Обобщенный собственный вектор - Generalized eigenvector

Не путать с Обобщенная проблема собственных значений.

В линейная алгебра, а обобщенный собственный вектор из ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ это вектор который удовлетворяет определенным критериям, более мягким, чем критерии для (обычного) собственный вектор.^[1]

Позволять ${\displaystyle V}$ быть ${\displaystyle n}$-размерный векторное пространство; позволять ${\displaystyle \phi }$ быть линейная карта в L(V), множество всех линейных отображений из ${\displaystyle V}$ в себя; и разреши ${\displaystyle A}$ быть матричное представление из ${\displaystyle \phi }$ в отношении некоторых заказанных основа.

Не всегда может существовать полный набор ${\displaystyle n}$ линейно независимый собственные векторы ${\displaystyle A}$ которые составляют полную основу для ${\displaystyle V}$. То есть матрица ${\displaystyle A}$ может и не быть диагонализуемый.^[2][3] Это происходит, когда алгебраическая кратность по крайней мере одного собственное значение ${\displaystyle \lambda _{i}}$ больше, чем его геометрическая кратность (в ничтожность матрицы ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$, или измерение своего пустое пространство ). В этом случае, ${\displaystyle \lambda _{i}}$ называется дефектное собственное значение и ${\displaystyle A}$ называется дефектная матрица.^[4]

Обобщенный собственный вектор ${\displaystyle x_{i}}$ соответствующий ${\displaystyle \lambda _{i}}$вместе с матрицей ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)}$ порождают жорданову цепочку линейно независимых обобщенных собственных векторов, которые составляют основу инвариантное подпространство из ${\displaystyle V}$.^[5][6][7]

Используя обобщенные собственные векторы, набор линейно независимых собственных векторов ${\displaystyle A}$ при необходимости может быть расширен до полной основы для ${\displaystyle V}$.^[8] Этот базис можно использовать для определения «почти диагональной матрицы» ${\displaystyle J}$ в Нормальная форма Джордана, похожий к ${\displaystyle A}$, что полезно при вычислении некоторых матричные функции из ${\displaystyle A}$.^[9] Матрица ${\displaystyle J}$ также полезен при решении система линейных дифференциальных уравнений ${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$ куда ${\displaystyle A}$ не должно быть диагонализуемым.^[10][11]

Размерность обобщенного собственного подпространства, соответствующая данному собственному значению ${\displaystyle \lambda }$ алгебраическая кратность ${\displaystyle \lambda }$.^[12]

Обзор и определение

Есть несколько эквивалентных способов определения обычный собственный вектор.^{[13][14][15][16][17][18][19][20]} Для наших целей собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {u} }$ связанный с собственным значением ${\displaystyle \lambda }$ из ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ матрица ${\displaystyle A}$ - ненулевой вектор, для которого ${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} }$, куда ${\displaystyle I}$ это ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ единичная матрица и ${\displaystyle \mathbf {0} }$ это нулевой вектор длины ${\displaystyle n}$.^[21] То есть, ${\displaystyle \mathbf {u} }$ находится в ядро из трансформация ${\displaystyle (A-\lambda I)}$. Если ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n}$ линейно независимые собственные векторы, то ${\displaystyle A}$ похожа на диагональную матрицу ${\displaystyle D}$. То есть существует обратимая матрица ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle A}$ диагонализируется преобразованием подобия ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$.^[22][23] Матрица ${\displaystyle D}$ называется спектральная матрица за ${\displaystyle A}$. Матрица ${\displaystyle M}$ называется модальная матрица за ${\displaystyle A}$.^[24] Диагонализируемые матрицы представляют особый интерес, поскольку их матричные функции могут быть легко вычислены.^[25]

С другой стороны, если ${\displaystyle A}$ не имеет ${\displaystyle n}$ ассоциированные с ним линейно независимые собственные векторы, то ${\displaystyle A}$ не диагонализируется.^[26][27]

Определение: Вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ это обобщенный собственный вектор ранга м матрицы ${\displaystyle A}$ и соответствующее собственному значению ${\displaystyle \lambda }$ если

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m}\mathbf {x} _{m}=\mathbf {0} }$

но

${\displaystyle (A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}\neq \mathbf {0} .}$ ^[28]

Ясно, что обобщенный собственный вектор ранга 1 является обычным собственным вектором.^[29] Каждый ${\displaystyle n}$ × ${\displaystyle n}$ матрица ${\displaystyle A}$ имеет ${\displaystyle n}$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, связанные с ним, и можно показать, что они похожи на "почти диагональную" матрицу ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме.^[30] То есть существует обратимая матрица ${\displaystyle M}$ такой, что ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$.^[31] Матрица ${\displaystyle M}$ в этом случае называется обобщенная модальная матрица за ${\displaystyle A}$.^[32] Если ${\displaystyle \lambda }$ является собственным значением алгебраической кратности ${\displaystyle \mu }$, тогда ${\displaystyle A}$ буду иметь ${\displaystyle \mu }$ линейно независимые обобщенные собственные векторы, соответствующие ${\displaystyle \lambda }$.^[33] Эти результаты, в свою очередь, обеспечивают простой метод вычисления некоторых матричных функций ${\displaystyle A}$.^[34]

Примечание: для ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ через поле ${\displaystyle F}$ в жордановой нормальной форме все собственные значения ${\displaystyle A}$ должен быть в ${\displaystyle F}$. Это характеристический многочлен ${\displaystyle f(x)}$ должны полностью учитывать линейные факторы. Например, если ${\displaystyle A}$ имеет ценный элементов, то может потребоваться, чтобы собственные значения и компоненты собственных векторов имели комплексные значения.^[35][36][37]

Набор охватывал всеми обобщенными собственными векторами для данного ${\displaystyle \lambda }$, формирует обобщенное собственное подпространство за ${\displaystyle \lambda }$.^[38]

Примеры

Вот несколько примеров, иллюстрирующих концепцию обобщенных собственных векторов. Некоторые детали будут описаны позже.

Пример 1

Этот простой пример четко иллюстрирует суть. Этот тип матрицы часто используется в учебниках.^[39][40][41]Предполагать

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}.}$

Тогда есть только одно собственное значение, ${\displaystyle \lambda =1}$, а его алгебраическая кратность равна м = 2.

Обратите внимание, что эта матрица имеет нормальную форму Жордана, но не диагональ. Следовательно, эта матрица не диагонализуема. Поскольку есть один супердиагональ запись, будет один обобщенный собственный вектор ранга больше 1 (или можно было бы отметить, что векторное пространство ${\displaystyle V}$ имеет размерность 2, поэтому может быть не более одного обобщенного собственного вектора ранга больше 1). В качестве альтернативы можно вычислить размер пустое пространство из ${\displaystyle A-\lambda I}$ быть п = 1, а значит, есть м – п = 1 обобщенный собственный вектор ранга больше 1.

Обычный собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$ вычисляется как обычно (см. собственный вектор страницу для примеров). Используя этот собственный вектор, мы вычисляем обобщенный собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ путем решения

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}=\mathbf {v} _{1}.}$

Записываем значения:

${\displaystyle \left({\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}-1{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right){\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{21}\\v_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}.}$

Это упрощает

${\displaystyle v_{22}=1.}$

Элемент ${\displaystyle v_{21}}$ не имеет ограничений. Тогда обобщенный собственный вектор ранга 2 равен ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}}$, куда а может иметь любое скалярное значение. Выбор а = 0 обычно самый простой.

Обратите внимание, что

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{2}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {v} _{1},}$

так что ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ - обобщенный собственный вектор,

${\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {v} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

так что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ - обычный собственный вектор, и что ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} _{2}}$ линейно независимы и, следовательно, составляют основу векторного пространства ${\displaystyle V}$.

Пример 2

Этот пример сложнее, чем Пример 1. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно.^[42]Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\3&1&0&0&0\\6&3&2&0&0\\10&6&3&2&0\\15&10&6&3&2\end{pmatrix}}}$

имеет собственные значения ${\displaystyle \lambda _{1}=1}$ и ${\displaystyle \lambda _{2}=2}$ с алгебраические кратности ${\displaystyle \mu _{1}=2}$ и ${\displaystyle \mu _{2}=3}$, но геометрические множественности ${\displaystyle \gamma _{1}=1}$ и ${\displaystyle \gamma _{2}=1}$.

В обобщенные собственные подпространства из ${\displaystyle A}$ рассчитываются ниже.${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ - обычный собственный вектор, связанный с ${\displaystyle \lambda _{1}}$.${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ является обобщенным собственным вектором, связанным с ${\displaystyle \lambda _{1}}$.${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ - обычный собственный вектор, связанный с ${\displaystyle \lambda _{2}}$.${\displaystyle \mathbf {y} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {y} _{3}}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-1I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&0\\3&0&0&0&0\\6&3&1&0&0\\10&6&3&1&0\\15&10&6&3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}=\mathbf {x} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {0} ,}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{2}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{1},}$

${\displaystyle (A-2I)\mathbf {y} _{3}={\begin{pmatrix}-1&0&0&0&0\\3&-1&0&0&0\\6&3&0&0&0\\10&6&3&0&0\\15&10&6&3&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}=\mathbf {y} _{2}.}$

В результате получается основа для каждого из обобщенные собственные подпространства из ${\displaystyle A}$.Вместе двух цепи обобщенных собственных векторов охватывают пространство всех 5-мерных векторов-столбцов.

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\3\\-9\\9\\-3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\-15\\30\\-1\\-45\end{pmatrix}}\right\},\left\{\mathbf {y} _{1},\mathbf {y} _{2},\mathbf {y} _{3}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\\9\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\3\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\\0\end{pmatrix}}\right\}.}$

«Почти диагональная» матрица ${\displaystyle J}$ в Нормальная форма Джордана, похожий на ${\displaystyle A}$ получается следующим образом:

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {y} _{1}&\mathbf {y} _{2}&\mathbf {y} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\3&-15&0&0&0\\-9&30&0&0&1\\9&-1&0&3&-2\\-3&-45&9&0&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}1&1&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&2&1&0\\0&0&0&2&1\\0&0&0&0&2\end{pmatrix}},}$

куда ${\displaystyle M}$ это обобщенная модальная матрица за ${\displaystyle A}$, столбцы ${\displaystyle M}$ площадь каноническая основа за ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle AM=MJ}$.^[43]

Иорданские цепи

Определение: Позволять ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ - обобщенный собственный вектор ранга м соответствующая матрице ${\displaystyle A}$ и собственное значение ${\displaystyle \lambda }$. В цепочка, созданная ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ это набор векторов ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}}$ данный

${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.}$

(1)

Таким образом, в целом

${\displaystyle \mathbf {x} _{j}=(A-\lambda I)^{m-j}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{j+1}\qquad (j=1,2,\dots ,m-1).}$

(2)

Вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{j}}$, задаваемый (2), является обобщенным собственным вектором ранга j соответствующему собственному значению ${\displaystyle \lambda }$. Цепочка - это линейно независимый набор векторов.^[44]

Каноническая основа

Основная статья: Канонический базис § Линейная алгебра

Определение: Набор п линейно независимыми обобщенными собственными векторами является каноническая основа если он целиком состоит из жордановых цепей.

Таким образом, как только мы определили, что обобщенный собственный вектор ранга м находится в канонической основе, отсюда следует, что м - 1 векторов ${\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}}$ которые входят в цепочку Жордана, порожденную ${\displaystyle \mathbf {x} _{m}}$ также находятся в канонической основе.^[45]

Позволять ${\displaystyle \lambda _{i}}$ быть собственным значением ${\displaystyle A}$ алгебраической кратности ${\displaystyle \mu _{i}}$. Сначала найдите разряды (ранги матриц) матриц ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$. Целое число ${\displaystyle m_{i}}$ определяется как первое целое число для которого ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ имеет звание ${\displaystyle n-\mu _{i}}$ (п количество строк или столбцов ${\displaystyle A}$, то есть, ${\displaystyle A}$ является п × п).

Теперь определим

${\displaystyle \rho _{k}=\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k-1}-\operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{k}\qquad (k=1,2,\ldots ,m_{i}).}$

Переменная ${\displaystyle \rho _{k}}$ обозначает количество линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга k соответствующему собственному значению ${\displaystyle \lambda _{i}}$ которые появятся в канонической основе для ${\displaystyle A}$. Обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-\lambda _{i}I)^{0}=\operatorname {rank} (I)=n}$.^[46]

Вычисление обобщенных собственных векторов

В предыдущих разделах мы видели методы получения ${\displaystyle n}$ линейно независимые обобщенные собственные векторы канонического базиса векторного пространства ${\displaystyle V}$ связанный с ${\displaystyle n\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$. Эти техники можно объединить в одну процедуру:

Решить характеристическое уравнение из ${\displaystyle A}$ для собственных значений ${\displaystyle \lambda _{i}}$ и их алгебраические кратности ${\displaystyle \mu _{i}}$;

Для каждого ${\displaystyle \lambda _{i}:}$

Определять ${\displaystyle n-\mu _{i}}$;

Определять ${\displaystyle m_{i}}$;

Определять ${\displaystyle \rho _{k}}$ за ${\displaystyle (k=1,\ldots ,m_{i})}$;

Определите каждую цепочку Жордана для ${\displaystyle \lambda _{i}}$;

Пример 3

Матрица

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}5&1&-2&4\\0&5&2&2\\0&0&5&3\\0&0&0&4\end{pmatrix}}}$

имеет собственное значение ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$ алгебраической кратности ${\displaystyle \mu _{1}=3}$ и собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ алгебраической кратности ${\displaystyle \mu _{2}=1}$. У нас также есть ${\displaystyle n=4}$. За ${\displaystyle \lambda _{1}}$ у нас есть ${\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1}$.

${\displaystyle (A-5I)={\begin{pmatrix}0&1&-2&4\\0&0&2&2\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)=3.}$

${\displaystyle (A-5I)^{2}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{2}=2.}$

${\displaystyle (A-5I)^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\qquad \operatorname {rank} (A-5I)^{3}=1.}$

Первое целое число ${\displaystyle m_{1}}$ для которого ${\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}}$ имеет звание ${\displaystyle n-\mu _{1}=1}$ является ${\displaystyle m_{1}=3}$.

Теперь определим

${\displaystyle \rho _{3}=\operatorname {rank} (A-5I)^{2}-\operatorname {rank} (A-5I)^{3}=2-1=1,}$

${\displaystyle \rho _{2}=\operatorname {rank} (A-5I)^{1}-\operatorname {rank} (A-5I)^{2}=3-2=1,}$

${\displaystyle \rho _{1}=\operatorname {rank} (A-5I)^{0}-\operatorname {rank} (A-5I)^{1}=4-3=1.}$

Следовательно, будет три линейно независимых обобщенных собственных вектора; по одной ранга 3, 2 и 1. Поскольку ${\displaystyle \lambda _{1}}$ соответствует единственной цепочке из трех линейно независимых обобщенных собственных векторов, мы знаем, что существует обобщенный собственный вектор ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ ранга 3, соответствующего ${\displaystyle \lambda _{1}}$ такой, что

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}=\mathbf {0} }$

(3)

но

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}\neq \mathbf {0} .}$

(4)

Уравнения (3) и (4) представлять линейные системы это может быть решено для ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$. Позволять

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}.}$

потом

${\displaystyle (A-5I)^{3}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&14\\0&0&0&-4\\0&0&0&3\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}14x_{34}\\-4x_{34}\\3x_{34}\\-x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle (A-5I)^{2}\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0&0&2&-8\\0&0&0&4\\0&0&0&-3\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{31}\\x_{32}\\x_{33}\\x_{34}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2x_{33}-8x_{34}\\4x_{34}\\-3x_{34}\\x_{34}\end{pmatrix}}\neq {\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

Таким образом, для выполнения условий (3) и (4), мы должны иметь ${\displaystyle x_{34}=0}$ и ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Никаких ограничений на ${\displaystyle x_{31}}$ и ${\displaystyle x_{32}}$. Выбирая ${\displaystyle x_{31}=x_{32}=x_{34}=0,x_{33}=1}$, мы получаем

${\displaystyle \mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}}$

как обобщенный собственный вектор ранга 3, соответствующий ${\displaystyle \lambda _{1}=5}$. Отметим, что можно получить бесконечно много других обобщенных собственных векторов ранга 3, выбирая различные значения ${\displaystyle x_{31}}$, ${\displaystyle x_{32}}$ и ${\displaystyle x_{33}}$, с ${\displaystyle x_{33}\neq 0}$. Однако наш первый выбор самый простой.^[47]

Теперь используя уравнения (1), мы получаем ${\displaystyle \mathbf {x} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{1}}$ как обобщенные собственные векторы ранга 2 и 1 соответственно, где

${\displaystyle \mathbf {x} _{2}=(A-5I)\mathbf {x} _{3}={\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-5I)\mathbf {x} _{2}={\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$

В простое собственное значение ${\displaystyle \lambda _{2}=4}$ можно решить с помощью стандартные методы и имеет обычный собственный вектор

${\displaystyle \mathbf {y} _{1}={\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}.}$

Каноническая основа для ${\displaystyle A}$ является

${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{3},\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1},\mathbf {y} _{1}\right\}=\left\{{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-2\\2\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-14\\4\\-3\\1\end{pmatrix}}\right\}.}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2}}$ и ${\displaystyle \mathbf {x} _{3}}$ являются обобщенными собственными векторами, связанными с ${\displaystyle \lambda _{1}}$, пока ${\displaystyle \mathbf {y} _{1}}$ - обычный собственный вектор, связанный с ${\displaystyle \lambda _{2}}$.

Это довольно простой пример. В общем, цифры ${\displaystyle \rho _{k}}$ линейно независимых обобщенных собственных векторов ранга ${\displaystyle k}$ не всегда будет равным. То есть может быть несколько цепочек разной длины, соответствующих конкретному собственному значению.^[48]

Обобщенная модальная матрица

Основная статья: Обобщенная модальная матрица

Позволять ${\displaystyle A}$ быть п × п матрица. А обобщенная модальная матрица ${\displaystyle M}$ за ${\displaystyle A}$ является п × п матрица, столбцы которой, рассматриваемые как векторы, образуют канонический базис для ${\displaystyle A}$ и появиться в ${\displaystyle M}$ по следующим правилам:

• Все цепочки Жордана, состоящие из одного вектора (т. Е. Одного вектора длины), появляются в первых столбцах таблицы ${\displaystyle M}$.
• Все векторы одной цепочки появляются вместе в соседних столбцах ${\displaystyle M}$.
• Каждая цепочка появляется в ${\displaystyle M}$ в порядке возрастания ранга (то есть обобщенный собственный вектор ранга 1 появляется перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепочки, который стоит перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и т. д.).^[49]

Нормальная форма Джордана

Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Серые блоки называются жордановыми блоками.

Основная статья: Нормальная форма Джордана

Позволять ${\displaystyle V}$ быть п-мерное векторное пространство; позволять ${\displaystyle \phi }$ быть линейной картой в L(V), множество всех линейных отображений из ${\displaystyle V}$ в себя; и разреши ${\displaystyle A}$ - матричное представление ${\displaystyle \phi }$ относительно некоторой упорядоченной основы. Можно показать, что если характеристический многочлен ${\displaystyle f(\lambda )}$ из ${\displaystyle A}$ факторов в линейные факторы, так что ${\displaystyle f(\lambda )}$ имеет форму

${\displaystyle f(\lambda )=\pm (\lambda -\lambda _{1})^{\mu _{1}}(\lambda -\lambda _{2})^{\mu _{2}}\cdots (\lambda -\lambda _{r})^{\mu _{r}},}$

куда ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}}$ являются различными собственными значениями ${\displaystyle A}$, то каждый ${\displaystyle \mu _{i}}$ - алгебраическая кратность соответствующего собственного значения ${\displaystyle \lambda _{i}}$ и ${\displaystyle A}$ похожа на матрицу ${\displaystyle J}$ в Нормальная форма Джордана, где каждый ${\displaystyle \lambda _{i}}$ появляется ${\displaystyle \mu _{i}}$ раз подряд по диагонали, а запись прямо над каждым ${\displaystyle \lambda _{i}}$ (то есть на супердиагональ ) равно 0 или 1: запись над первым вхождением каждого ${\displaystyle \lambda _{i}}$ всегда 0; все остальные элементы на супердиагонали равны 1. Все остальные элементы (то есть вне диагонали и наддиагонали) равны 0. Матрица ${\displaystyle J}$ максимально приближена к диагонализации ${\displaystyle A}$. Если ${\displaystyle A}$ диагонализуема, то все элементы выше диагонали равны нулю.^[50] Обратите внимание, что в некоторых учебниках они субдиагональный, то есть непосредственно под главной диагональю, а не на наддиагонали. Собственные значения по-прежнему находятся на главной диагонали.^[51][52]

Каждый п × п матрица ${\displaystyle A}$ похожа на матрицу ${\displaystyle J}$ в жордановой нормальной форме, полученной преобразованием подобия ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$, куда ${\displaystyle M}$ является обобщенной модальной матрицей для ${\displaystyle A}$.^[53] (Видеть Примечание над.)

Пример 4

Найдите матрицу в жордановой нормальной форме, похожую на

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&4&2\\-3&8&3\\4&-8&-2\end{pmatrix}}.}$

Решение: Характеристическое уравнение ${\displaystyle A}$ является ${\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0}$, следовательно, ${\displaystyle \lambda =2}$ является собственным значением алгебраической кратности три. Следуя процедурам предыдущих разделов, мы находим, что

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)=1}$

и

${\displaystyle \operatorname {rank} (A-2I)^{2}=0=n-\mu .}$

Таким образом, ${\displaystyle \rho _{2}=1}$ и ${\displaystyle \rho _{1}=2}$, откуда следует, что каноническая основа для ${\displaystyle A}$ будет содержать один линейно независимый обобщенный собственный вектор ранга 2 и два линейно независимых обобщенных собственных вектора ранга 1 или, что то же самое, одну цепочку из двух векторов ${\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}}$ и одна цепочка из одного вектора ${\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}}$. Назначение ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}}$, мы находим, что

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}2&2&0\\1&3&0\\0&-4&1\end{pmatrix}},}$

и

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}},}$

куда ${\displaystyle M}$ является обобщенной модальной матрицей для ${\displaystyle A}$, столбцы ${\displaystyle M}$ являются канонической основой для ${\displaystyle A}$, и ${\displaystyle AM=MJ}$.^[54] Обратите внимание: поскольку сами обобщенные собственные векторы не уникальны, и поскольку некоторые столбцы обоих ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle J}$ можно поменять местами, отсюда следует, что оба ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle J}$ не уникальны.^[55]

Пример 5

В Пример 3, мы нашли канонический базис из линейно независимых обобщенных собственных векторов для матрицы ${\displaystyle A}$. Обобщенная модальная матрица для ${\displaystyle A}$ является

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}&\mathbf {x} _{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-14&2&-2&0\\4&0&2&0\\-3&0&0&1\\1&0&0&0\end{pmatrix}}.}$

Матрица в жордановой нормальной форме, аналогичная ${\displaystyle A}$ является

${\displaystyle J={\begin{pmatrix}4&0&0&0\\0&5&1&0\\0&0&5&1\\0&0&0&5\end{pmatrix}},}$

так что ${\displaystyle AM=MJ}$.

Приложения

Матричные функции

Основная статья: Матричная функция

Три основные операции, которые можно выполнять на квадратные матрицы сложение матриц, умножение на скаляр и умножение матриц.^[56] Это как раз те операции, которые необходимы для определения многочлен функция п × п матрица ${\displaystyle A}$.^[57] Если вспомнить из основных исчисление что многие функции могут быть записаны как Серия Маклорена, то мы можем довольно легко определить более общие функции матриц.^[58] Если ${\displaystyle A}$ диагонализуема, то есть

${\displaystyle D=M^{-1}AM,}$

с

${\displaystyle D={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},}$

тогда

${\displaystyle D^{k}={\begin{pmatrix}\lambda _{1}^{k}&0&\cdots &0\\0&\lambda _{2}^{k}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\lambda _{n}^{k}\end{pmatrix}}}$

и оценка ряда Маклорена для функций ${\displaystyle A}$ значительно упрощено.^[59] Например, чтобы получить любую мощность k из ${\displaystyle A}$, нам нужно только вычислить ${\displaystyle D^{k}}$, умножить предварительно ${\displaystyle D^{k}}$ к ${\displaystyle M}$и умножим результат на ${\displaystyle M^{-1}}$.^[60]

Используя обобщенные собственные векторы, мы можем получить нормальную форму Жордана для ${\displaystyle A}$ и эти результаты могут быть обобщены до прямого метода вычисления функций недиагонализируемых матриц.^[61] (Видеть Матричная функция # разложение Жордана.)

Дифференциальные уравнения

Основная статья: Обыкновенное дифференциальное уравнение

Рассмотрим задачу решения системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений

${\displaystyle \mathbf {x} '=A\mathbf {x} ,}$

(5)

куда

${\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\\vdots \\x_{n}(t)\end{pmatrix}},\quad \mathbf {x} '={\begin{pmatrix}x_{1}'(t)\\x_{2}'(t)\\\vdots \\x_{n}'(t)\end{pmatrix}},}$      и      ${\displaystyle A=(a_{ij}).}$

Если матрица ${\displaystyle A}$ диагональная матрица, так что ${\displaystyle a_{ij}=0}$ за ${\displaystyle i\neq j}$, то система (5) сводится к системе п уравнения, которые принимают вид

${\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}}$ ${\displaystyle \vdots }$ ${\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}.}$

(6)

В этом случае общее решение дается выражением

${\displaystyle x_{1}=k_{1}e^{a_{11}t}}$

${\displaystyle x_{2}=k_{2}e^{a_{22}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle x_{n}=k_{n}e^{a_{nn}t}.}$

В общем случае мы пытаемся диагонализовать ${\displaystyle A}$ и уменьшить систему (5) к системе вроде (6) следующее. Если ${\displaystyle A}$ диагонализуема, имеем ${\displaystyle D=M^{-1}AM}$, куда ${\displaystyle M}$ является модальной матрицей для ${\displaystyle A}$. Подстановка ${\displaystyle A=MDM^{-1}}$, уравнение (5) принимает вид ${\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )}$, или же

${\displaystyle \mathbf {y} '=D\mathbf {y} ,}$

(7)

куда

${\displaystyle \mathbf {x} =M\mathbf {y} .}$

(8)

Решение (7) является

${\displaystyle y_{1}=k_{1}e^{\lambda _{1}t}}$

${\displaystyle y_{2}=k_{2}e^{\lambda _{2}t}}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}.}$

Решение ${\displaystyle \mathbf {x} }$ из (5) тогда получается с использованием соотношения (8).^[62]

С другой стороны, если ${\displaystyle A}$ не диагонализируется, выбираем ${\displaystyle M}$ быть обобщенной модальной матрицей для ${\displaystyle A}$, так что ${\displaystyle J=M^{-1}AM}$ является жордановой нормальной формой ${\displaystyle A}$. Система ${\displaystyle \mathbf {y} '=J\mathbf {y} }$ имеет форму

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}'&=\lambda _{1}y_{1}+\epsilon _{1}y_{2}\\&\vdots \\y_{n-1}'&=\lambda _{n-1}y_{n-1}+\epsilon _{n-1}y_{n}\\y_{n}'&=\lambda _{n}y_{n},\end{aligned}}}$

(9)

где ${\displaystyle \lambda _{i}}$ - собственные значения главной диагонали ${\displaystyle J}$ и ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ единицы и нули из наддиагонали ${\displaystyle J}$. Система (9) часто решается легче, чем (5). Мы можем решить последнее уравнение в (9) за ${\displaystyle y_{n}}$, получение ${\displaystyle y_{n}=k_{n}e^{\lambda _{n}t}}$. Затем мы заменяем это решение на ${\displaystyle y_{n}}$ в предпоследнее уравнение в (9) и решить для ${\displaystyle y_{n-1}}$. Продолжая эту процедуру, прорабатываем (9) от последнего уравнения к первому, решая всю систему для ${\displaystyle \mathbf {y} }$. Решение ${\displaystyle \mathbf {x} }$ тогда получается с использованием соотношения (8).^[63]

Примечания

1. Бронсон (1970, п. 189)
2. Борегар и Фрали (1973), п. 310)
3. Неринг (1970 г., п. 118)
4. Голуб и Ван Лоан (1996), п. 316)
5. Борегар и Фрали (1973), п. 319)
6. Бронсон (1970, стр. 194–195).
7. Голуб и Ван Лоан (1996), п. 311)
8. Бронсон (1970, п. 196)
9. Бронсон (1970, п. 189)
10. Борегар и Фрали (1973), стр. 316–318).
11. Неринг (1970 г., п. 118)
12. Бронсон (1970, п. 196)
13. Антон (1987 г., стр. 301–302).
14. Борегар и Фрали (1973), п. 266)
15. Бремя и ярмарки (1993, п. 401)
16. Голуб и Ван Лоан (1996), стр. 310–311).
17. Харпер (1976), п. 58)
18. Герштейн (1964, п. 225)
19. Крейсциг (1972 г., стр. 273,684)
20. Неринг (1970 г., п. 104)
21. Бремя и ярмарки (1993, п. 401)
22. Борегар и Фрали (1973), стр. 270–274).
23. Бронсон (1970, стр. 179–183).
24. Бронсон (1970, п. 181)
25. Бронсон (1970, п. 179)
26. Борегар и Фрали (1973), стр. 270–274).
27. Бронсон (1970, стр. 179–183).
28. Бронсон (1970, п. 189)
29. Бронсон (1970, стр.190, 202)
30. Бронсон (1970, стр.189, 203)
31. Бронсон (1970, стр. 206–207).
32. Бронсон (1970, п. 205)
33. Бронсон (1970, п. 196)
34. Бронсон (1970, стр. 189, 209–215)
35. Голуб и Ван Лоан (1996), п. 316)
36. Герштейн (1964, п. 259)
37. Неринг (1970 г., п. 118)
38. Неринг (1970 г., п. 118)
39. Неринг (1970 г., п. 118)
40. Герштейн (1964, п. 261)
41. Борегар и Фрали (1973), п. 310)
42. Неринг (1970 г., стр. 122,123)
43. Бронсон (1970, стр. 189–209).
44. Бронсон (1970, стр. 194–195).
45. Бронсон (1970, стр. 196,197)
46. Бронсон (1970, стр.197,198)
47. Бронсон (1970, стр. 190–191).
48. Бронсон (1970, стр. 197–198).
49. Бронсон (1970, п. 205)
50. Борегар и Фрали (1973), п. 311)
51. Каллен (1966), п. 114)
52. Франклин (1968), п. 122)
53. Бронсон (1970, п. 207)
54. Бронсон (1970, стр.208).
55. Бронсон (1970, п. 206)
56. Борегар и Фрали (1973), стр. 57–61).
57. Бронсон (1970, п. 104)
58. Бронсон (1970, п. 105)
59. Бронсон (1970, п. 184)
60. Бронсон (1970, п. 185)
61. Бронсон (1970, стр. 209–218).
62. Борегар и Фрали (1973), стр. 274–275).
63. Борегар и Фрали (1973), п. 317)

Рекомендации

• Антон, Ховард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-84819-0
• Акслер, Шелдон (1997). Линейная алгебра сделано правильно (2-е изд.). Springer. ISBN  978-0-387-98258-8.
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение, Нью-Йорк: Академическая пресса, LCCN  70097490
• Бэрден, Ричард Л .; Фэрс, Дж. Дуглас (1993), Числовой анализ (5-е изд.), Бостон: Принл, Вебер и Шмидт, ISBN  0-534-93219-3
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования, Чтение: Эддисон-Уэсли, LCCN  66021267
• Франклин, Джоэл Н. (1968), Матричная теория, Энглвудские скалы: Prentice-Hall, LCCN  68016345
• Golub, Gene H .; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джона Хопкинса, ISBN  0-8018-5414-8
• Харпер, Чарли (1976), Введение в математическую физику, Нью-Джерси: Prentice-Hall, ISBN  0-13-487538-9
• Герштейн, И. Н. (1964), Темы по алгебре, Уолтем: Издательство Blaisdell, ISBN  978-1114541016
• Крейсциг, Эрвин (1972), Высшая инженерная математика (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN  0-471-50728-8
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, LCCN  76091646