Центрированный трохоид - Centered trochoid

Эпитрохоид (красный) с фиксированным радиусом круга р = 3, радиус катящейся окружности р = 1 и расстояние d = 1/2 от центра катящегося круга до образующей точки

Гипотрохоид (красный) с р = 5, р = 3, d = 5

В геометрия, а центрированный трохоид это рулетка образованный кругом, катящимся по другому кругу. То есть это путь, прорисовываемый точкой, прикрепленной к кругу, когда круг катится без скольжения по фиксированному кругу. Термин охватывает как эпитрохоид и гипотрохоид. В центр этой кривой определяется как центр фиксированной окружности.

В качестве альтернативы центрированный трохоид может быть определен как путь, прослеживаемый суммой двух векторов, каждый из которых движется с постоянной скоростью по кругу. В частности, центрированная трохоида - это кривая, которая может быть параметризована в комплексная плоскость от

${displaystyle z=r_{1}e^{iomega _{1}t}+r_{2}e^{iomega _{2}t},,}$

или в декартовой плоскости

${displaystyle x=r_{1}cos(omega _{1}t)+r_{2}cos(omega _{2}t),}$

${displaystyle y=r_{1}sin(omega _{1}t)+r_{2}sin(omega _{2}t),,}$

где

${displaystyle r_{1},r_{2},omega _{1},omega _{2}eq 0,quad omega _{1}eq omega _{2}.,}$

Если ${displaystyle omega _{1}/omega _{2}}$ рационально, то кривая замкнута и алгебраична. В противном случае кривая огибает начало координат бесконечное число раз и плотна в кольцо с внешним радиусом ${displaystyle |r_{1}|+|r_{2}|}$ и внутренний радиус ${displaystyle ||r_{1}|-|r_{2}||}$.

Терминология

Большинство авторов используют эпитрохоид означать рулетку круга, катящегося по внешней стороне другого круга, гипотрохоид означать рулетку круга, катящегося внутри другого круга, и трохоидный означать рулетку круга, катящегося по линии. Однако некоторые авторы (например, [1] следующий Ф. Морли ) использовать «трохоид» для обозначения рулетки, состоящей из круга, катящегося по другому кругу, хотя это несовместимо с более общей терминологией. Период, термин Центрированный трохоид как принято [2] сочетает эпитрохоид и гипотрохоид в единую концепцию для оптимизации математического изложения и остается в соответствии с существующим стандартом.

Период, термин Трохоидальная кривая описывает эпитрохоиды, гипотрохоиды и трохоиды (см. [3] ). Трохоидальная кривая может быть определена как путь, прослеживаемый суммой двух векторов, каждый из которых движется с постоянной скоростью по кругу или по прямой (но не оба движутся по прямой).

В параметрических уравнениях, приведенных выше, кривая является эпитрохоидой, если ${displaystyle omega _{1}}$ и ${displaystyle omega _{2}}$ имеют тот же знак, и гипотрохоид, если они имеют противоположные знаки.

Двойное поколение

Пусть окружность радиуса ${displaystyle b}$ катиться по кругу радиуса ${displaystyle a}$, и точка ${displaystyle p}$ прикреплен к катящемуся кругу. Фиксированная кривая может быть параметризована как ${displaystyle f(t)=ae^{it}}$ а кривую качения можно параметризовать как ${displaystyle r(t)=be^{i(a/b)t}}$ или ${displaystyle r(t)=-be^{-i(a/b)t}}$ в зависимости от того, проходит ли параметризация по окружности в том же направлении или в направлении, противоположном направлению параметризации фиксированной кривой. В любом случае мы можем использовать ${displaystyle r(t)=ce^{i(a/c)t}}$ где ${displaystyle |c|=b}$. Позволять ${displaystyle p}$ быть прикрепленным к катящемуся кругу в ${displaystyle d}$. Затем, применяя формулу для рулетка, точка очерчивает кривую, заданную следующим образом:

${displaystyle {egin{aligned}f(t)+(d-r(t)){f'(t) over r'(t)}&=ae^{it}+(d-ce^{i(a/c)t}){aie^{it} over aie^{i(a/c)t}}&=(a-c)e^{it}+de^{i(1-a/c)t}.end{aligned}}}$

Это параметризация, приведенная выше с ${displaystyle r_{1}=a-c}$, ${displaystyle r_{2}=d}$, ${displaystyle omega _{1}=1}$, ${displaystyle omega _{2}=1-a/c}$.

Наоборот, учитывая ${displaystyle r_{1}}$, ${displaystyle r_{2}}$, ${displaystyle omega _{1}}$, и ${displaystyle omega _{2}}$, Кривая ${displaystyle r_{1}e^{iomega _{1}t}+r_{2}e^{iomega _{2}t}}$ можно изменить как${displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{i(omega _{2}/omega _{1})t}}$ и уравнения ${displaystyle r_{1}=a-c}$, ${displaystyle r_{2}=d}$, ${displaystyle omega _{2}/omega _{1}=1-a/c}$можно решить для ${displaystyle a}$, ${displaystyle c}$ и ${displaystyle d}$ получить${displaystyle a=r_{1}(1-omega _{1}/omega _{2}), c=-r_{1}{omega _{1}/omega _{2}}, d=r_{2}.}$

Кривая ${displaystyle r_{1}e^{iomega _{1}t}+r_{2}e^{iomega _{2}t}}$ остается прежним, если индексы 1 и 2 поменять местами, но результирующие значения ${displaystyle a}$, ${displaystyle c}$ и ${displaystyle d}$, в общем, нет. Это производит Теорема двойного поколения в котором говорится, что, за исключением особого случая, обсуждаемого ниже, любой центрированный трохоид может быть сгенерирован двумя существенно разными способами, как рулетка круга, катящегося по другому кругу.

Примеры

Кардиоидный

В кардиоидный параметризуется ${displaystyle 2e^{it}-e^{2it}}$. Взять ${displaystyle r_{1}=2,r_{2}=-1,omega _{1}=1,omega _{2}=2}$ получить ${displaystyle a=2(1-1/2)=1,c=-2(1/2)=-1,d=-1}$. Оба круга имеют радиус 1, и, поскольку c <0, катящийся круг катится по внешней стороне фиксированного круга. Точка p находится на расстоянии 1 единицы от центра прокатки, поэтому она лежит на его окружности. Это обычное определение кардиоиды. Мы также можем параметризовать кривую как ${displaystyle -e^{2it}+2e^{it}}$, поэтому мы также можем взять ${displaystyle r_{1}=-1,r_{2}=2,omega _{1}=2,omega _{2}=1}$ получить ${displaystyle a=-1(1-2)=1,b=-(-1)(2)=2,d=2.}$ В этом случае неподвижный круг имеет радиус 1, катящийся круг имеет радиус 2, и, поскольку c> 0, катящийся круг вращается вокруг фиксированного круга в виде обруч. Это дает существенно другое определение той же кривой.

Эллипс

Если ${displaystyle omega _{1}=-omega _{2}}$ то получим параметрическую кривую ${displaystyle r_{1}e^{it}+r_{2}e^{-it}}$, или ${displaystyle x=(r_{1}+r_{2})cos t,y=(r_{1}-r_{2})sin t,!}$. Если ${displaystyle |r_{1}|eq |r_{2}|}$, это уравнение эллипс с топорами ${displaystyle 2|r_{1}+r_{2}|}$ и ${displaystyle 2|r_{1}-r_{2}|}$. Оценка ${displaystyle a}$, ${displaystyle c}$, и ${displaystyle d}$ как прежде; либо ${displaystyle a=2r_{1},c=r_{1},d=r_{2},!}$ или ${displaystyle a=2r_{2},c=r_{2},d=r_{1},!}$. Это дает два разных способа создания эллипса, оба из которых включают в себя вращение круга внутри круга с удвоенным диаметром.

Прямая линия

Если дополнительно рядом с ${displaystyle omega _{1}=-omega _{2}}$, ${displaystyle r_{1}=r_{2}=r}$, тогда ${displaystyle a=2r,b=r,c=r,!}$ в обоих случаях и два способа построения кривой одинаковы. В этом случае кривая просто ${displaystyle x=2rcos t,y=0,!}$ или сегмент оси абсцисс.

Аналогично, если ${displaystyle r_{1}=r,r_{2}=-r,!}$, тогда ${displaystyle a=2r,c=r,d=-r,!}$ или ${displaystyle a=-2r,c=-r,d=r,!}$. Круг симметричен относительно начала координат, поэтому оба они дают одну и ту же пару кругов. В этом случае кривая просто ${displaystyle x=0,y=2rsin t,!}$: сегмент оси ординат.

Итак, дело ${displaystyle omega _{1}=-omega _{2}, |r_{1}|=|r_{2}|}$ является исключением (фактически, единственным исключением) из сформулированной выше теоремы о двойственном порождении. Этот вырожденный случай, когда кривая представляет собой отрезок прямой, лежит в основе Туси-пара.

использованная литература

• "Центрированный трохоид" на mathcurve.com
• "Эпитрохоид" на mathcurve.com
• "Гипотрохоид" на mathcurve.com
• "Перитрохоид" на mathcurve.com
• Йетс, Р.К .: Справочник по кривым и их свойствам, Дж. У. Эдвардс (1952), «Трохоиды»
• Трохоиды: кривые, создаваемые катящимся кругом

внешние ссылки

• Введение и флэш-анимация эпитрохоиды (испанский)
• Введение и флэш-анимация гипотрохоида (испанский)
• Флэш-анимация эпитрохоиды
• Флэш-анимация гипотрохоида^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Эпитрохоид в Mathworld
• Гипотрохоид в Mathworld
• Визуальный словарь специальных плоских кривых
• Визуальный словарь специальных плоских кривых
• "Трохоида" в онлайн-энциклопедии математики Springer