Модальная матрица - Modal matrix

В линейная алгебра, то модальная матрица используется в процесс диагонализации с участием собственные значения и собственные векторы.^[1]

В частности, модальная матрица ${displaystyle M}$ для матрицы ${displaystyle A}$ это п × п матрица, сформированная собственными векторами ${displaystyle A}$ как столбцы в ${displaystyle M}$. Он используется в преобразование подобия

${displaystyle D=M^{-1}AM,}$

куда ${displaystyle D}$ является п × п диагональная матрица с собственными значениями ${displaystyle A}$ на главной диагонали ${displaystyle D}$ и нули в других местах. Матрица ${displaystyle D}$ называется спектральная матрица за ${displaystyle A}$. Собственные значения должны располагаться слева направо, сверху вниз в том же порядке, в котором их соответствующие собственные векторы расположены слева направо в ${displaystyle M}$.^[2]

Пример

Матрица

${displaystyle A={egin{pmatrix}3&2&02&0&01&0&2end{pmatrix}}}$

имеет собственные значения и соответствующие собственные векторы

${displaystyle lambda _{1}=-1,quad ,mathbf {b} _{1}=left(-3,6,1ight),}$

${displaystyle lambda _{2}=2,qquad mathbf {b} _{2}=left(0,0,1ight),}$

${displaystyle lambda _{3}=4,qquad mathbf {b} _{3}=left(2,1,1ight).}$

Диагональная матрица ${displaystyle D}$, похожий к ${displaystyle A}$ является

${displaystyle D={egin{pmatrix}-1&0&0�&2&0�&0&4end{pmatrix}}.}$

Возможный выбор для обратимая матрица ${displaystyle M}$ такой, что ${displaystyle D=M^{-1}AM,}$ является

${displaystyle M={egin{pmatrix}-3&0&26&0&11&1&1end{pmatrix}}.}$^[3]

Обратите внимание: поскольку сами собственные векторы не уникальны, и поскольку столбцы обоих ${displaystyle M}$ и ${displaystyle D}$ можно поменять местами, отсюда следует, что оба ${displaystyle M}$ и ${displaystyle D}$ не уникальны.^[4]

Обобщенная модальная матрица

Позволять ${displaystyle A}$ быть п × п матрица. А обобщенная модальная матрица ${displaystyle M}$ за ${displaystyle A}$ является п × п матрица, столбцы которой, рассматриваемые как векторы, образуют каноническая основа за ${displaystyle A}$ и появиться в ${displaystyle M}$ по следующим правилам:

• Все Иорданские цепи состоящие из одного вектора (то есть одного вектора длиной) появляются в первых столбцах ${displaystyle M}$.
• Все векторы одной цепочки появляются вместе в соседних столбцах ${displaystyle M}$.
• Каждая цепочка появляется в ${displaystyle M}$ в порядке возрастания ранга (то есть обобщенный собственный вектор ранга 1 стоит перед обобщенным собственным вектором ранга 2 той же цепи, который стоит перед обобщенным собственным вектором ранга 3 той же цепи и т. д.).^[5]

Можно показать, что

${displaystyle AM=MJ,}$

(1)

куда ${displaystyle J}$ матрица в Нормальная форма Джордана. Умножив на ${displaystyle M^{-1}}$, мы получаем

${displaystyle J=M^{-1}AM.}$

(2)

Обратите внимание, что при вычислении этих матриц уравнение (1) является самым простым из двух уравнений для проверки, так как не требует инвертирование матрица.^[6]

Пример

Этот пример иллюстрирует обобщенную модальную матрицу с четырьмя цепочками Жордана. К сожалению, построить интересный пример низкого порядка немного сложно.^[7]Матрица

${displaystyle A={egin{pmatrix}-1&0&-1&1&1&3&0�&1&0&0&0&0&02&1&2&-1&-1&-6&0-2&0&-1&2&1&3&0�&0&0&0&1&0&0�&0&0&0&0&1&0-1&-1&0&1&2&4&1end{pmatrix}}}$

имеет единственное собственное значение ${displaystyle lambda _{1}=1}$ с алгебраическая кратность ${displaystyle mu _{1}=7}$. Каноническая основа для ${displaystyle A}$ будет состоять из одного линейно независимого обобщенного собственного вектора ранга 3 (ранга обобщенного собственного вектора; см. обобщенный собственный вектор ), две - 2-го и четвертые - 1-го; или, что то же самое, одна цепочка из трех векторов ${displaystyle left{mathbf {x} _{3},mathbf {x} _{2},mathbf {x} _{1}ight}}$, одна цепочка из двух векторов ${displaystyle left{mathbf {y} _{2},mathbf {y} _{1}ight}}$, и две цепочки из одного вектора ${displaystyle left{mathbf {z} _{1}ight}}$, ${displaystyle left{mathbf {w} _{1}ight}}$.

«Почти диагональная» матрица ${displaystyle J}$ в Нормальная форма Джордана, похожий на ${displaystyle A}$ получается следующим образом:

${displaystyle M={egin{pmatrix}mathbf {z} _{1}&mathbf {w} _{1}&mathbf {x} _{1}&mathbf {x} _{2}&mathbf {x} _{3}&mathbf {y} _{1}&mathbf {y} _{2}end{pmatrix}}={egin{pmatrix}0&1&-1&0&0&-2&1�&3&0&0&1&0&0-1&1&1&1&0&2&0-2&0&-1&0&0&-2&01&0&0&0&0&0&0�&1&0&0&0&0&0�&0&0&-1&0&-1&0end{pmatrix}},}$

${displaystyle J={egin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0�&1&0&0&0&0&0�&0&1&1&0&0&0�&0&0&1&1&0&0�&0&0&0&1&0&0�&0&0&0&0&1&1�&0&0&0&0&0&1end{pmatrix}},}$

куда ${displaystyle M}$ является обобщенной модальной матрицей для ${displaystyle A}$, столбцы ${displaystyle M}$ являются канонической основой для ${displaystyle A}$, и ${displaystyle AM=MJ}$.^[8] Обратите внимание: поскольку сами обобщенные собственные векторы не уникальны, и поскольку некоторые столбцы обоих ${displaystyle M}$ и ${displaystyle J}$ можно поменять местами, отсюда следует, что оба ${displaystyle M}$ и ${displaystyle J}$ не уникальны.^[9]

Примечания

1. Бронсон (1970, стр. 179–183).
2. Бронсон (1970, п. 181)
3. Борегар и Фрали (1973), стр. 271, 272)
4. Бронсон (1970, п. 181)
5. Бронсон (1970, п. 205)
6. Бронсон (1970, стр. 206–207).
7. Неринг (1970 г., стр. 122,123)
8. Бронсон (1970, стр. 208, 209)
9. Бронсон (1970, п. 206)

Рекомендации

• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля, Бостон: Houghton Mifflin Co., ISBN  0-395-14017-X
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: введение, Нью-Йорк: Академическая пресса, LCCN  70097490
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, LCCN  76091646