Теоремы Картана A и B - Cartans theorems A and B - Wikipedia

В математика, Теоремы Картана A и B два результата доказано к Анри Картан около 1951 г. связный пучок F на Многообразие Штейна Икс. Они важны как применительно к несколько сложных переменных, и в общем развитии когомологии пучков.

Теорема А. F является охватывает его глобальные разделы.

Теорема B сформулирована в когомологических терминах (формулировка, которую Картан (1953, п. 51) приписывает Ж.-П. Серр):

Теорема Б. ЧАС п(Икс, F) = 0 для всех п > 0.

Аналогичные свойства были установлены Серр (1957 ) для когерентных пучков в алгебраическая геометрия, когда Икс является аффинная схема. Аналог теоремы B в этом контексте выглядит следующим образом (Хартсхорн 1977, Теорема III.3.7):

Теорема B (схемно-теоретический аналог). Позволять Икс быть аффинной схемой, F а квазикогерентный пучок из ОИкс-модули для Топология Зарисского на Икс. потом ЧАС п(Икс, F) = 0 для всех п > 0.

Эти теоремы имеют много важных приложений. Например, из них следует, что голоморфная функция на замкнутом комплексном подмногообразии Z, многообразия Штейна Икс продолжается до голоморфной функции на всех Икс. На более глубоком уровне эти теоремы использовались Жан-Пьер Серр чтобы доказать ГАГА теорема.

Теорема B точна в том смысле, что если ЧАС 1(Икс, F) = 0 для всех когерентных пучков F на комплексном многообразии Икс (соответственно квазикогерентные пучки F по нётеровой схеме Икс), тогда Икс есть Штейн (соотв. аффинный); видеть (Серр 1956 ) (соответственно (Серр 1957 ) и (Хартсхорн 1977, Теорема III.3.7)).

Рекомендации

  • Картан, Х. (1953), "Variétés analytiques комплексы и когомологии", Разговорный тену в Брюсселе: 41–55.
  • Ганнинг, Роберт С.; Росси, Хьюго (1965), Аналитические функции нескольких комплексных переменных, Prentice Hall.
  • Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90244-9.
  • Серр, Жан-Пьер (1957), "Sur la cohomologie des algébriques", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 36: 1–16.
  • Серр, Жан-Пьер (1956), "Géométrie algébrique et géométrie analytique", Annales de l'Institut Fourier, 6: 1–42, Дои:10.5802 / aif.59, ISSN  0373-0956, МИСТЕР  0082175