Полулинейная карта - Semilinear map

В линейная алгебра особенно проективная геометрия, а полулинейная карта между векторные пространства V и W над полем K функция, которая является линейная карта "до изюминки", отсюда полу-линейный, где "твист" означает "полевой автоморфизм из K". Явно это функция Т : V → W это:

• добавка относительно сложения векторов: ${\displaystyle T(v+v')=T(v)+T(v')}$
• существует полевой автоморфизм θ K такой, что ${\displaystyle T(\lambda v)=\lambda ^{\theta }T(v)}$, где ${\displaystyle \lambda ^{\theta }}$ изображение скаляра ${\displaystyle \lambda }$ при автоморфизме. Если такой автоморфизм существует и Т ненулевое, единственное и Т называется θ-полулинейной.

Если домен и кодомен - это одно и то же пространство (т.е. Т : V → V), его можно назвать полулинейное преобразование. Обратимые полулинейные преобразования заданного векторного пространства V (для всех вариантов полевого автоморфизма) образуют группу, называемую общая полулинейная группа и обозначен ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V),}$ по аналогии с расширением общая линейная группа. Частный случай, когда поле - комплексные числа ℂ и автоморфизм комплексное сопряжение, полулинейное отображение называется антилинейная карта.

Аналогичные обозначения (замена латинских символов греческими) используются для полулинейных аналогов более ограниченного линейного преобразования; формально полупрямой продукт линейной группы с группой Галуа полевого автоморфизма. Например, PΣU используется для полулинейных аналогов проективная специальная унитарная группа БП. Отметим, однако, что только недавно было замечено, что эти обобщенные полулинейные группы не определены корректно, как указано в (Брей, Холт и Рони-Дугал, 2009 г. ) - изоморфные классические группы г и ЧАС (подгруппы SL) могут иметь неизоморфные полулинейные расширения. На уровне полупрямых продуктов это соответствует различным действиям группы Галуа на данной абстрактной группе, полупрямому продукту, зависящему от двух групп и действия. Если расширение не уникально, существует ровно два полулинейных расширения; например, симплектические группы имеют единственное полулинейное расширение, а SU (п, q) имеет два расширения, если п даже и q странно, как и для БП.

Определение

Карта ж : V → W для векторных пространств V и W над полями K и L соответственно σ-полулинейный, или просто полулинейный, если существует гомоморфизм поля σ : K → L такой, что для всех Икс, у в V и λ в K он считает, что

1. ${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y),}$
2. ${\displaystyle f(\lambda x)=\sigma (\lambda )f(x).}$

Данный встраивание σ поля K в L позволяет нам идентифицировать K с подполем L, делая σ-полулинейное отображение a K-линейная карта под этим обозначением. Однако карта, которая τ-полулинейно для отчетливого вложения τ ≠ σ не будет K-линейный по отношению к исходной идентификации σ, если только ж тождественно нулю.

В более общем плане карта ψ : M → N между правом р-модуль M и левый S-модуль N является σ-полулинейный если существует кольцо антигомоморфизм σ : р → S такой, что для всех Икс, у в M и λ в р он считает, что

1. ${\displaystyle \psi (x+y)=\psi (x)+\psi (y),}$
2. ${\displaystyle \psi (x\lambda )=\sigma (\lambda )\psi (x).}$

Период, термин полулинейный применяется для любой комбинации левого и правого модулей с подходящей настройкой вышеуказанных выражений, с σ являясь гомоморфизмом, если необходимо.^[1][2]

Пара (ψ, σ) называется диморфизм.^[3]

Связанный

Транспонировать

Позволять σ : р → S - изоморфизм колец, M право р-модуль и N право S-модуль и ψ : M → N а σ-полулинейная карта. Мы определяем транспонировать из ψ как отображение ^тψ : N^∗ → M^∗ это удовлетворяет^[4]

${\displaystyle \langle y,\psi (x)\rangle =\sigma (\langle {}^{\text{t}}\psi (y),x\rangle )\quad \forall y\in N^{*},\forall x\in M.}$

Это σ⁻¹-полулинейная карта.

Свойства

Позволять σ : р → S - изоморфизм колец, M право р-модуль и N право S-модуль и ψ : M → N а σ-полулинейная карта. Отображение

${\displaystyle M\to R:x\mapsto \sigma ^{-1}(\langle y,\psi (x)\rangle ),\quad y\in N^{*}}$

определяет р-линейная форма.^[5]

Примеры

• Позволять ${\displaystyle K=\mathbf {C} ,V=\mathbf {C} ^{n},}$ со стандартной базой ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$. Определите карту ${\displaystyle f\colon V\to V}$ от

  ${\displaystyle f\left(\sum _{i=1}^{n}z_{i}e_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}{\bar {z}}_{i}e_{i}}$

ж является полулинейным (относительно автоморфизма поля комплексного сопряжения), но не линейным.

• Позволять ${\displaystyle K=\operatorname {GF} (q)}$ - поле порядка Галуа ${\displaystyle q=p^{i}}$, п характеристика. Позволять ${\displaystyle \ell ^{\theta }=\ell ^{p}}$. Посредством Мечта первокурсника известно, что это полевой автоморфизм. Каждой линейной карте ${\displaystyle f\colon V\to W}$ между векторными пространствами V и W над K мы можем установить ${\displaystyle \theta }$-полулинейная карта

  ${\displaystyle {\widetilde {f}}\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}e_{i}\right):=f\left(\sum _{i=1}^{n}\ell _{i}^{\theta }e_{i}\right).}$

В самом деле, любое линейное отображение может быть таким образом преобразовано в полулинейное. Это часть общего наблюдения, обобщенного в следующем результате.

• Позволять ${\displaystyle R}$ некоммутативное кольцо, ${\displaystyle M}$ левый ${\displaystyle R}$-модуль и ${\displaystyle \alpha }$ обратимый элемент ${\displaystyle R}$. Определите карту ${\displaystyle \varphi \colon M\to M\colon x\mapsto \alpha x}$, так ${\displaystyle \varphi (\lambda u)=\alpha \lambda u=(\alpha \lambda \alpha ^{-1})\alpha u=\sigma (\lambda )\varphi (u)}$, и ${\displaystyle \sigma }$ внутренний автоморфизм ${\displaystyle R}$. Таким образом гомотетия ${\displaystyle x\mapsto \alpha x}$ не обязательно быть линейной картой, но ${\displaystyle \sigma }$-полулинейный.^[6]

Общая полулинейная группа

Учитывая векторное пространство V, множество всех обратимых полулинейных преобразований V → V (по всем полевым автоморфизмам) группа ΓL (V).

Учитывая векторное пространство V над K, ΓL (V) распадается как полупрямой продукт

${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)=\operatorname {GL} (V)\rtimes \operatorname {Aut} (K),}$

где Aut (K) - автоморфизмы K. Аналогично полулинейные преобразования других линейных групп могут быть определены как полупрямое произведение с группой автоморфизмов, или, что более важно, как группа полулинейных отображений векторного пространства, сохраняющих некоторые свойства.

Мы идентифицируем Aut (K) с подгруппой в ΓL (V) путем фиксации основы B для V и определение полулинейных отображений:

${\displaystyle \sum _{b\in B}\ell _{b}b\mapsto \sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

для любого ${\displaystyle \sigma \in \operatorname {Aut} (K)}$. Обозначим эту подгруппу через Aut (K)_B. Мы также видим эти дополнения к GL (V) в ΓL (V) регулярно выполняются GL (V), поскольку они соответствуют изменение основы.

Доказательство

Любое линейное отображение полулинейно, поэтому ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)\leq \operatorname {\Gamma L} (V)}$. Закрепить основу B из V. Теперь для любого полулинейного отображения ж относительно полевого автоморфизма σ ∈ Aut (K), затем определим г : V → V от

${\displaystyle g\left(\sum _{b\in B}\ell _{b}b\right):=\sum _{b\in B}f\left(l_{b}^{\sigma ^{-1}}b\right)=\sum _{b\in B}\ell _{b}f(b)}$

Так как ж(B) также является основой V, это следует из того г просто базовый обмен V и так линейно и обратимо: г ∈ GL (V).

Набор ${\displaystyle h:=fg^{-1}}$. Для каждого ${\displaystyle v=\sum _{b\in B}\ell _{b}b}$ в V,

${\displaystyle hv=fg^{-1}v=\sum _{b\in B}\ell _{b}^{\sigma }b}$

таким образом час находится в Aut (K) подгруппы относительно фиксированного базиса Б. Эта факторизация уникальна для фиксированного базиса B. Кроме того, GL (V) нормализуется действием Aut (K)_B, так ΓL (V) = GL (V) ⋊ Aut (K).

Приложения

Проективная геометрия

В ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ группы расширяют типичный классические группы в GL (V). Важность рассмотрения таких карт следует из рассмотрения проективная геометрия. Индуцированное действие ${\displaystyle \operatorname {\Gamma L} (V)}$ на ассоциированном проективном пространстве P (V) дает проективная полулинейная группа, обозначенный ${\displaystyle \operatorname {P\Gamma L} (V)}$, расширяя проективная линейная группа, PGL (V).

Проективная геометрия векторного пространства V, обозначается PG (V), - решетка всех подпространств V. Хотя типичное полулинейное отображение не является линейным, из этого следует, что каждое полулинейное отображение ${\displaystyle f\colon V\to W}$ индуцирует сохраняющее порядок отображение ${\displaystyle f\colon \operatorname {PG} (V)\to \operatorname {PG} (W)}$. То есть каждое полулинейное отображение индуцирует проективность. Обратное этому наблюдению (за исключением проективной прямой) - это основная теорема проективной геометрии. Таким образом, полулинейные отображения полезны, потому что они определяют группу автоморфизмов проективной геометрии векторного пространства.

Группа Матье

Основная статья: Группа Матье

Группа PΓL (3,4) может быть использована для построения группы Матье M₂₄, который является одним из спорадические простые группы; PΓL (3,4) - максимальная подгруппа в M₂₄, и есть много способов распространить его на всю группу Матье.

Смотрите также

• Антилинейная карта
• Комплексно сопряженное векторное пространство

использованная литература

1. Ян Р. Портеус (1995), Алгебры Клиффорда и классические группы, Издательство Кембриджского университета
2. Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 223
3. Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 223
4. Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 236
5. Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 236
6. Бурбаки (1989), Алгебра I (2-е изд.), Springer-Verlag, p. 223

• Assmus, E.F .; Ки, J.D. (1994), Конструкции и их коды, Издательство Кембриджского университета, п. 93, ISBN  0-521-45839-0
• Бурбаки, Николас (1989) [1970]. Алгебра I Главы 1-3 [Algèbre: Chapitres 1–3] (PDF). Éléments de mathématique. Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN  978-3-540-64243-5. OCLC  18588156.
• Брей, Джон Н .; Холт, Дерек Ф .; Рони-Дугал, Колва М. (2009), «Некоторые классические группы не определены четко», Журнал теории групп, 12 (2): 171–180, Дои:10.1515 / jgt.2008.069, ISSN  1433-5883, Г-Н  2502211
• Фор, Клод-Ален; Фрёличер, Альфред (2000), Современная проективная геометрия, Kluwer Academic Publishers, ISBN  0-7923-6525-9
• Gruenberg, K.W .; Weir, A.J. (1977), Линейная геометрия, Тексты для выпускников по математике, 49 (1-е изд.), Springer-Verlag New York
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

В этой статье использованы материалы из полулинейное преобразование на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.