Все лошади одного цвета - All horses are the same color

Все лошади одного цвета это фальшивый парадокс возникает из-за неправильного использования математическая индукция чтобы доказать утверждение Все лошади одного цвета.^[1] Фактического противоречия нет, поскольку эти аргументы имеют существенный недостаток, который делает их неверными. Этот пример был первоначально приведен Георгий Полиа в книге 1954 г. другими словами: «Есть ли $п$ числа равны? "или" Любое $п$ у девочек глаза одного цвета », как упражнение по математической индукции.^[2] Это также было переформулировано как «Все коровы одного цвета».^[3]

«Лошадиная» версия парадокса была представлена в 1961 году в сатирической статье автора. Джоэл Э. Коэн. Было заявлено лемма, что, в частности, позволило автору «доказать», что Александр Великий не существовало, и у него было бесконечное количество конечностей.^[4]

Аргумент

Все лошади одинакового окраса парадокс, шаг индукции не удался.

п = 1

Аргумент Доказательство по индукции. Сначала мы устанавливаем базовый случай для одной лошади ( ${ Displaystyle п = 1}$ ). Затем мы докажем, что если ${ displaystyle n}$ лошади одного цвета, значит ${ displaystyle n + 1}$ лошади тоже должны быть одного цвета.

Базовый вариант: одна лошадь

Случай только с одной лошадью тривиален. Если в «группе» только одна лошадь, то все лошади в этой группе явно одного цвета.

Индуктивный шаг

Предположим, что ${ displaystyle n}$ лошади всегда одного цвета. Рассмотрим группу, состоящую из ${ displaystyle n + 1}$ лошади.

Сначала исключите одну лошадь и смотрите только на другую. ${ displaystyle n}$ лошади; все они одного цвета, так как ${ displaystyle n}$ лошади всегда одного цвета. Точно так же исключите другую лошадь (не идентичную той, которая была удалена первой), и смотрите только на другую. ${ displaystyle n}$ лошади. По той же причине они тоже должны быть одного цвета. Следовательно, первая исключенная лошадь того же цвета, что и не исключенные лошади, которые, в свою очередь, того же цвета, что и другая исключенная лошадь. Следовательно, первая исключенная лошадь, не исключенная лошадь и последняя исключенная лошадь - все одного цвета, и мы доказали, что:

Если ${ displaystyle n}$ лошади одного цвета, значит ${ displaystyle n + 1}$ лошади тоже будут того же цвета.

В базовом случае мы уже видели, что правило («все лошади одного цвета») действительно для ${ Displaystyle п = 1}$ . Из доказанного здесь индуктивного шага следует, что, поскольку правило справедливо для ${ Displaystyle п = 1}$ , он также должен быть действителен для ${ displaystyle n = 2}$ , что в свою очередь означает, что правило справедливо для ${ displaystyle n = 3}$ и так далее.

Таким образом, в любой группе лошадей все лошади должны быть одного цвета.^[2]^[5]

Объяснение

Приведенный выше аргумент предполагает неявное предположение, что набор ${ displaystyle n + 1}$ лошади имеют размер не менее 3,^[3] так что двое подмножества лошадей, к которым применяется предположение индукции, имеют общий элемент. Это неверно на первом этапе индукции, т. Е. Когда ${ Displaystyle п + 1 = 2}$ .

Пусть двумя лошадьми будут лошадь A и лошадь B. Когда лошадь A удаляется, все остальные лошади в наборе действительно того же цвета (остается только лошадь B). То же самое верно и при удалении лошади B. Однако утверждение «первая лошадь в группе того же цвета, что и лошади в середине» не имеет смысла, потому что нет «лошадей в середине» (общие элементы (лошади) в двух наборах). Следовательно, логическая связь приведенного выше доказательства разорвана. Доказательство образует фальшивый парадокс; кажется, что с помощью правильных рассуждений доказывается что-то явно ложное, но на самом деле рассуждения ошибочны.

Смотрите также

использованная литература

^ Луковский, Петр (2011). Парадоксы. Springer. стр.15.
^ ^а ^б Полиа, Джордж (1954). Индукция и аналогия в математике. Издательство Принстонского университета. п. 120.
^ ^а ^б Томас ВанДрунен, Дискретная математика и функциональное программирование, Франклин, Бидл и партнеры, 2012, Раздел «Индукция пошла наперекосяк»
^ Коэн, Джоэл Э. (1961), «О природе математических доказательств», Дайджест Worm Runner's Digest, III (3). Перепечатано в Случайная прогулка в науке (Ред. Р.Л. Вебера), Crane, Russak & Co., 1973, стр. 34-36
^ «Все лошади одного цвета». Отделение математики колледжа Харви Мадда. Получено 6 января 2013.

[1] Луковский, Петр (2011). Парадоксы. Springer. стр.15.

[po120-2] а ^б Полиа, Джордж (1954). Индукция и аналогия в математике. Издательство Принстонского университета. п. 120.

[TvD-3] а ^б Томас ВанДрунен, Дискретная математика и функциональное программирование, Франклин, Бидл и партнеры, 2012, Раздел «Индукция пошла наперекосяк»

[4] Коэн, Джоэл Э. (1961), «О природе математических доказательств», Дайджест Worm Runner's Digest, III (3). Перепечатано в Случайная прогулка в науке (Ред. Р.Л. Вебера), Crane, Russak & Co., 1973, стр. 34-36

[5] «Все лошади одного цвета». Отделение математики колледжа Харви Мадда. Получено 6 января 2013.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]