Цепной полный частичный порядок - Chain-complete partial order

В математика в частности теория порядка, а частично заказанный набор является полная цепочка если каждый цепь в нем есть наименьшая верхняя граница. это ω-полный когда каждая возрастающая последовательность элементов (тип счетный цепь) имеет точную верхнюю границу; это же понятие может быть распространено на другие мощности цепей.^[1]

Примеры

Каждые полная решетка завершено по цепочке. В отличие от полных решеток, цепочки-полные позы относительно распространены. Примеры включают:

• Набор всех линейно независимый подмножества векторное пространство V, заказан включение.
• Набор всех частичные функции на набор, заказанный ограничение.
• Набор всех частичных функции выбора на совокупности непустых множеств, упорядоченных по ограничению.
• Набор всех главные идеалы из кольцо, заказанный включением.
• Набор всех последовательный теории язык первого порядка.

Свойства

Посеть является цепно-полным тогда и только тогда, когда это заостренный DCPO.^[1] Однако эта эквивалентность требует аксиома выбора.

Лемма Цорна утверждает, что, если у ЧУМ есть верхняя граница для каждой цепи, то он имеет максимальный элемент. Таким образом, он применяется к полным по цепочкам позициям, но является более общим, поскольку он допускает цепочки, которые имеют верхние границы, но не имеют наименьших верхних границ.

Завершенные по цепочке позы также подчиняются Теорема Бурбаки – Витта., а теорема о неподвижной точке заявляя, что, если ж представляет собой функцию от цепочки, завершенной poset к себе со свойством, что для всех Икс, ж(Икс) ≥ Икс, тогда ж имеет фиксированную точку. Эта теорема, в свою очередь, может быть использована для доказательства того, что лемма Цорна является следствием аксиома выбора.^[2][3]

По аналогии с Завершение Дедекинда – МакНила частично упорядоченного множества каждое частично упорядоченное множество может быть однозначно расширено до минимального цепно-полного ч.у.^[1]

Смотрите также

• Полнота (теория порядка)

использованная литература

1. Марковский, Джордж (1976), "Цепно-полные позы и направленные множества с приложениями", Универсальная алгебра, 6 (1): 53–68, Дои:10.1007 / bf02485815, Г-Н  0398913.
2. Бурбаки, Николас (1949), "Sur le théorème de Zorn", Archiv der Mathematik, 2: 434–437 (1951), Дои:10.1007 / bf02036949, Г-Н  0047739.
3. Витт, Эрнст (1951), "Beweisstudien zum Satz von M. Zorn", Mathematische Nachrichten, 4: 434–438, Дои:10.1002 / мана.3210040138, Г-Н  0039776.