Двояковыпуклая оптимизация - Biconvex optimization

Двояковыпуклая оптимизация является обобщением выпуклая оптимизация где целевая функция и набор ограничений могут быть двояковыпуклыми. Есть методы, позволяющие найти глобальный оптимум этих проблем.^[1][2]

Множество ${\displaystyle B\subset X\times Y}$ называется двояковыпуклым множеством на ${\displaystyle X\times Y}$ если для каждого фиксированного ${\displaystyle y\in Y}$, ${\displaystyle B_{y}=\{x\in X:(x,y)\in B\}}$ выпуклое множество в ${\displaystyle X}$ и за каждый фиксированный ${\displaystyle x\in X}$, ${\displaystyle B_{x}=\{y\in Y:(x,y)\in B\}}$ выпуклое множество в ${\displaystyle Y}$.

Функция ${\displaystyle f(x,y):B\to \mathbb {R} }$ называется двояковыпуклой функцией, если фиксировать ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle f_{x}(y)=f(x,y)}$ выпукло над ${\displaystyle Y}$ и исправление ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle f_{y}(x)=f(x,y)}$ выпукло над ${\displaystyle X}$.

Распространенной практикой решения двояковыпуклой задачи (которая не гарантирует глобальной оптимальности решения) является альтернативное обновление ${\displaystyle x,y}$ зафиксировав одну из них и решив соответствующую задачу выпуклой оптимизации.^[1]

Обобщение на функции более двух аргументов называется блок многовыпуклый функция. функция${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{K})\to \mathbb {R} }$является блочным многовыпуклым, если он является выпуклым по каждому из отдельных аргументов, при этом все остальные остаются неизменными.^[3]

Рекомендации

1. Горски, Йохен; Пфеффер, Фрэнк; Кламрот, Катрин (22 июня 2007 г.). «Двояковыпуклые множества и оптимизация с двояковыпуклыми функциями: обзор и расширения» (PDF). Математические методы исследования операций. 66 (3): 373–407. Дои:10.1007 / s00186-007-0161-1.
2. Флудас, Христодулос А. (2000). Детерминированная глобальная оптимизация: теория, методы и приложения. Дордрехт [u.a.]: Kluwer Academic Publ. ISBN  978-0-7923-6014-8.
3. Чен, Цайхуа (2016). ""Прямое расширение ADMM для задач многоблочной выпуклой минимизации не обязательно сходится"". "Математика. Проф.". 155: 57–59. Дои:10.1007 / s10107-014-0826-5.