Почти непересекающиеся множества - Almost disjoint sets

В математика, два наборы находятся почти непересекающийся ^[1][2] если их пересечение в каком-то смысле мала; разные определения «малого» приведут к разным определениям «почти непересекающегося».

Определение

Чаще всего употребляют слово «маленький» в значении конечный. В этом случае два множества почти не пересекаются, если их пересечение конечно, т.е. если

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\infty .}$

(Здесь '|Икс| ' обозначает мощность из Икс, а «<∞» означает «конечный».) Например, отрезки [0, 1] и [1, 2] почти не пересекаются, потому что их пересечение - это конечное множество {1}. Однако единичный интервал [0, 1] и множество рациональных чисел Q почти не пересекаются, потому что их пересечение бесконечно.

Это определение распространяется на любой набор множеств. Коллекция наборов попарно почти не пересекаются или же взаимно почти не пересекаются если любые два отчетливый множества в коллекции почти не пересекаются. Часто префикс «попарно» опускается, и попарно почти непересекающийся набор называют просто «почти непересекающимся».

Формально пусть я быть набор индексов, и для каждого я в я, позволять А_я быть набором. Тогда набор множеств {А_я : я в я} почти не пересекается, если для любого я и j в я,

${\displaystyle A_{i}\neq A_{j}\quad \Rightarrow \quad \left|A_{i}\cap A_{j}\right|<\infty .}$

Например, сбор всех линий через начало координат в р² почти не пересекается, потому что любые два из них встречаются только в начале координат. Если {А_я} является почти непересекающимся набором, состоящим из более чем одного набора, то очевидно, что его пересечение конечно:

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}<\infty .}$

Однако обратное неверно - пересечение коллекции

${\displaystyle \{\{1,2,3,\ldots \},\{2,3,4,\ldots \},\{3,4,5,\ldots \},\ldots \}}$

пусто, но коллекция нет почти непересекающиеся; по сути, пересечение любой два различных набора в этом наборе бесконечны.

Возможные мощности максимального почти непересекающегося семейства на множестве ${\displaystyle \omega }$ из натуральные числа был объектом интенсивного изучения.^[3][2] Минимальный бесконечный такой кардинал является одним из классических Кардинальные характеристики континуума.^[4][5]

Другие значения

Иногда «почти непересекающийся» используется в каком-то другом смысле или в смысле теория меры или же топологическая категория. Вот несколько альтернативных определений «почти непересекающихся», которые иногда используются (аналогичные определения применимы к бесконечным коллекциям):

• Пусть κ - любое количественное числительное. Затем два набора А и B почти не пересекаются, если мощность их пересечения меньше κ, т. е. если

${\displaystyle \left|A\cap B\right|<\kappa .}$

Случай κ = 1 - это просто определение непересекающиеся множества; случай

${\displaystyle \kappa =\aleph _{0}}$

просто определение почти непересекающегося, данное выше, где пересечение А и B конечно.

• Позволять м быть полная мера на мерном пространстве Икс. Тогда два подмножества А и B из Икс почти не пересекаются, если их пересечение является нулевым множеством, т.е. если

${\displaystyle m(A\cap B)=0.}$

• Позволять Икс быть топологическое пространство. Тогда два подмножества А и B из Икс почти не пересекаются, если их пересечение скудный в Икс.

Рекомендации

1. Кунен, К. (1980), "Теория множеств; введение в доказательства независимости", Северная Голландия, стр. 47
2. Jech, R. (2006) "Теория множеств (издание третьего тысячелетия, исправленное и дополненное)", Springer, p. 118
3. Эрик ван Доувен. Целые числа и топология. В К. Кунен и Дж. Э.Воган (ред.) Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.
4. Воан, Джерри Э. (1990). «Глава 11: Малые бесчисленные кардиналы и топология». Ин ван Милл, Ян; Рид, Джордж М. (ред.). Открытые проблемы в топологии (PDF). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии. стр.196–218. ISBN  0-444-88768-7.
5. Бласс, Андреас (12 января 2010 г.). «Глава 6: Комбинаторные кардинальные характеристики континуума». В Форман, Мэтью; Канамори, Акихиро (ред.). Справочник по теории множеств (PDF). 1. Springer. С. 395–490. ISBN  1-4020-4843-2.