Кардинальная функция - Cardinal function

В математике основная функция (или же кардинальный инвариант) - функция, которая возвращает Количественные числительные.

Кардинальные функции в теории множеств

• Наиболее часто используемая кардинальная функция - это функция, которая присваивает набор "А" это мощность, обозначаемый |А |.
• Числа Алеф и числа Бет обе можно рассматривать как кардинальные функции, определенные на порядковые номера.
• Кардинальная арифметика операции являются примерами функций от кардинальных чисел (или их пар) до кардинальных чисел.
• Кардинальные характеристики (собственно) идеальный я подмножеств Икс находятся:

${\displaystyle {\rm {add}}(I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}\notin I{\big \}}.}$

«Аддитивность» я наименьшее количество наборов из я чей союз не в я больше. Поскольку любой идеал замкнут относительно конечных объединений, это число всегда не меньше ${\displaystyle \aleph _{0}}$; если я является σ-идеалом, то ${\displaystyle \operatorname {add} (I)\geq \aleph _{1}.}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (I)=\min\{|{\mathcal {A}}|:{\mathcal {A}}\subseteq I\wedge \bigcup {\mathcal {A}}=X{\big \}}.}$

«Покровное число» я наименьшее количество наборов из я чей союз состоит из Икс. В качестве Икс сам не в я, мы должны добавить (я) ≤ cov (я).

${\displaystyle \operatorname {non} (I)=\min\{|A|:A\subseteq X\ \wedge \ A\notin I{\big \}},}$

«Число однородности» я (иногда также пишется ${\displaystyle {\rm {unif}}(I)}$) - размер наименьшего множества, не входящего в я. Предполагая я содержит все синглтоны, добавьте (я) ≤ non (я).

${\displaystyle {\rm {cof}}(I)=\min\{|{\mathcal {B}}|:{\mathcal {B}}\subseteq I\wedge (\forall A\in I)(\exists B\in {\mathcal {B}})(A\subseteq B){\big \}}.}$

«Софинальность» я это конфинальность из частичный заказ (я, ⊆). Легко видеть, что мы должны иметь не (я) ≤ cof (я) и cov (я) ≤ cof (я).

В случае, если ${\displaystyle I}$ идеал, тесно связанный со структурой действительного, например, идеал Нулевые множества Лебега или идеал скудные наборы, эти кардинальные инварианты называются кардинальные характеристики континуума.

• Для предзаказанный набор ${\displaystyle ({\mathbb {P} },\sqsubseteq )}$ в ограничивающее число ${\displaystyle {\mathfrak {b}}({\mathbb {P} })}$ и доминирующее число ${\displaystyle {\mathfrak {d}}({\mathbb {P} })}$ определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {b}}({\mathbb {P} })=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq {\mathbb {P} }\ \wedge \ (\forall x\in {\mathbb {P} })(\exists y\in Y)(y\not \sqsubseteq x){\big \}},}$

${\displaystyle {\mathfrak {d}}({\mathbb {P} })=\min {\big \{}|Y|:Y\subseteq {\mathbb {P} }\ \wedge \ (\forall x\in {\mathbb {P} })(\exists y\in Y)(x\sqsubseteq y){\big \}}.}$

• В Теория ПКФ кардинальная функция ${\displaystyle pp_{\kappa }(\lambda )}$ используется.^[1]

Кардинальные функции в топологии

Кардинальные функции широко используются в топология как инструмент для описания различных топологические свойства.^[2][3] Ниже приведены некоторые примеры. (Примечание: некоторые авторы, утверждая, что «в общей топологии нет конечных кардинальных чисел»,^[4] предпочитают определять кардинальные функции, перечисленные ниже, так, чтобы они никогда не принимали конечные кардинальные числа в качестве значений; это требует модификации некоторых определений, приведенных ниже, например добавляя "${\displaystyle \;\;+\;\aleph _{0}}$"в правую часть определений и т. д.)

• Пожалуй, самые простые кардинальные инварианты топологического пространства Икс - его мощность и мощность топологии, обозначаемые соответственно через |Икс | и о(Икс).
• В масса w (Икс ) топологического пространства Икс это мощность наименьшего основание за Икс. Когда w (Икс ) = ${\displaystyle \aleph _{0}}$ космос Икс как говорят второй счетный.
  • В ${\displaystyle \pi }$-масса пространства Икс это мощность наименьшего ${\displaystyle \pi }$-база для Икс.
  • В вес сети из Икс наименьшая мощность сети для Икс. А сеть это семья ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ наборов, для которых для всех точек Икс и открытые кварталы U содержащий Икс, Существует B в ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ для которого Икс ∈ B ⊆ U.
• В персонаж топологического пространства Икс в какой-то момент Икс это мощность наименьшего местная база за Икс. В персонаж пространства Икс является ${\displaystyle \chi (X)=\sup \;\{\chi (x,X):x\in X\}.}$ Когда ${\displaystyle \chi (X)=\aleph _{0}}$ космос Икс как говорят первый счетный.
• В плотность d (Икс ) пространства Икс это мощность наименьшего плотное подмножество из Икс. Когда ${\displaystyle {\rm {{d}(X)=\aleph _{0}}}}$ космос Икс как говорят отделяемый.
• В Число Линделёфа L (Икс ) пространства Икс наименьшая бесконечная мощность такая, что каждое открытая крышка имеет подпокрытие мощности не более L (Икс ). Когда ${\displaystyle {\rm {{L}(X)=\aleph _{0}}}}$ космос Икс считается Пространство Линделёфа.
• В клеточность или же Число Суслина пространства Икс является

${\displaystyle \operatorname {c} (X)=\sup\{|{\mathcal {U}}|:{\mathcal {U}}}$

это семья взаимно непересекающийся непустой открыто подмножества ${\displaystyle X\}}$.

• • В наследственная клеточность (иногда распространять) - точная верхняя грань клеточностей его подмножеств: ${\displaystyle s(X)={\rm {hc}}(X)=\sup\{{\rm {c}}(Y):Y\subseteq X\}}$ или же ${\displaystyle s(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X}$ с подпространство топология дискретный ${\displaystyle \}}$.
• В степень пространства Икс является

${\displaystyle e(X)=\sup\{|Y|:Y\subseteq X{\text{ is closed and discrete}}\}}$.

Так Икс имеет счетную протяженность именно тогда, когда у него нет несчетного замкнутого дискретного подмножества.

• В герметичность т(Икс, Икс) топологического пространства Икс в какой-то момент ${\displaystyle x\in X}$ это наименьшее кардинальное число ${\displaystyle \alpha }$ так что всякий раз, когда ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$ для некоторого подмножества Y из Икс, существует подмножество Z из Y, с |Z | ≤ ${\displaystyle \alpha }$, так что ${\displaystyle x\in \operatorname {cl} _{X}(Z)}$. Символично, ${\displaystyle t(x,X)=\sup {\big \{}\min\{|Z|:Z\subseteq Y\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)\}:Y\subseteq X\ \wedge \ x\in {\rm {cl}}_{X}(Y){\big \}}.}$ В теснота пространства Икс является ${\displaystyle t(X)=\sup\{t(x,X):x\in X\}}$. Когда t (X) = ${\displaystyle \aleph _{0}}$ космос Икс как говорят счетно генерируемый или же счетно туго.
  • В повышенная герметичность пространства Икс, ${\displaystyle t^{+}(X)}$ самый маленький обычный кардинал ${\displaystyle \alpha }$ такой, что для любого ${\displaystyle Y\subseteq X}$, ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Y)}$ есть подмножество Z из Y с мощностью меньше чем ${\displaystyle \alpha }$, так что ${\displaystyle x\in {\rm {cl}}_{X}(Z)}$.

Основные неравенства

c(Икс) ≤ d(Икс) ≤ ш(Икс) ≤ о(Икс) ≤ 2^{| X |}

${\displaystyle e(X)\leq s(X)}$

${\displaystyle \chi }$(Икс) ≤ ш(Икс)

nw(Икс) ≤ ш(Икс) и о(Икс) ≤ 2^nw(Икс)

Кардинальные функции в булевых алгебрах

Кардинальные функции часто используются при изучении Булевы алгебры.^[5][6] Можно упомянуть, например, следующие функции:

• Сотовая связь ${\displaystyle c({\mathbb {B} })}$ булевой алгебры ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ есть верхняя грань мощностей антицепи в ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$.
• Длина ${\displaystyle {\rm {length}}({\mathbb {B} })}$ булевой алгебры ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ является

${\displaystyle {\rm {length}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }}$ это цепь ${\displaystyle {\big \}}}$

• Глубина ${\displaystyle {\rm {depth}}({\mathbb {B} })}$ булевой алгебры ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ является

${\displaystyle {\rm {depth}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }}$ это хорошо организованный подмножество ${\displaystyle {\big \}}}$.

• Несравнимость ${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })}$ булевой алгебры ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ является

${\displaystyle {\rm {Inc}}({\mathbb {B} })=\sup {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }}$ такой, что ${\displaystyle {\big (}\forall a,b\in A{\big )}{\big (}a\neq b\ \Rightarrow \neg (a\leq b\ \vee \ b\leq a){\big )}{\big \}}}$.

• Псевдо-вес ${\displaystyle \pi ({\mathbb {B} })}$ булевой алгебры ${\displaystyle {\mathbb {B} }}$ является

${\displaystyle \pi ({\mathbb {B} })=\min {\big \{}|A|:A\subseteq {\mathbb {B} }\setminus \{0\}}$ такой, что ${\displaystyle {\big (}\forall b\in B\setminus \{0\}{\big )}{\big (}\exists a\in A{\big )}{\big (}a\leq b{\big )}{\big \}}.}$

Кардинальные функции в алгебре

Примеры кардинальных функций в алгебре:

• Индекс подгруппы ЧАС из грамм количество смежных классов.
• Размерность векторное пространство V через поле K мощность любого Основа Гамеля из V.
• В общем, бесплатно модуль M через звенеть р мы определяем ранг ${\displaystyle {\rm {rank}}(M)}$ как мощность любого базиса этого модуля.
• Для линейное подпространство W векторного пространства V мы определяем коразмерность из W (относительно V).
• Для любого алгебраическая структура можно учитывать минимальную мощность образующих структуры.
• За алгебраические расширения алгебраическая степень и отделимая степень часто используются (обратите внимание, что алгебраическая степень равна размерности расширения как векторного пространства над меньшим полем).
• Для неалгебраических расширения полей степень трансцендентности аналогично используется.

внешняя ссылка

• Словарь определений из общей топологии [1] [2]

Смотрите также

• Диаграмма Цихона

Рекомендации

1. Хольц, Майкл; Стеффенс, Карстен; Вайц, Эдмунд (1999). Введение в кардинальную арифметику. Birkhäuser. ISBN  3764361247.
2. Юхас, Иштван (1979). Кардинальные функции в топологии (PDF). Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN  90-6196-062-2.
3. Юхас, Иштван (1980). Кардинальные функции в топологии - десять лет спустя (PDF). Математика. Center Tracts, Амстердам. ISBN  90-6196-196-3.
4. Энгелькинг, Рышард (1989). Общая топология. Сигма-серия в чистой математике. 6 (Пересмотренная ред.). Heldermann Verlag, Берлин. ISBN  3885380064.
5. Монк, Дж. Дональд: Кардинальные функции на булевых алгебрах. «Лекции по математике ETH Zürich». Birkhäuser Verlag, Базель, 1990. ISBN  3-7643-2495-3.
6. Монк, Дж. Дональд: Кардинальные инварианты на булевых алгебрах. «Успехи в математике», 142. Birkhäuser Verlag, Базель, ISBN  3-7643-5402-X.

• Jech, Thomas (2003). Теория множеств. Монографии Спрингера по математике (изд. Третьего тысячелетия). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-44085-7. Zbl  1007.03002.