Приближение Буссинеска (плавучесть) - Boussinesq approximation (buoyancy)

Эта статья посвящена приближению Буссинеска в потоках, управляемых плавучестью. Для использования в других целях см. Приближение Буссинеска (значения).

В динамика жидкостей, то Приближение Буссинеска (выраженный[businɛsk], названный в честь Жозеф Валентин Буссинеск ) используется в области потока, управляемого плавучестью (также известного как естественная конвекция ). Он игнорирует различия в плотности, за исключением случаев, когда они выражаются в терминах, умноженных грамм, то ускорение силы тяжести. Суть приближения Буссинеска состоит в том, что разница в инерция незначительна, но гравитация достаточно сильна, чтобы конкретный вес заметно различаются между двумя жидкостями. Звуковые волны невозможны / игнорируются при использовании приближения Буссинеска, поскольку звуковые волны движутся через изменения плотности.

Потоки Буссинеска обычны в природе (например, атмосферные фронты, океаническая циркуляция, стоковые ветры ), промышленность (дисперсия плотного газа, вентиляция вытяжного шкафа) и искусственная среда (естественная вентиляция, центральное отопление ). Аппроксимация очень точна для многих таких потоков и упрощает математику и физику.

Приближение

Приближение Буссинеска применяется к задачам, в которых температура жидкости изменяется от одного места к другому, вызывая поток жидкости и теплопередача. Жидкость удовлетворяет сохранение массы, сохранение импульс и сохранение энергии. В приближении Буссинеска изменения свойств жидкости, кроме плотности ρ игнорируются, а плотность появляется только тогда, когда она умножается на грамм, ускорение свободного падения.^{[1]:127–128} Если ты - местная скорость частицы жидкости, уравнение неразрывности для сохранения массы^[1]:52

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0.}$

Если игнорировать изменения плотности, это сводится к^[1]:128

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0.}$

(1)

Общее выражение сохранения количества движения несжимаемой ньютоновской жидкости ( Уравнения Навье – Стокса ) является

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{\rho }}\mathbf {F} ,}$

куда ν (ню) - это кинематическая вязкость и F это сумма любых силы тела Такие как сила тяжести.^[1]:59 В этом уравнении предполагается, что вариации плотности имеют фиксированную часть и другую часть, которая имеет линейную зависимость от температуры:

${\displaystyle \rho =\rho _{0}-\alpha \rho _{0}(T-T_{0}),}$

куда α коэффициент при тепловое расширение.^{[1]:128–129} Приближение Буссинеска утверждает, что изменение плотности важно только в члене плавучести.

Если ${\displaystyle F=\rho \mathbf {g} ,}$ - гравитационная объемная сила, результирующее уравнение сохранения имеет вид^[1]:129

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla (p-\rho _{0}\mathbf {g} \cdot \mathbf {z} )+\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} -\mathbf {g} \alpha (T-T_{0}).}$

(2)

В уравнении теплового потока в градиенте температуры теплоемкость на единицу объема, ${\displaystyle \rho C_{p}}$, считается постоянным, а диссипативный член игнорируется. В результате получается уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla T={\frac {k}{\rho C_{p}}}\nabla ^{2}T+{\frac {J}{\rho C_{p}}},}$

(3)

куда J - удельный вес внутреннего производства тепла на единицу объема и ${\displaystyle k}$ это теплопроводность.^[1]:129

Три пронумерованных уравнения являются основными уравнениями конвекции в приближении Буссинеска.

Преимущества

Преимущество приближения заключается в том, что при рассмотрении потока, скажем, теплой и холодной воды с плотностью ρ₁ и ρ₂ нужно только рассмотреть одну плотность ρ: разница Δρ = ρ₁ − ρ₂ незначительно. Размерный анализ показывает^{[требуется разъяснение ]} что в этих обстоятельствах единственный разумный способ, которым ускорение свободного падения грамм должен входить в уравнения движения находится в приведенной гравитации грамм' куда

${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho }}.}$

(Обратите внимание, что знаменатель может быть любой плотностью, не влияя на результат, потому что изменение будет иметь порядокграмм(Δρ/ρ)²
.) Наиболее часто используемые безразмерное число будет Число Ричардсона и Число Рэлея.

Таким образом, математика потока проще, поскольку соотношение плотностей ρ₁/ρ₂, а безразмерное число, не влияет на поток; приближение Буссинеска утверждает, что его можно считать равным точно единице.

Инверсии

Одной из особенностей потоков Буссинеска является то, что они выглядят одинаково, если смотреть в перевернутом виде, при условии, что идентичности жидкостей перевернуты. Приближение Буссинеска имеет вид неточный когда безразмерная разница плотностей Δρ/ρ имеет порядок единства.

Например, рассмотрим открытое окно в теплой комнате. Теплый воздух внутри менее плотен, чем холодный воздух снаружи, который втекает в комнату и спускается к полу. А теперь представьте обратное: холодную комнату, подверженную воздействию теплого наружного воздуха. Здесь втекающий воздух движется вверх к потолку. Если поток Буссинеска (а в остальном комната симметрична), то смотреть на холодную комнату в перевернутом виде точно так же, как смотреть на теплую комнату прямо. Это связано с тем, что единственный способ решить проблему плотности - это уменьшение силы тяжести. грамм' который претерпевает только изменение знака при переходе от потока теплой комнаты к потоку холодной комнаты.

Примером течения не Буссинеска являются пузырьки, поднимающиеся в воде. Поведение пузырьков воздуха, поднимающихся в воде, сильно отличается от поведения воды, падающей в воздухе: в первом случае поднимающиеся пузырьки имеют тенденцию образовывать полусферические оболочки, а вода, падающая в воздухе, разделяется на капли дождя (на небольших масштабах поверхностное натяжение входит в проблему и сбивает с толку вопрос).

Рекомендации

1. Триттон, Д. Дж. (1977). Физическая гидродинамика. Нью-Йорк: Van Nostrand Reinhold Co. ISBN  9789400999923.

дальнейшее чтение

• Буссинеск, Жозеф (1897). Théorie de l'écoulement tourbillonnant et tumultueux des liquides dans les lits rectilignes a grande section. 1. Готье-Виллар. Получено 10 октября 2015.
• Кляйнштройер, Клемент (1997). Инженерная гидродинамика - междисциплинарный системный подход. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-52-101917-0.
• Триттон, Д.Дж. (1988). Физическая гидродинамика (Второе изд.). Oxford University Press. ISBN  978-0-19-854493-7.