Кардинальная характеристика континуума - Cardinal characteristic of the continuum

В математической дисциплине теория множеств, а кардинальная характеристика континуума бесконечный количественное числительное что может постоянно находиться строго между ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (в мощность из набора натуральные числа ), а мощность континуума, то есть мощность множества ${\displaystyle \mathbb {R} }$ из всех действительные числа. Последний кардинал обозначается ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ или же ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Разнообразие таких кардинальных характеристик возникает естественным образом, и была проделана большая работа по определению того, какие отношения между ними можно доказать, и построению моделей теории множеств для различных последовательный конфигурации из них.

Фон

Диагональный аргумент Кантора показывает, что ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ строго больше, чем ${\displaystyle \aleph _{0}}$, но не уточняется, является ли это наименее кардинал больше чем ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (то есть, ${\displaystyle \aleph _{1}}$). Действительно, предположение, что ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ хорошо известный Гипотеза континуума, который, как было показано, не зависит от стандартного ZFC аксиомы теории множеств Пол Коэн. Если гипотеза континуума не удалась, и поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ по крайней мере ${\displaystyle \aleph _{2}}$о кардиналах возникают естественные вопросы строго между ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$, например, относительно измеримости Лебега. Рассматривая наименьший кардинал с некоторым свойством, можно получить определение для несчетного кардинала, которое постоянно меньше, чем ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$. Обычно рассматриваются только определения кардиналов, которые доказуемо больше, чем ${\displaystyle \aleph _{0}}$ и самое большее ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ как кардинальные характеристики континуума, поэтому, если гипотеза континуума верна, все они равны ${\displaystyle \aleph _{1}}$.

Примеры

Как принято в теории множеств, обозначим через ${\displaystyle \omega }$ наименее бесконечный порядковый, имеющая мощность ${\displaystyle \aleph _{0}}$; его можно отождествить с множеством всех натуральных чисел.

Естественно возникает ряд кардинальных характеристик: кардинальные инварианты за идеалы которые тесно связаны со структурой реальных вещей, таких как идеал Нулевые множества Лебега и идеал скудные наборы.

не (N)

Кардинальная характеристика не (${\displaystyle {\mathcal {N}}}$) - наименьшая мощность неизмеримое множество; эквивалентно, это наименьшая мощность множества, не являющегося Нулевой набор Лебега.

Ограничивающее число ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ и доминирующее число ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$

Обозначим через ${\displaystyle \omega ^{\omega }}$ набор функций из ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle \omega }$. Для любых двух функций ${\displaystyle f:\omega \to \omega }$ и ${\displaystyle g:\omega \to \omega }$ мы обозначим через ${\displaystyle f\leq ^{*}g}$ утверждение, что для всех, кроме конечного числа ${\displaystyle n\in \omega ,f(n)\leq g(n)}$. В ограничивающее число ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ - наименьшая мощность неограниченного множества в этом отношении, т. е. ${\displaystyle {\mathfrak {b}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \exists g\in F(g\nleq ^{*}f)\}).}$

В доминирующее число ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$ - наименьшая мощность набора функций из ${\displaystyle \omega }$ к ${\displaystyle \omega }$ такая, что каждая такая функция подчиняется (т. е. ${\displaystyle \leq ^{*}}$) член этого множества, то есть${\displaystyle {\mathfrak {d}}=\min(\{|F|:F\subseteq \omega ^{\omega }\land \forall f:\omega \to \omega \exists g\in F(f\leq ^{*}g)\}).}$

Ясно, что любой такой доминирующий набор ${\displaystyle F}$ неограничен, поэтому ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ самое большее ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$, и аргумент диагонализации показывает, что ${\displaystyle {\mathfrak {b}}>\aleph _{0}}$. Конечно, если ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{1}}$ это означает, что ${\displaystyle {\mathfrak {b}}={\mathfrak {d}}=\aleph _{1}}$, но Гехлер^[1] показал, что также возможно ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ строго меньше чем ${\displaystyle {\mathfrak {d}}}$.

Номер разделения ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ и жатва число ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$

Обозначим через ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ множество всех бесконечных подмножеств ${\displaystyle \omega }$. Для любого ${\displaystyle a,b\in [\omega ]^{\omega }}$мы говорим, что ${\displaystyle a}$ раскол ${\displaystyle b}$ если оба ${\displaystyle b\cap a}$ и ${\displaystyle b\setminus a}$ бесконечны. В номер разделения ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ наименьшая мощность подмножества ${\displaystyle S}$ из ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ такой, что для всех ${\displaystyle b\in [\omega ]^{\omega }}$, существует некоторое ${\displaystyle a\in S}$ такой, что ${\displaystyle a}$ раскол ${\displaystyle b}$. То есть, ${\displaystyle {\mathfrak {s}}=\min(\{|S|:S\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall b\in [\omega ]^{\omega }\exists a\in S(|b\cap a|=\aleph _{0}\land |b\setminus a|=\aleph _{0})\}).}$

В число жатвы ${\displaystyle {\mathfrak {r}}}$ наименьшая мощность подмножества ${\displaystyle R}$ из ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ такой, что нет элемента ${\displaystyle a}$ из ${\displaystyle [\omega ]^{\omega }}$ разбивает каждый элемент ${\displaystyle R}$. То есть, ${\displaystyle {\mathfrak {r}}=\min(\{|R|:R\subseteq [\omega ]^{\omega }\land \forall a\in [\omega ]^{\omega }\exists b\in R(|b\cap a|<\aleph _{0}\lor |b\setminus a|<\aleph _{0})\}).}$

Номер ультрафильтра ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$

Номер ультрафильтра ${\displaystyle {\mathfrak {u}}}$ определяется как наименьшая мощность основание фильтра непринципиального ультрафильтр на ${\displaystyle \omega }$. Кунен^[2] дал модель теории множеств, в которой ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ но ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{\aleph _{1}}}$, и используя счетная итерация поддержки из Мешки форсинги, Баумгартнер и Лейвер^[3]построил модель, в которой ${\displaystyle {\mathfrak {u}}=\aleph _{1}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph _{2}}$.

Число почти дизъюнктности ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$

Два подмножества ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ из ${\displaystyle \omega }$ как говорят [почти не пересекаются] если ${\displaystyle |A\cap B|}$ конечно, а набор подмножеств ${\displaystyle \omega }$ называется почти дизъюнктным, если его элементы попарно почти не пересекаются. А максимальный почти не пересекающийся (безумное) семейство подмножеств ${\displaystyle \omega }$ таким образом, почти непересекающееся семейство ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$так что для каждого подмножества ${\displaystyle X}$ из ${\displaystyle \omega }$ не в ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, есть набор ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ такой, что ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$ не почти не пересекаются (т. е. их пересечение бесконечно). Число почти дизъюнктности ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ - наименьшая мощность бесконечного максимального почти непересекающегося семейства.^[4] в том, что${\displaystyle {\mathfrak {b}}\leq {\mathfrak {a}}}$; Шела^[5] показал, что справедливо строгое неравенство ${\displaystyle {\mathfrak {b}}<{\mathfrak {a}}}$.

Диаграмма Цихона

Хорошо известная диаграмма кардинальных характеристик: Диаграмма Цихона, показывая все попарные отношения, доказуемые в ZFC между 10 кардинальными характеристиками.

Рекомендации

1. Стивен Гехлер. О существовании определенных конфинальных подмножеств ${\displaystyle {}^{\omega }\omega }$. В T. Jech (ред.), Аксиоматическая теория множеств, часть II. Том 13 (2) из Proc. Symp. Чистая математика.С. 155–173. Американское математическое общество, 1974 г.
2. Кеннет Кунен. Теория множеств: введение в доказательства независимости. Исследования по логике и основам математики т. 102, Эльзевир, 1980
3. Джеймс Эрл Баумгартнер и Ричард Лейвер. Повторное форсирование идеального набора. Анналы математической логики 17 (1979) стр. 271–288.
4. Эрик ван Доувен. Целые числа и топология. В К. Кунен и Дж. Э.Воган (ред.) Справочник по теоретико-множественной топологии. Северная Голландия, Амстердам, 1984 год.
5. Сахарон Шелах. О кардинальных инвариантах континуума. В Дж. Баумгартнер, Д. Мартин и С. Шелах (ред.) Аксиоматическая теория множеств, Contemporary Mathematics 31, American Mathematical Society, 1984, стр 183-207.

дальнейшее чтение

• Томек Бартошински и Хаим Иуда. Установить теорию о структуре реальной прямой. А. К. Петерс, 1995.
• Воан, Джерри Э. (1990). «Глава 11: Малые бесчисленные кардиналы и топология». Ин ван Милл, Ян; Рид, Джордж М. (ред.). Открытые проблемы в топологии (PDF). Амстердам: Издательская компания Северной Голландии. стр.196–218. ISBN  0-444-88768-7. Получено 5 декабря, 2011.
• Бласс, Андреас (12 января 2010 г.). «Глава 6: Комбинаторные кардинальные характеристики континуума». В Форман, Мэтью; Канамори, Акихиро (ред.). Справочник по теории множеств (PDF). 1. Springer. С. 395–490. ISBN  1-4020-4843-2. Получено 5 декабря, 2011.
• Бартошинский, Томек (12 января 2010 г.). «Глава 7: Инварианты меры и категории». В Формане, Мэтью; Канамори, Акихиро (ред.). Справочник по теории множеств. 1. Springer. С. 491–556. arXiv:math.LO / 9910015. ISBN  1-4020-4843-2.
• Jech, Thomas (2003). Теория множеств. Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.
• Хальбайзен, Лоренц Дж. (2012). Комбинаторная теория множеств: мягкое введение в принуждение. Монографии Спрингера по математике. Лондон: Springer-Verlag. Дои:10.1007/978-1-4471-2173-2. ISBN  978-1-4471-2172-5.