Бельтрами поток - Beltrami flow

В гидродинамике Бельтрами течет - потоки, в которых вектор завихренности ${\displaystyle \mathbf {\omega } }$ и вектор скорости ${\displaystyle \mathbf {v} }$ параллельны друг другу. Другими словами, поток Бельтрами - это поток, в котором Ягненок вектор равно нулю. Он назван в честь итальянского математика. Эухенио Бельтрами из-за его вывода Векторное поле Бельтрами, а первые разработки в области гидродинамики были выполнены русским ученым Ипполит С. Громека в 1881 г.^[1][2]

Описание

Поскольку вектор завихренности ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ и вектор скорости ${\displaystyle \mathbf {v} }$ параллельны друг другу, мы можем написать

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} =0,\quad {\boldsymbol {\omega }}=\alpha (\mathbf {x} ,t)\mathbf {v} ,}$

куда ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)}$ - некоторая скалярная функция. Одним из непосредственных последствий течения Бельтрами является то, что он никогда не может быть плоским или осесимметричным потоком, потому что в этих потоках завихренность всегда перпендикулярна полю скорости. Другое важное следствие станет очевидным, если посмотреть на несжимаемый уравнение завихренности

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}-({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f,}$

куда ${\displaystyle \mathbf {f} }$ - внешние телесные силы, такие как гравитационное поле, электрическое поле и т. д., и ${\displaystyle \nu }$ - кинематическая вязкость. С ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ и ${\displaystyle \mathbf {v} }$ параллельны, нелинейные члены в приведенном выше уравнении тождественно равны нулю ${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {v} =0}$. Таким образом, потоки Бельтрами удовлетворяют линейному уравнению

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}+\nabla \times f.}$

Когда ${\displaystyle \mathbf {f} =0}$, компоненты завихренности удовлетворяют простому уравнение теплопроводности.

Тркалянский поток

Виктор Тркал рассмотрели потоки Бельтрами без каких-либо внешних сил в 1919 г.^[3] для скалярной функции ${\displaystyle \alpha (\mathbf {x} ,t)=c={\text{constant}}}$, т.е.

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}=\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }},\quad {\boldsymbol {\omega }}=c\mathbf {v} .}$

Введем следующее разделение переменных

${\displaystyle \mathbf {v} =e^{-c^{2}\nu t}\mathbf {g} (\mathbf {x} ),}$

то уравнение, которому удовлетворяет ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )}$ становится

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {g} =c\mathbf {g} .}$

Решение Беркера

Ратип Беркер получил решение в декартовых координатах для ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {x} )}$ в 1963 г.,^[4]

${\displaystyle \mathbf {g} =\cos \left({\frac {cx}{\sqrt {2}}}\right)\sin \left({\frac {cy}{\sqrt {2}}}\right)\left[-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{x}} +{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e_{y}} +\mathbf {e_{z}} \right].}$

Обобщенный поток Бельтрами

Обобщенный поток Бельтрами удовлетворяет условию^[5]

${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$

что менее ограничительно, чем условие Бельтрами ${\displaystyle \mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }}=0}$. В отличие от нормальных течений Бельтрами, обобщенное течение Бельтрами можно изучать для плоских и осесимметричных течений.

Устойчивые плоские потоки

Для устойчивого обобщенного течения Бельтрами имеем ${\displaystyle \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}=0,\ \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ и поскольку он также плоский, мы имеем ${\displaystyle \mathbf {v} =(u,v,0),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,0,\zeta )}$. Представляем функцию потока

${\displaystyle u={\frac {\partial \psi }{\partial y}},\quad v=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}},\quad \Rightarrow \quad \nabla ^{2}\psi =-\zeta .}$

Интеграция ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ дает ${\displaystyle \zeta =-f(\psi )}$. Итак, полное решение возможно, если оно удовлетворяет всем следующим трем уравнениям

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =-f(\psi ).}$

Рассмотрен частный случай, когда поле течения имеет равномерную завихренность ${\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}$. Ван (1991)^[6] дал обобщенное решение как

${\displaystyle \zeta =\psi +A(x,y),\quad A(x,y)=ax+by}$

предполагая линейную функцию для ${\displaystyle A(x,y)}$. Подставляя это в уравнение завихренности и вводя разделение переменных ${\displaystyle \psi (x,y)=X(x)Y(y)}$ с разделительной постоянной ${\displaystyle \lambda ^{2}}$ приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+{\frac {b}{\nu }}{\frac {dX}{dx}}-\lambda ^{2}X=0,\quad {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}-{\frac {a}{\nu }}{\frac {dY}{dy}}+\lambda ^{2}Y=0.}$

Решение, полученное для различных вариантов выбора ${\displaystyle a,\ b,\ \lambda }$ можно интерпретировать по-разному, например, ${\displaystyle a=0,\ b=-U,\lambda ^{2}>0}$ представляет собой поток за равномерной сеткой, ${\displaystyle a=-U,\ b=0,\lambda ^{2}=0}$ представляет собой поток, создаваемый растягивающейся пластиной, ${\displaystyle a=-U,\ b=U,\lambda ^{2}=0}$ представляет собой поток в угол, ${\displaystyle a=-V,\ b=-U,\lambda ^{2}=0}$ представляет собой Асимптотический профиль всасывания и Т. Д.

Плоские нестационарные течения

Здесь,

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\zeta ,\quad {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=\nabla ^{2}\zeta ,\quad \zeta =-f(\psi ,t)}$.

Затухающие вихри Тейлора

Г. И. Тейлор дал решение для частного случая, когда ${\displaystyle \zeta =K\psi }$, куда ${\displaystyle K}$ постоянная в 1923 году.^[7] Он показал, что разлука ${\displaystyle \psi =e^{-K\nu t}\Psi (x,y)}$ удовлетворяет уравнению, а также

${\displaystyle \nabla ^{2}\Psi =-K\Psi .}$

Тейлор также рассмотрел пример распадающейся системы водоворотов, попеременно вращающихся в противоположных направлениях и расположенных в виде прямоугольного массива.

${\displaystyle \Psi =A\cos {\frac {\pi x}{d}}\cos {\frac {\pi y}{d}}}$

которое удовлетворяет приведенному выше уравнению с ${\displaystyle K={\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}}$, куда ${\displaystyle d}$ - длина квадрата, образованного вихрем. Следовательно, эта система вихрей распадается как

${\displaystyle \psi =A\cos \left({\frac {\pi x}{d}}\right)\cos \left({\frac {\pi y}{d}}\right)e^{-{\frac {2\pi ^{2}}{d^{2}}}\nu t}.}$

Установившиеся осесимметричные потоки

Здесь у нас есть ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(u_{r},0,u_{z}\right),\ {\boldsymbol {\omega }}=(0,\zeta ,0)}$. Интеграция ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times {\boldsymbol {\omega }})=0}$ дает ${\displaystyle \zeta =rf(\psi )}$ и три уравнения

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial z}}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}=-\zeta ,\quad \nabla ^{2}\zeta =0,\quad \zeta =rf(\psi )}$

Первое уравнение - это Уравнение Хикса. Маррис и Асуани (1977)^[8] показал, что единственно возможное решение ${\displaystyle f(\psi )=C={\text{constant}}}$ а остальные уравнения сводятся к

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}+Cr^{2}=0}$

Простым набором решений вышеуказанного уравнения является

${\displaystyle \psi (r,z)=c_{1}r^{4}+c_{2}r^{2}z^{2}+c_{3}r^{2}+c_{4}r^{2}z+c_{5}\left(r^{6}-12r^{4}z^{2}+8r^{2}z^{4}\right),\quad C=-\left(8c_{1}+2c_{2}\right)}$

${\displaystyle c_{1},c_{4}\neq 0,\ c_{2},c_{3},c_{5}=0}$ представляет собой поток за счет двух противостоящих вращательных потоков на параболической поверхности, ${\displaystyle c_{2}\neq 0,c_{1},c_{3},c_{4},c_{5}=0}$ представляет собой вращательное течение на плоской стенке, ${\displaystyle c_{1},c_{2},c_{3}\neq 0,\ c_{4},c_{5}=0}$ представляет собой эллипсоидальный вихрь потока (частный случай - сферический вихрь Хилла), ${\displaystyle c_{1},c_{3},c_{5}\neq 0,\ c_{2},c_{4}=0}$ представляет собой разновидность тороидального вихря и т. д.

Однородный раствор для ${\displaystyle C=0}$ как показано Беркером^[9]

${\displaystyle \psi =r\left[A_{k}J_{1}(kr)+B_{k}Y_{1}(kr)\right]\left(C_{k}e^{kz}+D_{k}e^{-kz}\right)}$

куда ${\displaystyle J_{1}(kr),Y_{1}(kr)}$ являются Функция Бесселя первого рода и Функция Бесселя второго рода соответственно. Частным случаем вышеуказанного решения является Поток Пуазейля для цилиндрической геометрии со скоростями транспирации на стенках. Чиа-Шун Йи нашли решение в 1958 г. Поток Пуазейля в раковину, когда ${\displaystyle C=2,\,c_{1}=-1/4,\,c_{3}=1/2,\,c_{2}=c_{4}=c_{5}=B_{k}=C_{k}=0}$.^[10]

Смотрите также

• Поток Громека – Арнольда – Бельтрами – Чайлдресса (GABC)

Рекомендации

1. Громека И. «Некоторые случаи движения несжимаемой жидкости». Ученые записки Казанского университета (1881 г.): 76–148.
2. Трусделл, Клиффорд. Кинематика завихренности. Vol. 954. Блумингтон: издательство Индианского университета, 1954.
3. Тркал В. «Замечание о гидродинамике вязких жидкостей». Cas. Тихоокеанское стандартное время. Матем., Фис, 48 (1919): 302–311.
4. Беркер, Р. "Интеграция уравнений движения жидкости вязкой несжимаемой жидкости. Handbuch der Physik". (1963). Это решение неверно /
5. Дразин, Филип Г., и Норман Райли. Уравнения Навье – Стокса: классификация потоков и точные решения. № 334. Издательство Кембриджского университета, 2006.
6. Wang, C. Y. 1991 Точные решения стационарных уравнений Навье – Стокса, Annu. Rev. Fluid Mech. 23, 159–177.
7. Тейлор, Г.И. «LXXV. О распаде вихрей в вязкой жидкости». Лондонский, Эдинбургский и Дублинский философский журнал и научный журнал 46.274 (1923): 671–674.
8. Маррис, А. В. и М. Г. Асуани. «Об общей невозможности управляемых акси-симметричных движений Навье – Стокса». Архив рациональной механики и анализа 63.2 (1977): 107–153.
9. Беркер, Р. "Интеграция уравнений движения жидкости вязкой несжимаемой жидкости. Handbuch der Physik". (1963).
10. Йих, С. С. (1959). Два решения для невязкого вращательного потока с угловыми вихрями. Журнал гидромеханики, 5 (1), 36-40.