Схема балки и утепления - Beam and Warming scheme - Wikipedia

В вычислительной математике Схема балки и утепления или же Неявная схема Beam – Warming. представленный в 1978 году Ричардом М. Бимом и Р. Ф. Вармингом,^[1][2] второй порядок точности неявная схема, в основном используется для решения нелинейного гиперболического уравнения. В настоящее время он мало используется.

Вступление

Эта схема является пространственно-факторизованной, неитеративной, ADI схема и использование неявный Эйлер выполнить интеграцию времени. Алгоритм находится в дельта-форма, линеаризованный за счет реализации Тейлор-серия. Следовательно, наблюдается как приращение сохраняемых переменных. В этом случае эффективный факторизованный алгоритм получается путем явного вычисления пространственных взаимных производных. Это позволяет напрямую вывести схему и эффективное решение с использованием этого вычислительного алгоритма. Эффективность потому, что хотя это трехуровневая схема, но требует только двух временных уровней хранения данных. Это приводит к безусловной стабильности. Он центрирован и требует оператора искусственной диссипации, чтобы гарантировать численную стабильность.^[1]

Дельта-форма полученного уравнения обладает преимуществом стабильности (если она существует) независимо от размера временного шага.^[3]

Метод

Рассмотрим невязкий Уравнение Бюргерса в одном измерении

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-u{\frac {\partial u}{\partial x}}\quad {\text{with }}x\in R}$

Уравнение Бюргерса в форме сохранения,

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}}$

куда :${\displaystyle E={\frac {u^{2}}{2}}}$

Расширение ряда Тейлора

Расширение:${\displaystyle u_{i}^{n+1}}$

${\displaystyle u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+{\frac {1}{2}}\left[\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n}+\left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{i}^{n+1}\right]\,\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

Это также известно как формула трапеции.

${\displaystyle \therefore {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=-{\frac {1}{2}}\left(\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n+1}+\left.{\frac {\partial E}{\partial x}}\right|_{i}^{n}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[A(u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n})\right]\right)}$

${\displaystyle \because {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial E}{\partial x}}}$

Трехдиагональная система

Полученная трехдиагональная система:

${\displaystyle {\begin{aligned}&-{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n+1}\right)+u_{i}^{n+1}+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n+1}\right)\\[6pt]={}&u_{i}^{n}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta t}{\Delta x}}\left(E_{i+1}^{n}-E_{i-1}^{n}\right)+{\frac {\Delta t}{4\,\Delta x}}\left(A_{i+1}^{n}u_{i+1}^{n}-A_{i-1}^{n}u_{i-1}^{n}\right)\end{aligned}}}$

Полученная система линейных уравнений может быть решена с использованием модифицированной алгоритм трехдиагональной матрицы, также известный как алгоритм Томаса.^[4]

Срок рассеивания

В условиях ударной волны требуется диссипативный член для нелинейные гиперболические уравнения как это. Это делается для того, чтобы держать решение под контролем и поддерживать сходимость решения.

${\displaystyle D=-\varepsilon _{e}(u_{i+2}^{n}-4u_{i+1}^{n}+6u_{i}^{n}-4u_{i-1}^{n}+u_{i-2}^{n})}$

Этот термин явно добавлен на уровне ${\displaystyle n}$ с правой стороны. Это всегда используется для успешных вычислений, когда наблюдаются частые колебания, которые необходимо подавить.

Срок сглаживания

Если требуется только устойчивое решение, то в уравнении в правой части второго порядка срок сглаживания добавляется на неявном слое. Другой член в том же уравнении может быть второго порядка, потому что он не влияет на устойчивое решение, если

${\displaystyle \nabla ^{n}(U)=0}$

Добавление сглаживания увеличивает количество необходимых шагов на три.

Характеристики

Эта схема создается путем комбинирования формулы трапеции, линеаризации, факторизации, пространственного разложения Падта, свойства однородности векторов потока (где применимо) и гибридного пространственного дифференцирования и наиболее подходит для нелинейных систем в форме закона сохранения. Алгоритм ADI сохраняет порядок точности и свойство установившегося состояния при уменьшении пропускной способности системы уравнений.^[5]Устойчивость уравнения равна

${\displaystyle L^{2}}$-стабильно под КЛЛ: ${\displaystyle |a|\,\Delta t\leq 2\,\Delta x}$

Порядок ошибки усечения:

${\displaystyle O((\Delta t)^{2}+(\Delta x)^{2})}$

Результат плавный, со значительным перерегулированием (которое не сильно увеличивается со временем).

Рекомендации

1. Ричард М. Бим, Р. Ф. Уорминг (сентябрь 1976 г.). "Неявный конечно-разностный алгоритм для гиперболических систем в форме закона сохранения". Журнал вычислительной физики. 22 (1): 87–110. Дои:10.1016/0021-9991(76)90110-8.
2. Ричард М. Бим; Р. Ф. Уорминг (апрель 1978 г.). "Неявная факторизованная схема для сжимаемых уравнений Навье – Стокса". Журнал AIAA. 16 (4). Дои:10.2514/3.60901.
3. Ричард Х. Плетчер (2012). Вычислительная механика жидкости и теплопередача, третье издание. CRC Press. ISBN  978-1591690375.
4. Чанг, T.J. (2010). Вычислительная гидродинамика, 2-е издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0521769693.
5. Ли, Джон (январь 1992 г.). «Упрощение неявной схемы Бима и Уорминга для двумерных сжимаемых течений». Журнал AIAA. 30: 266–268. Дои:10.2514/3.10908.