Функция Чандрасекара – Кендалла - Chandrasekhar–Kendall function - Wikipedia

Функции Чандрасекара – Кендалла осесимметричные собственные функции завиток оператор, производный от Субраманян Чандрасекар и P.C. Кендалл в 1957 году,^[1][2] в попытке решить бессиловые магнитные поля. Результаты были получены обоими независимо, но было решено опубликовать статью вместе.

Если уравнение бессилового магнитного поля записать как ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ в предположении бездивергентного поля (${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$), то наиболее общим решением для осесимметричного случая является

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ - единичный вектор, а скалярная функция ${\displaystyle \psi }$ удовлетворяет Уравнение Гельмгольца, т.е.

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0.}$

Это же уравнение также появляется в гидродинамике в Бельтрами течет где вектор завихренности параллелен вектору скорости, т.е. ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} }$.

Вывод

Принимая ротор уравнения ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\lambda \mathbf {H} }$ и используя это же уравнение, получаем

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {H} )=\lambda ^{2}\mathbf {H} }$.

В векторном тождестве ${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {H} \right)=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {H} )-\nabla ^{2}\mathbf {H} }$, мы можем установить ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {H} =0}$ так как он соленоидальный, что приводит к вектору Уравнение Гельмгольца,

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {H} +\lambda ^{2}\mathbf {H} =0}$.

Каждое решение вышеуказанного уравнения не является решением исходного уравнения, но верно и обратное. Если ${\displaystyle \psi }$ - скалярная функция, удовлетворяющая уравнению ${\displaystyle \nabla ^{2}\psi +\lambda ^{2}\psi =0}$, то три линейно независимых решения вектора Уравнение Гельмгольца даны

${\displaystyle \mathbf {L} =\nabla \psi ,\quad \mathbf {T} =\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} ,\quad \mathbf {S} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times \mathbf {T} }$

куда ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$ - фиксированный единичный вектор. С ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {S} =\lambda \mathbf {T} }$, можно найти, что ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {S} +\mathbf {T} )=\lambda (\mathbf {S} +\mathbf {T} )}$. Но это то же самое, что и исходное уравнение, поэтому ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {S} +\mathbf {T} }$, куда ${\displaystyle \mathbf {S} }$ - полоидальное поле и ${\displaystyle \mathbf {T} }$ - тороидальное поле. Таким образом, подставляя ${\displaystyle \mathbf {T} }$ в ${\displaystyle \mathbf {S} }$, мы получаем наиболее общее решение как

${\displaystyle \mathbf {H} ={\frac {1}{\lambda }}\nabla \times (\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} )+\nabla \times \psi \mathbf {\hat {n}} .}$

Цилиндрические полярные координаты

Взяв единичный вектор в ${\displaystyle z}$ направление, т.е. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$, с периодичностью ${\displaystyle L}$ в ${\displaystyle z}$ направление с исчезающими граничными условиями при ${\displaystyle r=a}$, решение дается формулой^[3][4]

${\displaystyle \psi =J_{m}(\mu _{j}r)e^{im\theta +ikz},\quad \lambda =\pm (\mu _{j}^{2}+k^{2})^{1/2}}$

куда ${\displaystyle J_{m}}$ - функция Бесселя, ${\displaystyle k=\pm 2\pi n/L,\ n=0,1,2,\ldots }$, целые числа ${\displaystyle m=0,\pm 1,\pm 2,\ldots }$ и ${\displaystyle \mu _{j}}$ определяется граничным условием ${\displaystyle ak\mu _{j}J_{m}'(\mu _{j}a)+m\lambda J_{m}(\mu _{j}a)=0.}$ Собственные значения для ${\displaystyle m=n=0}$ должны рассматриваться отдельно. ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {e} _{z}}$, мы можем думать о ${\displaystyle z}$ направление быть тороидальным и ${\displaystyle \theta }$ направление должно быть полоидальным, в соответствии с соглашением.

Смотрите также

• Полоидально-тороидальное разложение
• Теорема Вольтьера

Рекомендации

1. Чандрасекар, Субраманян (1956). «О бессиловых магнитных полях». Труды Национальной академии наук. 42 (1): 1–5. Дои:10.1073 / pnas.42.1.1. ISSN  0027-8424.
2. Чандрасекар, Субраманян; Кендалл, П. К. (сентябрь 1957 г.). «О бессиловых магнитных полях». Астрофизический журнал. 126: 457. Bibcode:1957ApJ ... 126..457C. Дои:10.1086/146413. ISSN  0004-637X. ЧВК  534220.
3. Монтгомери, Дэвид; Тернер, Лист; Вахала, Джордж (1978). «Трехмерная магнитогидродинамическая турбулентность в цилиндрической геометрии». Физика жидкостей. 21 (5): 757–764. Дои:10.1063/1.862295.
4. Ёсида, З. (1991-07-01). «Дискретные собственные состояния плазмы, описываемые функциями Чандрасекара – Кендалла». Успехи теоретической физики. 86 (1): 45–55. Дои:10.1143 / ptp / 86.1.45. ISSN  0033-068X.