Теорема Бернштейна – Кушниренко. - Bernstein–Kushnirenko theorem

В Теорема Бернштейна – Кушниренко. или же Теорема Бернштейна – Хованского – Кушниренко (БКК) ^[1]), доказанный Дэвид Бернштейн^[2] и Анатолий Кушниренко [RU ]^[3] в 1975 г. - это теорема в алгебра. Он утверждает, что количество ненулевых комплексных решений системы Многочлен Лорана уравнения ${\displaystyle f_{1}=\cdots =f_{n}=0}$ равно смешанный объем из Многогранники Ньютона полиномов ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{n}}$, предполагая, что все ненулевые коэффициенты ${\displaystyle f_{n}}$ являются общими. Более точное утверждение выглядит следующим образом:

Заявление

Позволять ${\displaystyle A}$ быть конечным подмножеством ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$ Рассмотрим подпространство ${\displaystyle L_{A}}$ алгебры полиномов Лорана ${\displaystyle \mathbb {C} \left[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}\right]}$ состоящий из Полиномы Лорана чьи показатели находятся в ${\displaystyle A}$. То есть:

${\displaystyle L_{A}=\left\{f\,\left|\,f(x)=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }x^{\alpha },c_{\alpha }\in \mathbb {C} \right\},\right.}$

где для каждого ${\displaystyle \alpha =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}}$ мы использовали сокращенную запись ${\displaystyle x^{\alpha }}$ для обозначения одночлена ${\displaystyle x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.}$

Теперь возьми ${\displaystyle n}$ конечные подмножества ${\displaystyle A_{1},\ldots ,A_{n}}$ с соответствующими подпространствами многочленов Лорана ${\displaystyle L_{A_{1}},\ldots ,L_{A_{n}}.}$ Рассмотрим общую систему уравнений из этих подпространств, а именно:

${\displaystyle f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0,}$

где каждый ${\displaystyle f_{i}}$ является общим элементом в (конечномерном векторном пространстве) ${\displaystyle L_{A_{i}}.}$

Теорема Бернштейна – Кушниренко утверждает, что количество решений ${\displaystyle x\in (\mathbb {C} \setminus 0)^{n}}$ такой системы равно

${\displaystyle V(\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}),}$

куда ${\displaystyle V}$ обозначает Минковский смешанный объем и для каждого ${\displaystyle i,\Delta _{i}}$ это выпуклый корпус конечного множества точек ${\displaystyle A_{i}}$. Четко ${\displaystyle \Delta _{i}}$ это выпуклый решетчатый многогранник. Его можно интерпретировать как Многогранник Ньютона общего элемента подпространства ${\displaystyle L_{A_{i}}}$.

В частности, если все множества ${\displaystyle A_{i}}$ одинаковые ${\displaystyle A=A_{1}=\cdots =A_{n},}$ то количество решений общей системы многочленов Лорана из ${\displaystyle L_{A}}$ равно

${\displaystyle n!\operatorname {vol} (\Delta ),}$

куда ${\displaystyle \Delta }$ выпуклая оболочка ${\displaystyle A}$ а vol обычный ${\displaystyle n}$-мерный евклидов объем. Обратите внимание, что даже если объем решетчатого многогранника не обязательно является целым числом, он становится целым после умножения на ${\displaystyle n!}$.

Мелочи

Имя Кушниренко также пишется Кучниренко. Дэвид Бернштейн является братом Джозеф Бернштейн. Аскольд Хованский нашел около 15 различных доказательств этой теоремы.^[4]

Рекомендации

1. *Кокс, Дэвид А.; Литтл, Джон; О'Ши, Донал (2005). Использование алгебраической геометрии. Тексты для выпускников по математике. 185 (Второе изд.). Springer. ISBN  0-387-20706-6. МИСТЕР  2122859.
2. Бернштейн, Дэвид Н. (1975), "Число корней системы уравнений", Функц. Анальный. и Приложен., 9 (3): 1–4, МИСТЕР  0435072
3. Кучниренко, Анатолий Г. (1976), "Polyèdres de Newton et nombres de Milnor", Inventiones Mathematicae, 32 (1): 1–31, Дои:10.1007 / BF01389769, МИСТЕР  0419433
4. Арнольд, Владимир; и другие. (2007). "Аскольд Георгиевич Хованский". Московский математический журнал. 7 (2): 169–171. МИСТЕР  2337876.