Аппроксимационная теорема Артина - Artin approximation theorem

В математика, то Аппроксимационная теорема Артина является фундаментальным результатом Майкл Артин  (1969 ) в теория деформации откуда следует, что формальный степенной ряд с коэффициентами в поле k хорошо аппроксимируются алгебраические функции на k.

Точнее, Артин доказал две такие теоремы: одну, в 1968 г., о приближении комплексных аналитических решений формальными решениями (в случае ${\displaystyle k=\mathbb {C} }$); и алгебраическая версия этой теоремы 1969 г.

Формулировка теоремы

Позволять ${\displaystyle \mathbf {x} =x_{1},\dots ,x_{n}}$ обозначают набор п неопределенный, ${\displaystyle k[[\mathbf {x} ]]}$ то звенеть формальных степенных рядов с неопределенными ${\displaystyle \mathbf {x} }$ над полем k, и ${\displaystyle \mathbf {y} =y_{1},\dots ,y_{n}}$ другой набор неопределенностей. Позволять

${\displaystyle f(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0}$

быть системой полиномиальные уравнения в ${\displaystyle k[\mathbf {x} ,\mathbf {y} ]}$, и c положительный целое число. Затем дано решение формального степенного ряда ${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\in k[[\mathbf {x} ]]}$, существует алгебраическое решение ${\displaystyle \mathbf {y} (\mathbf {x} )}$ состоящий из алгебраические функции (точнее, алгебраический степенной ряд) такой, что

${\displaystyle {\hat {\mathbf {y} }}(\mathbf {x} )\equiv \mathbf {y} (\mathbf {x} ){\bmod {(}}\mathbf {x} )^{c}.}$

Обсуждение

Для любого желаемого положительного целого числа c, эта теорема показывает, что можно найти алгебраическое решение, приближающее решение формального степенного ряда до степени, заданной формулой c. Это приводит к теоремам, которые выводят существование определенных формальные пространства модулей деформаций как схемы. Смотрите также: Критерий Артина.

Альтернативное заявление

Следующее альтернативное утверждение дано в теореме 1.12. Майкл Артин  (1969 ).

Позволять ${\displaystyle R}$ поле или отличное дискретное оценочное кольцо, пусть ${\displaystyle A}$ быть генселизация из ${\displaystyle R}$-алгебра конечного типа на простом идеале, пусть м быть настоящим идеалом ${\displaystyle A}$, позволять ${\displaystyle {\hat {A}}}$ быть м-адическое завершение ${\displaystyle A}$, и разреши

${\displaystyle F\colon (A{\text{-algebras}})\to ({\text{sets}}),}$

- функтор, отправляющий фильтрованные копределы фильтрованным копределам (Артин называет такой функтор локально конечного представления). Тогда для любого целого c и любой ${\displaystyle {\overline {\xi }}\in F({\hat {A}})}$, Существует ${\displaystyle \xi \in F(A)}$ такой, что

${\displaystyle {\overline {\xi }}\equiv \xi {\bmod {m}}^{c}}$.

Смотрите также

• Кольцо со свойством аппроксимации
• Теорема Попеску
• Критерий Артина

Рекомендации

• Артин, Майкл (1969), «Алгебраическая аппроксимация структур над полными локальными кольцами», Публикации Mathématiques de l'IHÉS (36): 23–58, МИСТЕР  0268188
• Артин, Майкл (1971). Алгебраические пространства. Йельские математические монографии. 3. Нью-Хейвен, Коннектикут - Лондон: Издательство Йельского университета. МИСТЕР  0407012.
• Рейно, Мишель (1971), "Travaux Récents de M. Artin", Séminaire Nicolas Bourbaki, 11 (363): 279–295, МИСТЕР  3077132