Теория Чепмена – Энскога - Chapman–Enskog theory

Теория Чепмена – Энскога обеспечивает структуру, в которой уравнения гидродинамика для газа можно получить из Уравнение Больцмана. Техника оправдывает иначе феноменологический учредительные отношения появляющиеся в гидродинамических описаниях, таких как Уравнения Навье – Стокса. При этом выражения для различных транспортных коэффициентов, таких как теплопроводность и вязкость получены с точки зрения молекулярных параметров. Таким образом, теория Чепмена – Энскога представляет собой важный шаг на пути от микроскопического описания, основанного на частицах, к континуум гидродинамический.

Теория названа в честь Сидней Чепмен и Дэвид Энског, которые представили его независимо в 1916 и 1917 годах.^[1]

Описание

Отправной точкой теории Чепмена – Энскога является уравнение Больцмана для одночастичной функции распределения ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\hat {C}}f,}$

куда ${\displaystyle {\hat {C}}}$ - нелинейный интегральный оператор, моделирующий эволюцию ${\displaystyle f}$ при межчастичных столкновениях. Эта нелинейность затрудняет решение полного уравнения Больцмана и побуждает к развитию приближенных методов, таких как метод, предложенный теорией Чепмена – Энскога.

Учитывая эту отправную точку, различные предположения, лежащие в основе уравнения Больцмана, также переносятся на теорию Чепмена – Энскога. Самый простой из них требует разделения шкалы между продолжительностью столкновения. ${\displaystyle \tau _{c}}$ и среднее свободное время между столкновениями ${\displaystyle \tau _{f}}$: ${\displaystyle \tau _{c}\ll \tau _{f}}$. Это условие гарантирует, что столкновения являются четко определенными событиями в пространстве и времени, и выполняется, если безразмерный параметр ${\displaystyle \gamma \equiv r_{c}^{3}n}$ маленький, где ${\displaystyle r_{c}}$ - диапазон межчастичных взаимодействий и ${\displaystyle n}$ - числовая плотность.^[2] В дополнение к этому предположению теория Чепмена – Энскога также требует, чтобы ${\displaystyle \tau _{f}}$ намного меньше, чем любой внешний сроки ${\displaystyle \{\tau _{\text{ext}}\}}$. Это временные шкалы, связанные с членами в левой части уравнения Больцмана, которые описывают изменения состояния газа на макроскопических длинах. Обычно их значения определяются начальными / граничными условиями и / или внешними полями. Такое разделение масштабов означает, что член столкновений в правой части уравнения Больцмана намного меньше, чем члены потока в левой части. Таким образом, приближенное решение можно найти из

${\displaystyle {\hat {C}}f=0.}$

Можно показать, что решением этого уравнения является Гауссовский:

${\displaystyle f=n(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T(\mathbf {r} ,t)}}\right],}$

куда ${\displaystyle m}$ это масса молекулы и ${\displaystyle k_{B}}$ это Постоянная Больцмана.^[3]Говорят, что газ находится в локальное равновесие если он удовлетворяет этому уравнению.^[4] Предположение о локальном равновесии непосредственно приводит к Уравнения Эйлера, которые описывают жидкости без диссипации, то есть с теплопроводностью и вязкостью, равными ${\displaystyle 0}$. Основная цель теории Чепмена – Энскога - систематическое получение обобщений уравнений Эйлера, которые действительно включают диссипацию. Это достигается выражением отклонений от локального равновесия в виде пертурбативного ряда в Число Кнудсена ${\displaystyle {\text{Kn}}}$, что мало, если ${\displaystyle \tau _{f}\ll \{\tau _{\text{ext}}\}}$. Концептуально полученные гидродинамические уравнения описывают динамическое взаимодействие между свободным течением и межчастичными столкновениями. Последние имеют тенденцию гнать газ к локальное равновесие, в то время как первый действует через пространственные неоднородности, заставляя газ прочь от локального равновесия.^[5] Когда число Кнудсена порядка 1 или больше, газ в рассматриваемой системе не может быть описан как жидкость.

Для первого заказа в ${\displaystyle {\text{Kn}}}$, получаем Уравнения Навье – Стокса. Второй и третий порядок порождают Уравнения Бернетта и супербёрнеттские уравнения.

Математическая формулировка

Поскольку число Кнудсена не появляется явно в уравнении Больцмана, а скорее неявно в терминах функции распределения и граничных условий, фиктивный параметр ${\displaystyle \epsilon }$ вводится для отслеживания соответствующих приказов в расширении Chapman – Enskog:

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {1}{\epsilon }}{\hat {C}}f.}$

Видно, что маленькие ${\displaystyle \epsilon }$ подразумевает коллизионный член ${\displaystyle {\hat {C}}f}$ доминирует над термином потоковой передачи ${\displaystyle \mathbf {v\cdot } {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}}$, что то же самое, что сказать, что число Кнудсена мало. Таким образом, подходящая форма для разложения Чепмена – Энскога:

${\displaystyle f=f^{(0)}+\epsilon f^{(1)}+\epsilon ^{2}f^{(2)}+\ldots \ .}$

Решения, которые могут быть формально расширены таким образом, известны как нормальный решения уравнения Больцмана.^[6] Ясно, что этот класс решений исключает непертурбативные вклады (такие как ${\displaystyle e^{-1/\epsilon }}$), которые появляются в пограничных слоях или вблизи внутренних ударные слои. Таким образом, теория Чепмена – Энскога ограничивается ситуациями, в которых такими решениями можно пренебречь.

Подставляя это разложение и приравнивая порядки ${\displaystyle \epsilon }$ ведет к иерархии

${\displaystyle {\begin{aligned}J(f^{(0)},f^{(0)})&=0\\2J(f^{(0)},f^{(n)})&=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {v\cdot } {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot {\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\right)f^{(n-1)}-\sum _{m=1}^{n-1}J(f^{(n)},f^{(n-m)}),\qquad n>0,\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle J}$ - интегральный оператор, линейный по обоим аргументам, удовлетворяющий ${\displaystyle J(f,g)=J(g,f)}$ и ${\displaystyle J(f,f)={\hat {C}}f}$. Решение первого уравнения является гауссовским:

${\displaystyle f^{(0)}=n'(\mathbf {r} ,t)\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m\left(\mathbf {v} -\mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)\right)^{2}}{2k_{B}T'(\mathbf {r} ,t)}}\right].}$

для некоторых функций ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$, ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$, и ${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$. Заманчиво приравнять эти функции к физическим гидродинамическим полям, определяемым как моменты ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\mathbf {r} ,t)&=\int fd\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)v_{0}(\mathbf {r} ,t)&=\int \mathbf {v} fd\mathbf {v} \\n(\mathbf {r} ,t)T(\mathbf {r} ,t)&=\int {\frac {m}{3k_{B}}}\mathbf {v} ^{2}fd\mathbf {v} .\end{aligned}}}$

Однако с чисто математической точки зрения эти два набора функций не обязательно одинаковы для ${\displaystyle \epsilon >0}$ (за ${\displaystyle \epsilon =0}$ они равны по определению). Действительно, если систематически продвигаться по иерархии, можно обнаружить, что аналогично ${\displaystyle f^{(0)}}$, каждый ${\displaystyle f^{(n)}}$ также содержит произвольные функции ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle t}$ связь которого с физическими гидродинамическими полями априори неизвестный. Одно из ключевых упрощающих предположений теории Чепмена – Энскога состоит в том, что предполагать что эти в противном случае произвольные функции могут быть записаны в терминах точный гидродинамические поля и их пространственные градиенты. Другими словами, пространственно-временная зависимость ${\displaystyle f}$ входит только неявно через гидродинамические поля. Это утверждение физически правдоподобно, так как при малых числах Кнудсена ожидается вход в гидродинамический режим, в котором состояние газа определяется исключительно гидродинамическими полями. В случае ${\displaystyle f^{(0)}}$, функции ${\displaystyle n'(\mathbf {r} ,t)}$, ${\displaystyle \mathbf {v} '_{0}(\mathbf {r} ,t)}$, и ${\displaystyle T'(\mathbf {r} ,t)}$ полагаются в точности равными физическим гидродинамическим полям.

Хотя эти предположения физически правдоподобны, возникает вопрос, действительно ли существуют решения, удовлетворяющие этим свойствам. Точнее, нужно показать, что существуют решения, удовлетворяющие

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon ^{n}f^{(n)}d\mathbf {v} =0=\int \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon ^{n}f^{(n)}\mathbf {v} ^{2}d\mathbf {v} \\\int \sum _{n=1}^{\infty }\epsilon ^{n}f^{(n)}v_{i}d\mathbf {v} =0,\qquad i\in \{x,y,z\}.\end{aligned}}}$

Более того, даже если такие решения существуют, остается дополнительный вопрос о том, охватывают ли они полный набор нормальных решений уравнения Больцмана, т.е.не представляют собой искусственное ограничение исходного разложения в ${\displaystyle \epsilon }$. Одно из ключевых технических достижений теории Чепмена – Энскога - дать положительный ответ на оба эти вопроса.^[6] Таким образом, по крайней мере на формальном уровне, подход Чепмена – Энскога не теряет общности.

Установив эти формальные соображения, можно приступить к вычислению ${\displaystyle f^{(1)}}$. Результат^[1]

${\displaystyle f^{(1)}=\left[-{\frac {1}{n}}\left({\frac {2k_{B}T}{m}}\right)^{1/2}\mathbf {A(\mathbf {v} )\cdot \nabla \ln } T\mathbf {-} {\frac {2}{n}}\mathbb {B(\mathbf {v} )\colon \nabla } \mathbf {v} _{0}\right]f^{(0)},}$

куда ${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {v} )}$ вектор и ${\displaystyle \mathbb {B} (\mathbf {v} )}$ а тензор, каждое из которых является решением линейной неоднородной интегральное уравнение которая может быть решена явно с помощью полиномиального разложения. Обратите внимание, что двоеточие обозначает произведение с двумя точками, ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$ для тензоров ${\displaystyle \mathbb {T} }$, ${\displaystyle \mathbb {T'} }$.

Прогнозы

В первом порядке по числу Кнудсена тепловой поток ${\displaystyle \mathbf {q} ={\frac {m}{2}}\int f\mathbf {v} ^{2}\mathbf {v} d\mathbf {v} }$ оказывается подчиняться Закон теплопроводности Фурье,^[7]

${\displaystyle \mathbf {q} =-\lambda \nabla T,}$

и тензор потока импульса ${\displaystyle \mathbf {\sigma } =m\int (\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})(\mathbf {v} -\mathbf {v} _{0})^{\mathsf {T}}f\mathrm {d} \mathbf {v} }$ это то из Ньютоновская жидкость,^[7]

${\displaystyle \mathbf {\sigma } =p\mathbb {I} -\mu \left(\nabla \mathbf {v_{0}} +\nabla \mathbf {v_{0}} ^{T}\right)+{\frac {2}{3}}\mu (\nabla \cdot \mathbf {v_{0}} )\mathbb {I} ,}$

с ${\displaystyle \mathbb {I} }$ тождественный тензор. Здесь ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ являются константами, которые мы теперь отождествляем с теплопроводностью и вязкостью. Их можно явно рассчитать в терминах молекулярных параметров, решив линейное интегральное уравнение; в таблице ниже приведены результаты для нескольких важных молекулярных моделей (${\displaystyle m}$ это масса молекулы и ${\displaystyle k_{B}}$ - постоянная Больцмана).^[8]

Таблица 1: Прогнозируемые выражения для теплопроводности и вязкости.

Модель	${\displaystyle \mu }$	${\displaystyle \lambda }$	Заметки
Жесткие упругие шары диаметром ${\displaystyle \sigma }$	${\displaystyle 1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}}$	${\displaystyle 2.522\cdot {\frac {3}{2}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu }$	Правильно до 3-х знаков после запятой.
Молекулы с силой отталкивания ${\displaystyle \kappa /r^{\nu }}$	${\displaystyle {\frac {5}{8}}{\frac {1}{A_{2}(\nu )\Gamma \left(4-{\frac {2}{\nu -1}}\right)}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {2k_{B}T}{\kappa }}\right)^{2/(\nu -1)}}$	${\displaystyle {\frac {15}{4}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu }$	${\displaystyle \Gamma }$ обозначает Гамма-функция, и ${\displaystyle A_{2}(\nu )}$ - числовой коэффициент. Чепмен и Коулинг перечисляют несколько значений последнего, например ${\displaystyle A_{2}(5)=0.436}$ и ${\displaystyle A_{2}(11)=0.319}$.[9]
Потенциал Леннарда-Джонса: ${\displaystyle V(r)=4\epsilon \{(\sigma /r)^{12}-(\sigma /r)^{6}\}}$	${\displaystyle {\frac {5}{8\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{B}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot {\frac {1}{{\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}}}$	${\displaystyle {\frac {15}{4}}{\frac {k_{B}}{m}}\cdot \mu }$	${\displaystyle {\mathcal {W}}_{1}^{(2)}(2)}$ является функцией ${\displaystyle k_{B}T/\epsilon }$ который можно рассчитать численно. Это варьируется от ${\displaystyle 5.682}$ за ${\displaystyle k_{B}T/\epsilon =0.3}$ к ${\displaystyle 1.1738}$ за ${\displaystyle k_{B}T/\epsilon =100}$.[10]

С этими результатами легко получить уравнения Навье – Стокса. Взятие моментов скорости из уравнения Больцмана приводит к точный уравнения баланса гидродинамических полей ${\displaystyle n(\mathbf {r} ,t)}$, ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(\mathbf {r} ,t)}$, и ${\displaystyle T(\mathbf {r} ,t)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial n}{\partial t}}+\nabla \cdot \left(n\mathbf {v} _{0}\right)&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} _{0}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla \mathbf {v} _{0}-{\frac {\mathbf {F} }{m}}+{\frac {1}{n}}\nabla \cdot \mathbf {\sigma } &=0\\{\frac {\partial T}{\partial t}}+\mathbf {v} _{0}\cdot \nabla T+{\frac {2}{3k_{B}n}}\left(\mathbf {\sigma :} \nabla \mathbf {v} _{0}+\nabla \cdot \mathbf {q} \right)&=0.\end{aligned}}}$

Как и в предыдущем разделе, двоеточие обозначает произведение с двумя точками, ${\displaystyle \mathbb {T} :\mathbb {T'} =\sum _{i}\sum _{j}T_{ij}T'_{ji}}$. Подставляя выражения Чепмена – Энскога для ${\displaystyle \mathbf {q} }$ и ${\displaystyle \sigma }$, приходим к уравнениям Навье – Стокса.

Сравнение с экспериментом

Важным предсказанием теории Чепмена-Энскога является то, что вязкость не зависит от плотности (это можно увидеть для каждой молекулярной модели в таблице 1, но на самом деле она не зависит от модели). Этот удивительный результат восходит к Джеймс Клерк Максвелл, который сделал это в 1860 году на основе более элементарных кинетических аргументов.^[11] Это хорошо проверено экспериментально для газов обычных плотностей.

Таблица 2: Экспериментально измеренные значения ${\displaystyle f=\lambda /\mu c_{v}}$ для первых пяти благородных газов.^[12]

Гелий	2.45
Неон	2.52
Аргон	2.48
Криптон	2.535
Ксенон	2.58

С другой стороны, теория предсказывает, что ${\displaystyle \mu }$ действительно зависит от температуры. Для жестких упругих сфер прогнозируемое масштабирование составляет ${\displaystyle \mu \propto T^{1/2}}$, в то время как другие модели обычно показывают большее изменение в зависимости от температуры. Например, для молекул, отталкивающих друг друга с силой ${\displaystyle \propto r^{-\nu }}$ прогнозируемое масштабирование ${\displaystyle \mu \propto T^{s}}$, куда ${\displaystyle s=1/2+2/(\nu -1)}$. Принимая ${\displaystyle s=0.668}$, соответствующий ${\displaystyle \nu \approx 12.9}$, показывает разумное согласие с экспериментально наблюдаемым скейлингом для гелия. Для более сложных газов согласие не такое хорошее, скорее всего, из-за пренебрежения силами притяжения.^[13] Действительно, Модель Леннарда-Джонса, который включает в себя аттракционы, может быть приведен в большее соответствие с экспериментом (хотя и за счет более непрозрачного ${\displaystyle T}$ зависимость; см. запись Леннарда-Джонса в таблице 1).^[14]

Теория Чепмена – Энскога также предсказывает простую связь между ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \mu }$ в виде ${\displaystyle \lambda =f\mu c_{v}}$, куда ${\displaystyle c_{v}}$ это удельная теплоемкость при постоянном объеме и ${\displaystyle f}$ является чисто числовым фактором. Для сферически-симметричных молекул его значение будет очень близко к ${\displaystyle 2.5}$ немного зависящим от модели способом. Например, жесткие упругие сферы имеют ${\displaystyle f\approx 2.522}$, и молекулы с силой отталкивания ${\displaystyle \propto r^{-13}}$ имеют ${\displaystyle f\approx 2.511}$ (последнее отклонение не учитывается в таблице 1). Частный случай Молекулы Максвелла (сила отталкивания ${\displaystyle \propto r^{-5}}$) имеет ${\displaystyle f=2.5}$ точно.^[15] С ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$, и ${\displaystyle c_{v}}$ могут быть измерены непосредственно в эксперименте, простой экспериментальной проверкой теории Чепмена – Энскога является измерение ${\displaystyle f}$ для сферически симметричной благородные газы. Таблица 2 показывает, что существует разумное согласие между теорией и экспериментом.^[12]

Расширения

Основные принципы теории Чепмена – Энскога можно распространить на более разнообразные физические модели, включая газовые смеси и молекулы с внутренними степенями свободы. В режиме высокой плотности теория может быть адаптирована для учета столкновительного переноса импульса и энергии, то есть переноса по молекулярному диаметру в течение столкновение, а не на длине свободного пробега (между столкновения). Включение этого механизма предсказывает зависимость вязкости от плотности при достаточно высокой плотности, что также наблюдается экспериментально.

Можно также провести теорию до более высокого порядка по числу Кнудсена. В частности, вклад третьего порядка ${\displaystyle f^{(2)}}$ был рассчитан Бернеттом.^[16] В общих обстоятельствах, однако, к этим исправлениям высокого порядка следует подходить с осторожностью, учитывая, что расширение Чепмена – Энскога не всегда может сходиться.^[17] (С другой стороны, расширение считается по крайней мере асимптотическим по отношению к решениям уравнения Больцмана, и в этом случае усечение в низком порядке по-прежнему дает точные результаты.)^[18] Даже если поправки более высокого порядка действительно позволяют улучшить данную систему, интерпретация соответствующих гидродинамических уравнений все еще обсуждается.^[19]

Смотрите также

• Транспортные явления
• Кинетическая теория газов
• Уравнение Больцмана
• Уравнения Навье – Стокса
• Вязкость
• Теплопроводность

Заметки

1. Чепмен, Сидней; Каулинг, Т. (1970), Математическая теория неоднородных газов. (3-е изд.), Cambridge University Press
2. Балеску, Раду (1975), Равновесная и неравновесная статистическая механика, Джон Уайли и сыновья, ISBN  978-0-471-04600-4
3. Черчиньяни, Карло (1975), Теория и применение уравнения Больцмана., Elsevier, стр. 78–79, ISBN  978-0-444-19450-3
4. Балеску, стр. 450
5. Балеску, стр. 451
6. Град, Гарольд (1958), "Принципы кинетической теории газов", в Flügge, S. (ed.), Энциклопедия физики, XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.
7. Берд, Р. Брайон; Армстронг, Роберт С .; Хассагер, Оле (1987), Динамика полимерных жидкостей, Том 1: Механика жидкости (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 10–11.
8. Чепмен и Коулинг, глава 10
9. Чепмен и Коулинг, стр. 172
10. Чепмен и Коулинг, стр. 185
11. Максвелл, Джеймс (1860), "V. Иллюстрации к динамической теории газов. - Часть I. О движениях и столкновениях идеально упругих сфер", Философский журнал, 19 (124): 19–32, Дои:10.1080/14786446008642818
12. Чепмен и Коулинг стр. 249
13. Chapman & Cowling, стр. 230-232.
14. Chapman & Cowling, стр. 235-237.
15. Chapman & Cowling, стр. 247
16. Бернетт Д. (1936 г.), "Распределение молекулярных скоростей и среднее движение в неоднородном газе", Труды Лондонского математического общества, 40: 382, Дои:10.1112 / плмс / с2-40.1.382
17. Сантос, Андрес; Брей, Дж. Хавьер; Дафти, Джеймс В. (1986), "Дивергенция расширения Чепмена-Энскога", Письма с физическими проверками, 56 (15): 1571–1574, Дои:10.1103 / PhysRevLett.56.1571, PMID  10032711
18. Град, Гарольд (1963), "Асимптотическая теория уравнения Больцмана", Физика жидкостей, 6 (2): 147, Дои:10.1063/1.1706716
19. Гарсия-Колин, Л.С.; Velasco, R.M .; Урибе, Ф.Дж. (2008), "Помимо уравнений Навье – Стокса: гидродинамика Бернетта", Отчеты по физике, 465 (4): 149–189, Дои:10.1016 / j.physrep.2008.04.010

Рекомендации

Классическая монография по теме:

• Чепмен, Сидней; Каулинг, Т. (1970), Математическая теория неоднородных газов. (3-е изд.), Cambridge University Press

Содержит техническое введение в нормальные решения уравнения Больцмана:

• Град, Гарольд (1958), "Принципы кинетической теории газов", в Flügge, S. (ed.), Энциклопедия физики, XII, Springer-Verlag, стр. 205–294.