Каноническая основа - Canonical basis

В математике каноническая основа является основой алгебраической структуры, которая является канонической в ​​том смысле, который зависит от конкретного контекста:

• В координатном пространстве и в более общем плане в свободном модуле это относится к стандартная основа определяется Дельта Кронекера.
• В кольце многочленов он относится к его стандартному базису, заданному мономы, ${\displaystyle (X^{i})_{i}}$.
• Для полей конечного расширения это означает полиномиальный базис.
• В линейная алгебра, это относится к набору п линейно независимый обобщенные собственные векторы из п×п матрица ${\displaystyle A}$, если набор полностью состоит из Иорданские цепи.^[1]

Теория представлений

В теории представлений существует несколько оснований, которые называются «каноническими», например, канонический базис Люстига и близкородственный базис Кашивары. кристаллическая основа в квантовых группах и их представлениях. В основе этих основ лежит общая концепция:

Рассмотрим кольцо интеграла Полиномы Лорана ${\displaystyle {\mathcal {Z}}:=\mathbb {Z} [v,v^{-1}]}$ с двумя подколнями ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }:=\mathbb {Z} [v^{\pm 1}]}$ и автоморфизм ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$ определяется ${\displaystyle {\overline {v}}:=v^{-1}}$.

А предканоническая структура на бесплатном ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$-модуль ${\displaystyle F}$ состоит из

• А стандарт основа ${\displaystyle (t_{i})_{i\in I}}$ из ${\displaystyle F}$,
• Конечный интервал частичный заказ на ${\displaystyle I}$, это, ${\displaystyle (-\infty ,i]:=\{j\in I\mid j\leq i\}}$ конечно для всех ${\displaystyle i\in I}$,
• Операция дуализации, то есть биекция ${\displaystyle F\to F}$ второго порядка, то есть ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$-полулинейный и будем обозначать ${\displaystyle {\overline {\cdot }}}$ также.

Если дана предканоническая структура, то можно определить ${\displaystyle {\mathcal {Z}}^{\pm }}$ подмодуль ${\displaystyle F^{\pm }:=\sum {\mathcal {Z}}^{\pm }t_{j}}$ из ${\displaystyle F}$.

А каноническая основа ${\displaystyle v=0}$ предканонической структуры тогда ${\displaystyle {\mathcal {Z}}}$-основа ${\displaystyle (c_{i})_{i\in I}}$ из ${\displaystyle F}$ что удовлетворяет:

• ${\displaystyle {\overline {c_{i}}}=c_{i}}$ и
• ${\displaystyle c_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{+}t_{j}{\text{ and }}c_{i}\equiv t_{i}\mod vF^{+}}$

для всех ${\displaystyle i\in I}$. А каноническая основа ${\displaystyle v=\infty }$ аналогично определяется как основа ${\displaystyle ({\widetilde {c}}_{i})_{i\in I}}$ это удовлетворяет

• ${\displaystyle {\overline {{\widetilde {c}}_{i}}}={\widetilde {c}}_{i}}$ и
• ${\displaystyle {\widetilde {c}}_{i}\in \sum _{j\leq i}{\mathcal {Z}}^{-}t_{j}{\text{ and }}{\widetilde {c}}_{i}\equiv t_{i}\mod v^{-1}F^{-}}$

для всех ${\displaystyle i\in I}$. Именование "в ${\displaystyle v=\infty }$"намекает на факт ${\displaystyle \lim _{v\to \infty }v^{-1}=0}$ отсюда и «специализация» ${\displaystyle v\mapsto \infty }$ соответствует выделению отношения ${\displaystyle v^{-1}=0}$.

Можно показать, что существует не более одного канонического базиса на v = 0 (и не более одного при ${\displaystyle v=\infty }$) для каждой предканонической структуры. Достаточным условием существования является то, что многочлены ${\displaystyle r_{ij}\in {\mathcal {Z}}}$ определяется ${\displaystyle {\overline {t_{j}}}=\sum _{i}r_{ij}t_{i}}$ удовлетворить ${\displaystyle r_{ii}=1}$ и ${\displaystyle r_{ij}\neq 0\implies i\leq j}$.

Каноническая основа при v = 0 (${\displaystyle v=\infty }$) индуцирует изоморфизм из ${\displaystyle \textstyle F^{+}\cap {\overline {F^{+}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} c_{i}}$ к ${\displaystyle F^{+}/vF^{+}}$ (${\displaystyle \textstyle F^{-}\cap {\overline {F^{-}}}=\sum _{i}\mathbb {Z} {\widetilde {c}}_{i}\to F^{-}/v^{-1}F^{-}}$ соответственно).

Примеры

Квантовые группы

Канонический базис квантовых групп в смысле Люстига и Кашивары является каноническим базисом в ${\displaystyle v=0}$.

Алгебры Гекке

Позволять ${\displaystyle (W,S)}$ быть Группа Кокстера. Соответствующие Алгебра Ивахори-Гекке ${\displaystyle H}$ имеет стандартную основу ${\displaystyle (T_{w})_{w\in W}}$, группа частично упорядочена Заказ Брюа который является интервальным конечным и имеет операцию дуализации, определяемую формулой ${\displaystyle {\overline {T_{w}}}:=T_{w^{-1}}^{-1}}$. Это предканоническая структура на ${\displaystyle H}$ который удовлетворяет указанному выше достаточному условию и соответствующему каноническому базису ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle v=0}$ это Базис Каждана – Люстига

${\displaystyle C_{w}'=\sum _{y\leq w}P_{y,w}(v^{2})T_{w}}$

с ${\displaystyle P_{y,w}}$ будучи Полиномы Каждана – Люстига..

Линейная алгебра

Если нам дадут п × п матрица ${\displaystyle A}$ и хотите найти матрицу ${\displaystyle J}$ в Нормальная форма Джордана, аналогичный к ${\displaystyle A}$, нас интересуют только наборы линейно независимый обобщенные собственные векторы. Матрица в жордановой нормальной форме - это «почти диагональная матрица», то есть максимально приближенная к диагональной. А диагональная матрица ${\displaystyle D}$ является частным случаем матрицы в жордановой нормальной форме. An обычный собственный вектор является частным случаем обобщенного собственного вектора.

Каждые п × п матрица ${\displaystyle A}$ обладает п линейно независимые обобщенные собственные векторы. Обобщенные собственные векторы, соответствующие различным собственные значения линейно независимы. Если ${\displaystyle \lambda }$ является собственным значением ${\displaystyle A}$ из алгебраическая кратность ${\displaystyle \mu }$, тогда ${\displaystyle A}$ буду иметь ${\displaystyle \mu }$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие ${\displaystyle \lambda }$.

Для любого данного п × п матрица ${\displaystyle A}$, есть бесконечно много способов выбрать п линейно независимые обобщенные собственные векторы. Если они выбраны особенно разумным образом, мы можем использовать эти векторы, чтобы показать, что ${\displaystyle A}$ аналогична матрице в жордановой нормальной форме. Особенно,

Определение: Набор п линейно независимыми обобщенными собственными векторами является каноническая основа если он целиком состоит из жордановых цепей.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор классифицировать м находится в канонической основе, отсюда следует, что м - 1 векторов ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$ которые входят в цепочку Жордана, порожденную ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ также находятся в канонической основе.^[2]

Вычисление

Позволять ${\displaystyle \lambda _{i}}$ быть собственным значением ${\displaystyle A}$ алгебраической кратности ${\displaystyle \mu _{i}}$. Сначала найдите разряды (ранги матриц) матриц ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$. Целое число ${\displaystyle m_{i}}$ определяется как первое целое число для которого ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ имеет звание ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ (п количество строк или столбцов ${\displaystyle A}$, это, ${\displaystyle A}$ является п × п).

Теперь определим

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

Переменная ${\displaystyle \rho _{k}}$ обозначает количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k (обобщенный ранг собственного вектора; см. обобщенный собственный вектор ), соответствующему собственному значению ${\displaystyle \lambda _{i}}$ которые появятся в канонической основе для ${\displaystyle A}$. Обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n.}$

После того, как мы определили количество обобщенных собственных векторов каждого ранга, которые имеет канонический базис, мы можем получить векторы явно (см. обобщенный собственный вектор ).^[3]

пример

Этот пример иллюстрирует канонический базис с двумя цепочками Жордана. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно.^[4]Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}4&1&1&0&0&-1\\0&4&2&0&0&1\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&5&1&0\\0&0&0&0&5&2\\0&0&0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

имеет собственные значения ${\displaystyle \lambda _{1}=4}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=5}$ с алгебраическими кратностями ${\displaystyle \mu _{1}=4}$ и ${\displaystyle \mu _{2}=2}$, но геометрические множественности ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$.

За ${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$ у нас есть ${\displaystyle n-\mu _{1}=6-4=2,}$

${\displaystyle (A-4I)}$ имеет 5 ранг,

${\displaystyle (A-4I)^{2}}$ имеет ранг 4,

${\displaystyle (A-4I)^{3}}$ имеет ранг 3,

${\displaystyle (A-4I)^{4}}$ имеет ранг 2.

Следовательно ${\displaystyle m_{1}=4.}$

${\displaystyle \rho _{4}=\operatorname {rank} (A-4I)^{3}-\operatorname {rank} (A-4I)^{4}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-4I)^{2}-\operatorname {rank} (A-4I)^{3}=4-3=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-4I)^{1}-\operatorname {rank} (A-4I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-4I)^{0}-\operatorname {rank} (A-4I)^{1}=6-5=1.}$

Таким образом, каноническая основа для ${\displaystyle A}$ будет иметь, что соответствует ${\displaystyle \lambda _{1}=4,}$ по одному обобщенному собственному вектору рангов 4, 3, 2 и 1.

За ${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$ у нас есть ${\displaystyle n-\mu _{2}=6-2=4,}$

${\displaystyle (A-5I)}$ имеет 5 ранг,

${\displaystyle (A-5I)^{2}}$ имеет ранг 4.

Следовательно ${\displaystyle m_{2}=2.}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=5-4=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=6-5=1.}$

Таким образом, каноническая основа для ${\displaystyle A}$ будет иметь, что соответствует ${\displaystyle \lambda _{2}=5,}$ по одному обобщенному собственному вектору рангов 2 и 1.

Каноническая основа для ${\displaystyle A}$ является

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{4},\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}-4\\0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-27\\-4\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}25\\-25\\-2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\36\\-12\\-2\\2\\-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3\\2\\1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-8\\-4\\-1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ - обычный собственный вектор, связанный с ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{3}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{4}}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с ${\displaystyle \lambda _{1}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ - обычный собственный вектор, связанный с ${\displaystyle \lambda _{2}}$. ${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ - обобщенный собственный вектор, связанный с ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Матрица ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме, аналогичной ${\displaystyle A}$ получается следующим образом:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}&\mathbf {x} _{4}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4&-27&25&0&3&-8\\0&-4&-25&36&2&-4\\0&0&-2&-12&1&-1\\0&0&0&-2&1&0\\0&0&0&2&0&1\\0&0&0&-1&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&1&0&0&0&0\\0&4&1&0&0&0\\0&0&4&1&0&0\\0&0&0&4&0&0\\0&0&0&0&5&1\\0&0&0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

где матрица ${\displaystyle M}$ это обобщенная модальная матрица за ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle AM=MJ}$.^[5]

Смотрите также

• Каноническая форма
• Смена основы
• Нормальная основа
• Нормальная форма (значения)
• Полиномиальный базис

Примечания

1. Бронсон (1970, п. 196)
2. Бронсон (1970, стр. 196,197)
3. Бронсон (1970, стр.197, 198).
4. Неринг (1970 г., стр. 122,123)
5. Бронсон (1970, п. 203)

использованная литература

• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение, Нью-Йорк: Академическая пресса, LCCN  70097490
• Дэн, Bangming; Джу, Джи; Паршалл, Брайан; Ван, Цзяньпан (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы, Математические обзоры и монографии, 150, Провиденс, Р.И.: Американское математическое общество, ISBN  9780821875315
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, LCCN  76091646