Уравнение завихренности - Vorticity equation - Wikipedia

В уравнение завихренности из динамика жидкостей описывает эволюцию завихренность ω частицы жидкость как он движется со своим поток, то есть локальное вращение жидкости (в терминах векторное исчисление это завиток из скорость потока Уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}&={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}\\&=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} -{\boldsymbol {\omega }}(\nabla \cdot \mathbf {u} )+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\nabla \rho \times \nabla p+\nabla \times \left({\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}\right)+\nabla \times \left({\frac {\mathbf {B} }{\rho }}\right)\end{aligned}}}$

куда D/Dt это материальная производная оператор ты это скорость потока, ρ местная жидкость плотность, п местный давление, τ это тензор вязких напряжений и B представляет собой сумму внешних силы тела. Первый исходный член справа представляет вихревое растяжение.

Уравнение справедливо при отсутствии концентрированных крутящие моменты и линейные силы для сжимаемого Ньютоновская жидкость.

В случае несжимаемый (т.е. низкий число Маха ) и изотропный жидкости, с консервативный объемных сил уравнение упрощается до уравнение переноса завихренности

${\displaystyle {\frac {D{\boldsymbol {\omega }}}{Dt}}=\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} +\nu \nabla ^{2}{\boldsymbol {\omega }}}$

куда ν это кинематическая вязкость и ∇² это Оператор Лапласа.

Физическая интерпретация

• Период, термин Dω/Dt в левой части материальная производная вектора завихренности ω. Он описывает скорость изменения завихренности движущейся частицы жидкости. Это изменение можно отнести к неустойчивость в потоке (∂ω/∂т, то неустойчивый срок) или из-за движения жидкой частицы при ее перемещении из одной точки в другую ((ты ∙ ∇)ω, то конвекция срок).
• Период, термин (ω ∙ ∇) ты в правой части описывает растяжение или наклон завихренности из-за градиентов скорости потока. Обратите внимание, что (ω ∙ ∇) ты - векторная величина, так как ω ∙ ∇ - скалярный дифференциальный оператор, а ∇ты - девятиэлементная тензорная величина.
• Период, термин ω(∇ ∙ ты) описывает растяжение завихренности за счет сжимаемости потока. Из уравнения Навье-Стокса для непрерывность, а именно

  ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)&=0\\\Longleftrightarrow \nabla \cdot \mathbf {u} &=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d\rho }{dt}}={\frac {1}{v}}{\frac {dv}{dt}}\end{aligned}}}$

куда v = 1/ρ это удельный объем элемента жидкости. Можно думать о ∇ ∙ ты как мера сжимаемости потока. Иногда в термин включается отрицательный знак.

• Период, термин 1/ρ²∇ρ × ∇п это бароклинический термин. Он учитывает изменения завихренности из-за пересечения поверхностей плотности и давления.
• Период, термин ∇ × (∇ ∙ τ/ρ), учитывает диффузию завихренности из-за вязких эффектов.
• Период, термин ∇ × B предусматривает изменения под действием внешних сил тела. Это силы, которые распространяются по трехмерной области жидкости, например сила тяжести или же электромагнитные силы. (В отличие от сил, действующих только на поверхности (например, тащить на стене) или линия (например, поверхностное натяжение вокруг мениск ).

Упрощения

• В случае консервативные телесные силы, ∇ × B = 0.
• Для баротропная жидкость, ∇ρ × ∇п = 0. Это также верно для жидкости постоянной плотности (включая несжимаемую жидкость), где ∇ρ = 0. Обратите внимание, что это не то же самое, что несжимаемый поток, для которого нельзя пренебрегать баротропным членом.
• За невязкий жидкости, тензор вязкости τ равно нулю.

Таким образом, для невязкой баротропной жидкости с консервативными объемными силами уравнение завихренности упрощается до

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)=\left({\frac {\boldsymbol {\omega }}{\rho }}\right)\cdot \nabla \mathbf {u} }$

В качестве альтернативы, в случае несжимаемой невязкой жидкости с консервативными телесными силами,

${\displaystyle {\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}={\frac {\partial {\boldsymbol {\omega }}}{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla ){\boldsymbol {\omega }}=({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla )\mathbf {u} }$^[1]

Для краткого обзора дополнительных случаев и упрощений см. Также.^[2] Уравнение завихренности в теории турбулентности в контексте потоков в океанах и атмосфере см. В.^[3]

Вывод

Уравнение завихренности может быть получено из Навье – Стокса уравнение сохранения угловой момент. При отсутствии каких-либо концентрированных крутящие моменты и линейные силы, получаем

${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}={\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\mathbf {B} +{\frac {\nabla \cdot \tau }{\rho }}}$

Теперь завихренность определяется как завихрение вектора скорости потока. Принимая завиток уравнения импульса дает искомое уравнение.

Следующие тождества полезны при выводе уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\omega }}&=\nabla \times \mathbf {u} \\\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} &=\nabla \left({\frac {1}{2}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)-\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\\\nabla \times \left(\mathbf {u} \times {\boldsymbol {\omega }}\right)&=-{\boldsymbol {\omega }}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\cdot \nabla \right)\mathbf {u} -\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right){\boldsymbol {\omega }}\\[4pt]\nabla \cdot {\boldsymbol {\omega }}&=0\\[4pt]\nabla \times \nabla \phi &=0\end{aligned}}}$

куда ϕ любое скалярное поле.

Тензорная запись

Уравнение завихренности можно выразить в виде тензорная запись с помощью Соглашение о суммировании Эйнштейна и Символ Леви-Чивита е_ijk:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {D\omega _{i}}{Dt}}&={\frac {\partial \omega _{i}}{\partial t}}+v_{j}{\frac {\partial \omega _{i}}{\partial x_{j}}}\\&=\omega _{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}-\omega _{i}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{j}}}+e_{ijk}{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x_{j}}}{\frac {\partial p}{\partial x_{k}}}+e_{ijk}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \tau _{km}}{\partial x_{m}}}\right)+e_{ijk}{\frac {\partial B_{k}}{\partial x_{j}}}\end{aligned}}}$

В конкретных науках

Атмосферные науки

в атмосферные науки, уравнение завихренности может быть сформулировано в терминах абсолютной завихренности воздуха относительно инерциальной системы отсчета или завихренности относительно вращения Земли. Абсолютная версия

${\displaystyle {\frac {d\eta }{dt}}=-\eta \nabla _{\text{h}}\cdot \mathbf {v} _{\text{h}}-\left({\frac {\partial w}{\partial x}}{\frac {\partial v}{\partial z}}-{\frac {\partial w}{\partial y}}{\frac {\partial u}{\partial z}}\right)-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\mathbf {k} \cdot \left(\nabla _{\text{h}}p\times \nabla _{\text{h}}\rho \right)}$

Здесь, η полярный (z) составляющая завихренности, ρ атмосферный плотность, ты, v, w - компоненты скорость ветра, и ∇_час является 2-мерным (т.е. только с горизонтальными компонентами) дель.

Смотрите также

• Завихренность
• Уравнение баротропной завихренности
• Вихревое растяжение
• Burgers vortex

Рекомендации

1. Феттер, Александр Л .; Валецка, Джон Д. (2003). Теоретическая механика частиц и сплошных сред (1-е изд.). Dover Publications. п. 351. ISBN  978-0-486-43261-8.
2. Берр, К. П. «Морская гидродинамика. Лекция 9». (PDF). Лекции MIT.
3. Лосось, Ричард Л. «Лекции по геофизической гидродинамике, глава 4» (PDF). Издательство Оксфордского университета; Выпуск 1 (26 февраля 1998 г.).

• Манна, Утпал; Шритаран, С. С. (2007). «Функционалы Ляпунова и локальная диссипативность для уравнения завихренности в L^п и пространства Бесова ». Дифференциальные и интегральные уравнения.. 20 (5): 581–598.
• Barbu, V .; Шритаран, С. С. (2000). "M-Аккретивное квантование уравнения завихренности » (PDF). В Балакришнане, А.В. (ред.). Полугруппы операторов: теория и приложения.. Бостон: Биркхаузер. С. 296–303.
• Кригель, А. М. (1983). «Вихревая эволюция». Геофизическая и астрофизическая гидродинамика. 24: 213–223.