Условие согласованности - Coherence condition

В математика, и особенно теория категорий, а условие согласованности представляет собой совокупность условий, требующих, чтобы различные композиции элементарных морфизмы равны. Обычно элементарные морфизмы являются частью данных категория. Теорема о согласованности утверждает, что для того, чтобы быть уверенным, что все эти равенства выполняются, достаточно проверить небольшое количество тождеств.

Наглядный пример: моноидальная категория

Часть данных моноидальная категория выбранный морфизм ${displaystyle alpha _ {A, B, C}}$ , называется ассоциатор:

{displaystyle alpha _ {A, B, C} двоеточие (Aotimes B) или Cightarrow Aotimes (Botimes C)}

за каждую тройку объекты ${displaystyle A, B, C}$ в категории. Используя композиции из этих ${displaystyle alpha _ {A, B, C}}$ , можно построить морфизм

{displaystyle ((A_ {N} otimes A_ {N-1}) otimes A_ {N-2}) otimes cdots otimes A_ {1}) ightarrow (A_ {N} otimes (A_ {N-1} otimes cdots otimes ( A_ {2} иногда A_ {1})).}

Собственно, есть много способов построить такой морфизм, как композицию различных ${displaystyle alpha _ {A, B, C}}$ . Обычно налагается одно условие согласованности - все эти композиции равны.

Обычно условие когерентности доказывается с помощью теорема согласованности, в котором говорится, что достаточно проверить несколько равенств композиций, чтобы показать, что остальные также верны. В приведенном выше примере нужно только проверить, что для всех четверок объектов ${displaystyle A, B, C, D}$ , следующая диаграмма коммутирует.

Любая пара морфизмов из ${displaystyle ((cdots (A_ {N} otimes A_ {N-1}) otimes cdots) otimes A_ {2}) otimes A_ {1})}$ к ${displaystyle (A_ {N} otimes (A_ {N-1} otimes (cdots otimes (A_ {2} otimes A_ {1}) cdots))}$ построены как композиции различных ${displaystyle alpha _ {A, B, C}}$ равны.

Дальнейшие примеры

Два простых примера, которые иллюстрируют определение, заключаются в следующем. Оба взяты непосредственно из определения категории.

Личность

Позволять ж : А → B быть морфизмом категории, содержащей два объекта А и B. С этими объектами связаны тождественные морфизмы 1_А : А → А и 1_B : B → B. Составив их с ж, построим два морфизма:

ж о 1_А : А → B, и

1_B о ж : А → B.

Оба являются морфизмами между теми же объектами, что и ж. Соответственно, мы имеем следующее заявление о согласованности:

ж о 1_А = ж = 1_B о ж.

Ассоциативность композиции

Позволять ж : А → B, г : B → C и час : C → D быть морфизмами категории, содержащей объекты А, B, C и D. Повторяя композицию, мы можем построить морфизм из А к D двумя способами:

(час о г) о ж : А → D, и

час о (г о ж) : А → D.

Теперь у нас есть следующее заявление о согласованности:

(час о г) о ж = час о (г о ж).

В этих двух конкретных примерах утверждения о согласованности теоремы в случае абстрактной категории, поскольку они непосредственно следуют из аксиом; на самом деле они находятся аксиомы. В случае конкретной математической структуры их можно рассматривать как условия, а именно как требования к тому, чтобы рассматриваемая математическая структура была конкретной категорией, требования, которым такая структура может соответствовать или не соответствовать.

использованная литература

Мак-Лейн, Сондерс (1971). Категории для работающего математика. Тексты для выпускников по математике Springer-Verlag. Особенно Глава VII Часть 2.