Теорема британского флага - British flag theorem

Согласно теореме о британском флаге, красные квадраты имеют такую ​​же общую площадь, как и синие квадраты.

Теорема британского флага в космосе, красные квадраты имеют такую ​​же общую площадь, как синие квадраты.

В Евклидова геометрия, то Теорема британского флага говорит, что если точка п выбирается внутри прямоугольник ABCD тогда сумма квадратов Евклидовы расстояния из п к двум противоположным углам прямоугольника равна сумме двух других противоположных углов.^[1][2][3]Как уравнение:

${displaystyle AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.,}$

Теорема также применима к точкам за пределами прямоугольника и, в более общем смысле, к расстояниям от точки в Евклидово пространство к углам прямоугольника, встроенного в пространство.^[4] Более того, если сумма квадратов расстояний от точки п к двум парам противоположных углов параллелограмм сравниваются две суммы, как правило, не будут равны, но разница двух сумм будет зависеть только от формы параллелограмма, а не от выбора п.^[5]

Эту теорему можно также рассматривать как обобщение теоремы Пифагора. Размещение точки п на любой из четырех вершин прямоугольника дает квадрат диагонали прямоугольника, равный сумме квадратов ширины и длины прямоугольника, что является теоремой Пифагора.

Доказательство

Иллюстрация для доказательства

Уронить перпендикулярные линии с точки п к сторонам прямоугольника, встречающимся сторонам AB, до н.э, CD, и ОБЪЯВЛЕНИЕ в точках W, Икс, Y и Z соответственно, как показано на рисунке; эти четыре точки WXYZ образуют вершины ортодиагональный четырехугольник.Применяя теорема Пифагора к прямоугольный треугольник AWP, и наблюдая, что WP = Аризона, следует, что

• ${displaystyle AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}}$

и аналогичным образом квадраты длин расстояний от п к другим трем углам можно рассчитать как

• ${displaystyle PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2},}$
• ${displaystyle BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2},}$ и
• ${displaystyle PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}.}$

Следовательно:

${displaystyle {egin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=left(AW^{2}+AZ^{2}ight)+left(WB^{2}+ZD^{2}ight)[4pt]&=left(WB^{2}+AZ^{2}ight)+left(ZD^{2}+AW^{2}ight)[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}end{aligned}}}$

Именование

Флаг объединенное Королевство.

Эта теорема получила свое название от того факта, что когда отрезки линии из п к углам прямоугольника проведены вместе с перпендикулярными линиями, использованными в доказательстве, завершенная фигура чем-то напоминает Союз Флаг.

Рекомендации

1. Ларднер, Дионисий (1848), Первые шесть книг стихий Евклида, Х.Г.Бон, стр. 87. Ларднер включает эту теорему в то, что он называет «наиболее полезными и замечательными теоремами, которые могут быть выведены» из результатов книги II книги. Элементы Евклида.
2. Янг, Джон Уэсли; Морган, Фрэнк Миллет (1917), Элементарный математический анализ, Компания Macmillan, стр. 304.
3. Бёшер, Максим (1915), Плоская аналитическая геометрия: с вводными главами по дифференциальному исчислению, Х. Холт и компания, стр. 17.
4. Решения для турниров по математике в Гарварде и Массачусетском технологическом институте, Проблема 28.
5. Адамар, Жак (2008), Уроки геометрии: геометрия плоскости, Американское математическое общество, стр. 136, ISBN  978-0-8218-4367-3.

дальнейшее чтение

• Нгуен Минь Ха, Дао Тхань Оай: Интересное приложение теоремы о британском флаге. Глобальный журнал перспективных исследований классической и современной геометрии, том 4 (2015), выпуск 1, стр. 31
• Мартин Гарднер, Дана Ричардс (ред.): Колоссальная книга коротких головоломок и задач. В. В. Нортон, 2006 г., ISBN  978-0-393-06114-7, с. 147, 159 (задача 6.16)

внешняя ссылка

• Теорема о британском флаге на artofproblemsolving.com
• Сможете ли вы решить вопрос на собеседовании Microsoft о прямоугольных углах? (видео, 5:41 мин.)