Дирижер (теория колец) - Conductor (ring theory)

В теория колец, филиал математика, то дирижер является мерой того, насколько далеко друг от друга находятся коммутативное кольцо и кольцо расширения. Чаще всего большее кольцо - это домен целиком закрытый в его поле дробей, а затем проводник измеряет, насколько меньшее кольцо не закрывается целиком.

Дирижер имеет большое значение при изучении немаксимальных порядков в кольце целых чисел поля алгебраических чисел. Одна из интерпретаций дирижера заключается в том, что он измеряет несостоятельность уникальной факторизации в простые идеалы.

Определение

Позволять А и B - коммутативные кольца, и предположим $А \subseteq B$ . В дирижер ^[1] из А в B это идеал

{displaystyle {mathfrak {f}} (B / A) = operatorname {Ann} _ {A} (B / A).}

Здесь $B / А$ рассматривается как частное от А-модули и $Анна$ обозначает аннигилятор. Точнее, проводник - это набор

{displaystyle {mathfrak {f}} (B / A) = {ain Acolon aBsubseteq A}.}

Поскольку проводник определяется как аннигилятор, он является идеалом А.

Если B является областью целостности, то проводник можно переписать как

{displaystyle {0} cup {ain Asetminus {0}: Bsubseteq extstyle {frac {1} {a}} A},}

куда ${displaystyle extstyle {frac {1} {a}} A}$ рассматривается как подмножество поля дробей B. То есть, если а отличен от нуля и находится в проводнике, то каждый элемент B можно записать в виде дроби, числитель которой находится в А и знаменатель которого а. Следовательно, ненулевые элементы проводника - это те, которых достаточно в качестве общих знаменателей при записи элементов B как частное от элементов А.

Предполагать р кольцо, содержащее B. Например, р может равняться B, или же B может быть домен и р его поле дробей. Тогда, потому что $1 \in B$ , проводник также равен

{displaystyle {rin R: rBsubseteq A}.}

Элементарные свойства

Проводник - это все кольцо А тогда и только тогда, когда он содержит $1 \in А$ и, следовательно, тогда и только тогда, когда $А = B$ . В противном случае проводник - собственно идеал А.

Если индекс $м = [B : А]$ конечно, то $мБ \subseteq А$ , так ${displaystyle min {mathfrak {f}} (B / A)}$ . В этом случае проводник ненулевой. Это особенно актуально, когда B кольцо целых чисел в поле алгебраических чисел и А это заказ (подкольцо, для которого $B / А$ конечно).

Дирижер тоже идеал B, потому что для любого $б \in B$ и любой ${displaystyle ain {mathfrak {f}} (B / A)}$ , $baB \subseteq аБ \subseteq А$ . Фактически идеальный J из B содержится в А если и только если J содержится в проводнике. Действительно, для такого J, $JB \subseteq J \subseteq А$ , поэтому по определению J содержится в ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ . И наоборот, проводник - идеал А, поэтому любой идеал, содержащийся в нем, содержится в А. Этот факт означает, что ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ это самый большой идеал А который также является идеалом B. (Может случиться, что есть идеалы А содержащиеся в проводнике, которые не являются идеалами B.)

Предположим, что S является мультипликативным подмножеством А. потом

{displaystyle S ^ {- 1} {mathfrak {f}} (B / A) substeq {mathfrak {f}} (S ^ {- 1} B / S ^ {- 1} A),}

с равенством в случае, если B является конечно порожденным А-модуль.

Проводники дедекиндовских доменов

Некоторые из наиболее важных применений проводника возникают, когда B это Дедекиндский домен и $B / А$ конечно. Например, B может быть кольцом целых чисел числовое поле и А немаксимальный порядок. Или же, B может быть аффинным координатным кольцом гладкой проективной кривой над конечным полем и А аффинное координатное кольцо особой модели. Кольцо А не имеет однозначной факторизации в простые идеалы, а отказ уникальной факторизации измеряется проводником ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ .

Идеалы, взаимно простые с проводником, разделяют многие приятные свойства идеалов дедекиндовской области. Более того, для этих идеалов существует тесное соответствие между идеалами B и идеалы А:

Идеалы А которые относительно просты с ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ имеют уникальную факторизацию в произведения обратимых простых идеалов, взаимно простых с проводником. В частности, все такие идеалы обратимы.
Если я это идеал B это относительно просто ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ , тогда $я \cap А$ это идеал А это относительно просто ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ и естественный гомоморфизм колец ${displaystyle A / (Icap A) o B / I}$ является изоморфизмом. Особенно, я прост тогда и только тогда, когда $я \cap А$ простое.
Если J это идеал А это относительно просто ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ , тогда $JB$ это идеал B это относительно просто ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ и естественный гомоморфизм колец ${displaystyle A / J o B / JB}$ является изоморфизмом. Особенно, J прост тогда и только тогда, когда JB простое.
Функции ${displaystyle Imapsto Icap A}$ и ${displaystyle Jmapsto JB}$ определить взаимное соответствие между идеалами А относительно простой ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ и идеалы B относительно простой ${displaystyle {mathfrak {f}} (B / A)}$ . Эта биекция сохраняет свойство быть простым. Он также мультипликативный, то есть ${displaystyle (Icap A) (I'cap A) = II'cap A}$ и ${displaystyle (JB) (J'B) = JJ'B}$ .

Все эти свойства в общем случае не работают для идеалов, не взаимно простых с проводником. Чтобы увидеть некоторые из возможных трудностей, предположим, что J является ненулевым идеалом обоих А и B (в частности, он содержится в проводнике, следовательно, не взаимно прост с ним). потом J не может быть обратимым дробный идеал из А пока не $А = B$ . Потому что B это дедекиндовский домен, J обратима в B, и поэтому

{displaystyle {xin Kcolon xJsubseteq J} = B,}

так как мы можем умножить обе части уравнения $xJ \subseteq J$ к J⁻¹. Если J также обратима в А, то применимы те же рассуждения. Но в левой части приведенного выше уравнения нет ссылки на А или же B, только в их общее поле дробей, и, следовательно, $А = B$ . Таким образом, будучи идеалом обоих А и B влечет необратимость в А.

Проводники полей квадратичных чисел

Позволять K - квадратичное расширение Q, и разреши $О K$ его кольцо целых чисел. Расширяя $1 \in О K$ к Z-основа, мы видим, что каждый заказ О в K имеет форму $Z + cO K$ для некоторого положительного целого числа c. Проводник этого порядка равен идеальному cO_K. Действительно, ясно, что cO_K это идеал О_K содержалась в О, поэтому он содержится в проводнике. С другой стороны, идеалы О содержащий cO_K такие же, как идеалы факторкольца $(Z + cO K) / cO K$ . Последнее кольцо изоморфно $Z / c Z$ по второй теореме об изоморфизме, поэтому все такие идеалы О являются суммой cO_K с идеалом Z. При этом изоморфизме проводник аннигилирует $Z / c Z$ , так должно быть $c Z$ .

В этом случае индекс $[О K : О]$ также равно c, поэтому для порядков полей квадратичных чисел индекс может быть отождествлен с проводником. Эта идентификация не выполняется для числовых полей с более высокой степенью.

Ссылка

^ Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра. Springer. п. 316. ISBN 0-387-19371-5.

Смотрите также

Составной элемент

[1] Бурбаки, Николас (1989). Коммутативная алгебра. Springer. п. 316. ISBN 0-387-19371-5.

[1]