международный журнал компьютерного зрения, 53 (3) страницы 225–243.
11. Шапиро Л. Г. И Стокман Г. С. (2001) Компьютерное зрение. Лондон и др.: Prentice Hall, page 326.
12. Р. Дерише (1987) Использование критериев Кэнни для получения оптимального рекурсивного детектора края, Int. Дж.Компьютерное зрение, том 1, страницы 167–187.
13. Сильвен Фишер, Рафаэль Редондо, Лоран Перрине, Габриэль Кристобаль. Редкая аппроксимация изображений, вдохновленная функциональной архитектурой основных визуальных областей.. Журнал EURASIP о достижениях в обработке сигналов, специальный выпуск о восприятии изображений, 2007 г.
14. Dim, Jules R .; Такамура, Тамио (11 декабря 2013 г.). «Альтернативный подход к классификации спутникового облака: приложение с граничным градиентом». Достижения в метеорологии. 2013: 1–8. Дои:10.1155/2013/584816. ISSN  1687-9309.
15. Т. Линдеберг (1993) "Аппроксимации дискретной производной со свойствами масштабного пространства: основа для низкоуровневого выделения признаков", J. of Mathematical Imaging and Vision, 3 (4), страницы 349–376.
16. Т. Пайдла и В. Главац (1993) "Неровности поверхности на изображениях дальности, "в Proc IEEE 4th Int. Conf. Comput. Vision, pp. 524–528.
17. М. Х. Асгари и Б. Джалали, «Обнаружение краев цифровых изображений с использованием дисперсионного фазового растяжения», Международный журнал биомедицинской визуализации, Vol. 2015 г., ID статьи 687819, стр. 1–6 (2015).
18. М. Х. Асгари и Б. Джалали "Обнаружение краев изображения на основе физики, "Глобальный симпозиум по обработке сигналов и информации IEEE (GlobalSIP 2014), документ: WdBD-L.1, Атланта, декабрь 2014 г.
19. Б. Джалали и А. Махджубфар "Настройка широкополосных сигналов с помощью фотонного аппаратного ускорителя, "Proceedings of the IEEE, Vol. 103, No. 7, pp. 1071–1086 (2015).
20. Ghosal, S .; Мехрота, Р. (1993-01-01). «Операторы ортогонального момента для обнаружения субпиксельного края». Распознавание образов. 26 (2): 295–306. Дои:10.1016 / 0031-3203 (93) 90038-Х.
21. Кристиан, Джон (01.01.2017). "Точная локализация планетарных конечностей для навигации космических аппаратов на основе изображений". Журнал космических аппаратов и ракет. 54 (3): 708–730. Bibcode:2017JSpRo..54..708C. Дои:10.2514 / 1.A33692.
22. Трухильо-Пино, Агустин; Криссиан, Карл; Алеман-Флорес, Мигель; Сантана-Седрес, Даниэль (1 января 2013 г.). «Точное расположение края субпикселя на основе эффекта частичной площади». Вычисления изображений и зрения. 31 (1): 72–90. Дои:10.1016 / j.imavis.2012.10.005. HDL:10553/43474.

дальнейшее чтение

• Линдеберг, Тони (2001) [1994], «Обнаружение края», Энциклопедия математики, EMS Press
• Запись о краевом обнаружении в Энциклопедии компьютерных наук и инженерии
• Обнаружение краев с использованием FPGA
• Обнаружение отрезка линии A-contrario с кодом и онлайн-демонстрацией
• Обнаружение края с использованием MATLAB
• Обнаружение края субпикселя с использованием Matlab