Биортогональная система - Biorthogonal system

В математика, а биортогональная система пара индексированные семьи векторов

${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}}$ в E и ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}}$ в F

такой, что

${\displaystyle \left\langle {\tilde {v}}_{i},{\tilde {u}}_{j}\right\rangle =\delta _{i,j},}$

куда E и F сформировать пару топологические векторные пространства которые находятся в двойственность, ⟨·,·⟩ это билинейное отображение и ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ это Дельта Кронекера.

Примером может служить пара наборов соответственно левого и правого собственные векторы матрицы, индексированной собственное значение, если собственные значения различны.^[1]

Биортогональная система, в которой E = F и ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}={\tilde {u}}_{i}}$ является ортонормированная система.

Проекция

С биортогональной системой связана проекция

${\displaystyle P:=\sum _{i\in I}{\tilde {u}}_{i}\otimes {\tilde {v}}_{i}}$,

куда ${\displaystyle \left(u\otimes v\right)(x):=u\langle v,x\rangle }$; его образ - это линейный пролет из ${\displaystyle \left\{{\tilde {u}}_{i}:i\in I\right\}}$, а ядро является ${\displaystyle \left\{\left\langle {\tilde {v}}_{i},\cdot \right\rangle =0:i\in I\right\}}$.

Строительство

Учитывая, возможно, неортогональный набор векторов ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{i})}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(v_{i}\right)}$ проекция связана

${\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j}}$,

куда ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$ матрица с элементами ${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\left\langle v_{i},u_{j}\right\rangle }$.

• ${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i}}$, и ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=\left(I-P\right)^{*}v_{i}}$ тогда это биортогональная система.

Смотрите также

• Двойная основа
• Двойное пространство
• Двойная пара
• Ортогональность
• Ортогонализация

Рекомендации

1. Бхушан, Датта, Канти (2008). Матрица и линейная алгебра, издание 2: ПОМОЩЬ MATLAB. PHI Learning Pvt. ООО п. 239. ISBN  9788120336186.

• Жан Дьедонне, О биортогональных системах Michigan Math. J. 2 (1953), нет. 1, 7–20 [1]