Условие устойчивости Бриджеланда - Bridgeland stability condition - Wikipedia

В математика, и особенно алгебраическая геометрия, а Условие устойчивости Бриджеланда, определяется Том Бриджеланд, является алгебро-геометрическим условием устойчивости, заданным на элементах триангулированная категория. Первоначальный интерес и особое значение имеет случай, когда эта производная категория является производная категория из когерентные пучки на Многообразие Калаби – Яу, и эта ситуация имеет фундаментальные связи с теория струн и изучение D-браны.

Такие условия устойчивости были введены в элементарной форме Майкл Дуглас называется ${\displaystyle \Pi }$-стабильность и используется для учебы BPS B-браны в теории струн.^[1] Эта концепция была уточнена Бриджеландом, который категорично сформулировал эти условия устойчивости и начал свое исследование математически.^[2]

Определение

Определения в этом разделе представлены так же, как в исходной статье Бриджеланда для произвольных триангулированных категорий.^[2]Позволять ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ быть триангулированной категорией. А нарезка ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ из ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ представляет собой сборник полной добавки подкатегории ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )}$ для каждого ${\displaystyle \varphi \in \mathbb {R} }$ такой, что

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\varphi )[1]={\mathcal {P}}(\varphi +1)}$ для всех ${\displaystyle \varphi }$, куда ${\displaystyle [1]}$ - функтор сдвига в триангулированной категории,
• если ${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}}$ и ${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\varphi _{1})}$ и ${\displaystyle B\in {\mathcal {P}}(\varphi _{2})}$, тогда ${\displaystyle \operatorname {Hom} (A,B)=0}$, и
• для каждого объекта ${\displaystyle E\in {\mathcal {D}}}$ существует конечная последовательность действительных чисел ${\displaystyle \varphi _{1}>\varphi _{2}>\cdots >\varphi _{n}}$ и набор треугольников

с ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {P}}(\varphi _{i})}$ для всех ${\displaystyle i}$.

Последнее свойство следует рассматривать как аксиоматически предполагающее существование Фильтрации Хардера – Нарасимхана по элементам категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$.

А Условие устойчивости Бриджеланда по триангулированной категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ пара ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ состоящий из нарезки ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ и гомоморфизм групп ${\displaystyle Z:K({\mathcal {D}})\to \mathbb {C} }$, куда ${\displaystyle K({\mathcal {D}})}$ это Группа Гротендик из ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$, называется центральный заряд, удовлетворяющий

• если ${\displaystyle 0\neq E\in {\mathcal {P}}(\varphi )}$ тогда ${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi )}$ для некоторого строго положительного действительного числа ${\displaystyle m(E)\in \mathbb {R} _{>0}}$.

Принято считать, что категория ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ является по существу маленький, так что совокупность всех условий устойчивости на ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ образует набор ${\displaystyle \operatorname {Stab} ({\mathcal {D}})}$. В хороших обстоятельствах, например, когда ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {D}}^{b}\operatorname {Coh} (X)}$ - производная категория когерентных пучков на комплексном многообразии ${\displaystyle X}$, это множество фактически само по себе имеет структуру комплексного многообразия.

Бриджеланд показал, что данные условия устойчивости Бриджеланда эквивалентны заданию ограниченного т-структура ${\displaystyle {\mathcal {P}}(>0)}$ по категории ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ и центральный заряд ${\displaystyle Z:K({\mathcal {A}})\to \mathbb {C} }$ на сердце ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}((0,1])}$ этой t-структуры, которая удовлетворяет вышеуказанному свойству Хардера – Нарасимхана.^[2] Элемент ${\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}$ является полустабильный (соотв. стабильный) по условию устойчивости ${\displaystyle (Z,{\mathcal {P}})}$ если для каждого сюрприза ${\displaystyle E\to F}$ за ${\displaystyle F\in {\mathcal {A}}}$, у нас есть ${\displaystyle \varphi (E)\leq ({\text{resp.}}<)\,\varphi (F)}$ куда ${\displaystyle Z(E)=m(E)\exp(i\pi \varphi (E))}$ и аналогично для ${\displaystyle F}$.

Рекомендации

1. Дуглас, M.R., Fiol, B. и Römelsberger, C., 2005. Стабильность и BPS-браны. Журнал физики высоких энергий, 2005 (09), стр. 006.
2. Бриджеланд Т., 2007. Условия устойчивости триангулированных категорий. Анналы математики, стр. 317–345.