Клоусон пойнт - Clawson point

Клоусон пойнт ${\displaystyle P}$ в качестве гомотетический центр для подобных треугольников ${\displaystyle \triangle T_{a}T_{b}T_{c}}$ и ${\displaystyle \triangle H_{a}H_{b}H_{c}}$(красный)

В Клоусон пойнт особая точка в плоском треугольнике, определяемая трилинейные координаты ${\displaystyle \tan(\alpha ):\tan(\beta ):\tan(\gamma )}$^[1] (Номер Кимберлинга X (19)), где ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ внутренние углы при вершинах треугольника ${\displaystyle A,B,C}$. Он назван в честь Джон Вентворт Клоусон, опубликовавший ее в 1925 г. Американский математический ежемесячный журнал.

Геометрические конструкции

Существует как минимум два способа построения точки Клоусона, которые также можно использовать как определения точки без координат. В обоих случаях у вас есть два треугольника, где три линии, соединяющие соответствующие вершины, встречаются в общей точке, которая является точкой Клоусона.

Строительство 1

Для данного треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ позволять ${\displaystyle \triangle H_{a}H_{b}H_{c}}$ быть его ортический треугольник и ${\displaystyle \triangle T_{a}T_{b}T_{c}}$ треугольник, образованный внешними касательными к его трем вне окружности. Эти два треугольника похожи, и точка Клоусона - их центр сходства, поэтому три строки ${\displaystyle T_{a}H_{a},T_{b}H_{b},T_{c}H_{c}}$ соединяющие их вершины встречаются в общей точке, которая является точкой Клоусона.^[2][3]

Строительство 2

Клоусон пойнт ${\displaystyle P}$ как перспективный центр перспективных треугольников ${\displaystyle \triangle ABC}$ и ${\displaystyle \triangle A'B'C'}$

Для треугольника ${\displaystyle \triangle ABC}$ его описанная окружность пересекает каждую из трех вневписанных окружностей в двух точках. Три линии, проходящие через эти точки пересечения, образуют треугольник. ${\displaystyle \triangle A^{\prime }B^{\prime }C^{\prime }}$. Этот треугольник и треугольник ${\displaystyle \triangle ABC}$ - перспективные треугольники с точкой Клоусона, перспективный центр. Следовательно, три строки ${\displaystyle AA^{\prime },BB^{\prime },CC^{\prime }}$ встретимся в мысе Клоусон.^[1]

История

Точка теперь названа в честь Дж. У. Клоусона, который опубликовал ее трилинейные координаты 1925 года в American Mathematical Monthly как задачу 3132, где он попросил геометрическое построение этой точки.^[4] Однако французский математикЭмиль Лемуан уже исследовал этот вопрос в 1886 году.^[5] Позже эта точка была независимо открыта Р. Лайнессом и Г. Р. Велдкампом в 1983 году, которые назвали ее решающий момент после канадского математического журнала Crux Mathematicorum, в котором она была опубликована как задача 682.^[1]

Рекомендации

1. Кларк Кимберлинг: КЛОУСОН ТОЧКА. В: Энциклопедия центров треугольников (Дата обращения 30.11.2019)
2. Кларк Кимберлинг: Центральные точки и центральные линии на плоскости треугольника. В: Математический журнал, Том 67, вып. 3, 1994, pp. 163–187, в частности 175. (JSTOR ).
3. Вайсштейн, Эрик В. «Клоусон-Пойнт». MathWorld. (Дата обращения 30.11.2019)
4. Дж. В. Клоусон, Майкл Голдберг: Проблема 3132. В: Американский математический ежемесячник, Том 33, вып. 5. 1926. С. 285–285. (JSTOR)
5. Кларк Кимберлинг: X (19) = ТОЧКА КЛОУСОНА. В: Энциклопедия центров треугольников (Дата обращения 30.11.2019)

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Клоусон-Пойнт». MathWorld.
• X (19) = ТОЧКА КЛОУСОНА унд КЛОУСОН ТОЧКА в Энциклопедии центров Trinagle (ETC)
• LE POINT CLAWSON PAR LES TRIANGLES ORTHIQUES ET EXTANGENT
• Точка Клоусона: Ортический треугольник, Треугольник Внешних частей, Гомотетия или Гомотетия