Картановая пара - Cartan pair

Это понятие не следует путать с Картановское разложение.

в математический поля Теория лжи и алгебраическая топология, понятие Картановая пара является техническим условием отношения между редуктивная алгебра Ли ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ и подалгебра ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ редуктивный в ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

Редуктивная пара ${\displaystyle ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$ как говорят Картан если родственник Когомологии алгебры Ли

${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})}$

изоморфна тензорному произведению характеристической подалгебры

${\displaystyle \mathrm {im} {\big (}S({\mathfrak {k}}^{*})\to H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}}){\big )}}$

и внешняя подалгебра ${\displaystyle \bigwedge {\hat {P}}}$ из ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$, куда

• ${\displaystyle {\hat {P}}}$, то Подпространство Самельсона, эти примитивные элементы в ядре композиции ${\displaystyle P{\overset {\tau }{\to }}S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$,
• ${\displaystyle P}$ примитивное подпространство ${\displaystyle H^{*}({\mathfrak {g}})}$,
• ${\displaystyle \tau }$ это нарушение,
• и карта ${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{*})\to S({\mathfrak {k}}^{*})}$ из симметрические алгебры индуцирована ограничением двойственных векторных пространств ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}\to {\mathfrak {k}}^{*}}$.

На уровне Группы Ли, если грамм компактная связная группа Ли и K замкнутая связная подгруппа, существуют естественные расслоения

${\displaystyle G\to G_{K}\to BK}$,

куда ${\displaystyle G_{K}:=(EK\times G)/K\simeq G/K}$это гомотопический фактор, здесь гомотопический эквивалент к регулярному частному и

${\displaystyle G/K{\overset {\chi }{\to }}BK{\overset {r}{\to }}BG}$.

Тогда характеристическая алгебра - это образ ${\displaystyle \chi ^{*}\colon H^{*}(BK)\to H^{*}(G/K)}$, нарушение ${\displaystyle \tau \colon P\to H^{*}(BG)}$ из примитивного подпространства п из ${\displaystyle H^{*}(G)}$ это проистекает из карты границ в Спектральная последовательность Серра из универсальный комплект ${\displaystyle G\to EG\to BG}$, а подпространство ${\displaystyle {\hat {P}}}$ из ${\displaystyle H^{*}(G/K)}$ это ядро ${\displaystyle r^{*}\circ \tau }$.

Рекомендации

• Greub, Вернер; Гальперин, Стивен; Ванстон, Рэй (1976). «10. Подалгебры §4 Пары Картана». Когомологии главных расслоений и однородных пространств.. Связности, кривизна и когомологии. 3. Академическая пресса. С. 431–5. ISBN  978-0-08-087927-7.