Неравенство Барроуза - Barrows inequality - Wikipedia

В геометрия, Неравенство Барроу является неравенство относящийся к расстояния между произвольной точкой в ​​пределах треугольник, вершины треугольника и определенные точки на сторонах треугольника. Он назван в честь Дэвид Фрэнсис Барроу.

Заявление

Позволять п - произвольная точка внутри треугольник ABC. Из п и ABC, определять U, V, и W как точки, где биссектриса угла из BPC, CPA, и APB пересечь стороны до н.э, CA, AB, соответственно. Тогда неравенство Барроу утверждает, что^[1]

${\displaystyle PA+PB+PC\geq 2(PU+PV+PW),\,}$

причем равенство сохраняется только в случае равносторонний треугольник и п это центр треугольника.^[1]

Обобщение

Неравенство Барроу распространяется на выпуклые многоугольники. Для выпуклого многоугольника с вершинами ${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}}$ позволять ${\displaystyle P}$ быть внутренней точкой и ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\ldots ,Q_{n}}$ пересечения биссектрис угла ${\displaystyle \angle A_{1}PA_{2},\ldots ,\angle A_{n-1}PA_{n},\angle A_{n}PA_{1}}$ со связанными сторонами многоугольника ${\displaystyle A_{1}A_{2},\ldots ,A_{n-1}A_{n},A_{n}A_{1}}$, то имеет место неравенство^[2][3]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|PA_{k}|\geq \sec \left({\frac {\pi }{n}}\right)\sum _{k=1}^{n}|PQ_{k}|}$

Здесь ${\displaystyle \sec(x)}$ обозначает секущая функция. Для случая треугольника ${\displaystyle n=3}$ неравенство становится неравенством Барроу из-за ${\displaystyle \sec \left({\tfrac {\pi }{3}}\right)=2}$.

История

Укрепление кургана Эрдеш-Морделл
${\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \,|PA|+|PB|+|PC|\\&\geq 2(|PQ_{a}|+|PQ_{b}|+|PQ_{c}|)\\&\geq 2(|PF_{a}|+|PF_{b}|+|PF_{c}|)\end{aligned}}}$

Неравенство Барроу усиливает Неравенство Эрдеша – Морделла., который имеет идентичную форму, кроме ПУ, PV, и PW заменены тремя расстояниями п со сторон треугольника. Он назван в честь Дэвид Фрэнсис Барроу. Доказательство Барроу этого неравенства было опубликовано в 1937 году как его решение проблемы, поставленной в Американский математический ежемесячный журнал доказательства неравенства Эрдеша – Морделла.^[1] Этот результат еще в 1961 году был назван «неравенством Барроу».^[4]

Более простое доказательство было позже дано Луи Дж. Морделл.^[5]

Смотрите также

• Теорема Эйлера в геометрии
• Список неравенств треугольника

Рекомендации

1. Эрдеш, Пол; Морделл, Л. Дж.; Барроу, Дэвид Ф. (1937), «Решение задачи 3740», Американский математический ежемесячный журнал, 44 (4): 252–254, Дои:10.2307/2300713, JSTOR  2300713.
2. М. Динка: "Простое доказательство неравенства Эрдеша-Морделла". В: Артикул si Note Matematice, 2009
3. Ханс-Кристоф Ленхард: "Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone". В: Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, Band 12, S. 311–314, DOI: 10.1007 / BF01650566 (Немецкий).
4. Оппенгейм, А. (1961), «Новые неравенства для треугольника и внутренней точки», Annali di Matematica Pura ed Applicata, 53: 157–163, Дои:10.1007 / BF02417793, МИСТЕР  0124774
5. Морделл, Л. Дж. (1962), "О геометрических проблемах Эрдеша и Оппенгейма", Математический вестник, 46 (357): 213–215, JSTOR  3614019.

внешняя ссылка

• Ходжу Ли: темы неравенств - теоремы и методы