Constant-Q преобразование - Constant-Q transform

В математике и обработка сигналов, то постоянное Q преобразование преобразует ряд данных в частотную область. Это связано с преобразование Фурье^[1] и очень тесно связаны с комплексом Вейвлет Морле преобразовать.^[2]

Преобразование можно рассматривать как серию фильтров. ж_k, логарифмически разнесенные по частоте, с k-й фильтр, имеющий спектральная ширина δf_k равняется кратной ширине предыдущего фильтра:

${displaystyle {egin{aligned}delta f_{k}&=2^{1/n}cdot delta f_{k-1}&=left(2^{1/n}ight)^{k}cdot delta f_{ ext{min}},end{aligned}}}$

куда δf_k это пропускная способность k-й фильтр, ж_мин - центральная частота самого нижнего фильтра, а п количество фильтров на октава.

Расчет

В кратковременное преобразование Фурье из Икс[п] для кадра, сдвинутого на образец м рассчитывается следующим образом:

${displaystyle X[k,m]=sum _{n=0}^{N-1}W[n-m]x[n]e^{-j2pi kn/N}.}$

Учитывая серию данных, выбранную в ж_s = 1/Т, Т поскольку период выборки наших данных, для каждого частотного интервала мы можем определить следующее:

• Ширина фильтра, δf_k.
• Q, «добротность»:

${displaystyle Q={frac {f_{k}}{delta f_{k}}}.}$

Ниже показано целое число циклов, обработанных на центральной частоте. ж_k. Таким образом, это в некоторой степени определяет временную сложность преобразования.

• Длина окна для k-й бункер:

${displaystyle N[k]={frac {f_{ ext{s}}}{delta f_{k}}}={frac {f_{ ext{s}}}{f_{k}}}Q.}$

С ж_s/ж_k это количество выборок, обрабатываемых за цикл с частотой ж_k, Q - количество целочисленных циклов, обработанных на этой центральной частоте.

Эквивалентное ядро ​​преобразования можно найти, используя следующие замены:

• Длина окна каждой ячейки теперь является функцией номера ячейки:

${displaystyle N=N[k]=Q{frac {f_{ ext{s}}}{f_{k}}}.}$

• Относительная мощность каждого бина будет уменьшаться на более высоких частотах, так как они суммируются по меньшему количеству членов. Чтобы компенсировать это, мы нормализуем N[k].
• Любая оконная функция будет функцией длины окна, а также функцией номера окна. Например, эквивалент Окно Хэмминга было бы

${displaystyle W[k,n]=alpha -(1-alpha )cos {frac {2pi n}{N[k]-1}},quad alpha =25/46,quad 0leqslant nleqslant N[k]-1.}$

• Наша цифровая частота, ${displaystyle {frac {2pi k}{N}}}$, становится ${displaystyle {frac {2pi Q}{N[k]}}}$.

После этих модификаций у нас остается

${displaystyle X[k]={frac {1}{N[k]}}sum _{n=0}^{N[k]-1}W[k,n]x[n]e^{frac {-j2pi Qn}{N[k]}}.}$

Быстрый расчет

Прямое вычисление преобразования постоянной добротности происходит медленно по сравнению с быстрое преобразование Фурье (БПФ). Однако можно использовать само БПФ в сочетании с использованием ядро, чтобы выполнить аналогичный расчет, но намного быстрее.^[3] Примерно обратный такой реализации был предложен в 2006 г .; он работает, возвращаясь к DFT, и подходит только для инструментов высоты тона.^[4]

Развитие этого метода с улучшенной инвертируемостью включает выполнение CQT (через БПФ) октавно за октавой с использованием результатов фильтрации нижних частот и субдискретизации для последовательно более низких частот.^[5] Реализации этого метода включают реализацию MATLAB и реализацию Python LibROSA.^[6] LibROSA сочетает в себе метод субдискретизации с прямым методом БПФ (который она называет «псевдо-CQT») за счет того, что последний обрабатывает более высокие частоты в целом.^[6]

Сравнение с преобразованием Фурье

В общем, преобразование хорошо подходит для музыкальных данных, и это можно увидеть в некоторых его преимуществах по сравнению с быстрым преобразованием Фурье. Поскольку выходной сигнал преобразования фактически представляет собой амплитуду / фазу по сравнению с логарифмической частотой, требуется меньшее количество элементов разрешения по частоте для эффективного покрытия заданного диапазона, и это оказывается полезным, когда частоты охватывают несколько октав. Поскольку диапазон человеческого слуха охватывает примерно десять октав от 20 Гц до примерно 20 кГц, такое сокращение выходных данных является значительным.

Преобразование демонстрирует уменьшение разрешения по частоте с увеличением разрешения по частоте, что желательно для слуховых приложений. Преобразование отражает слуховую систему человека, при этом на более низких частотах спектральное разрешение лучше, а временное разрешение улучшается на более высоких частотах. В нижней части шкалы фортепиано (около 30 Гц) разница в 1 полутон соответствует разнице примерно в 1,5 Гц, тогда как в верхней части музыкальной шкалы (около 5 кГц) разница в 1 полутон составляет примерно 200 Гц.^[7] Таким образом, для музыкальных данных идеальным является экспоненциальное частотное разрешение преобразования постоянной добротности.

Кроме того, в этом преобразовании гармоники музыкальных нот образуют образец, характерный для тембра инструмента. Предполагая, что относительная сила каждой гармоники одинакова, при изменении основной частоты относительное положение этих гармоник остается постоянным. Это может значительно упростить идентификацию инструментов. Постоянное Q-преобразование также может использоваться для автоматического распознавания музыкальных клавиш на основе накопленного содержимого цветности.^[8]

По сравнению с преобразованием Фурье, реализация этого преобразования более сложна. Это связано с различным количеством выборок, используемых при вычислении каждого частотного бина, что также влияет на длину любой реализованной оконной функции.^[9]

Также обратите внимание, что, поскольку шкала частот является логарифмической, отсутствует истинный член нулевой частоты / постоянного тока, что в некоторых случаях может быть недостатком.

Рекомендации

1. Джудит С. Браун, Расчет постоянного Q спектрального преобразования, J. Acoust. Soc. Являюсь., 89(1):425–434, 1991.
2. Непрерывное вейвлет-преобразование «Когда материнский вейвлет можно интерпретировать как оконную синусоиду (например, вейвлет Морле), вейвлет-преобразование можно интерпретировать как преобразование Фурье с постоянной добротностью. До появления теории вейвлетов преобразования Фурье с постоянной добротностью (например, полученные из классический блок фильтров третьей октавы) было нелегко инвертировать, потому что базисные сигналы не были ортогональными ».
3. Джудит С. Браун и Миллер С. Пакетт, Эффективный алгоритм вычисления постоянного Q-преобразования, J. Acoust. Soc. Являюсь., 92(5):2698–2701, 1992.
4. Фитцджеральд, Дерри; Cychowski, Marcin T .; Крэнитч, Мэтт (1 мая 2006 г.). «К обратному постоянному Q-преобразованию». Съезд Аудио инженерного общества. Париж: Общество звукорежиссеров. 120.
5. Шёркхубер, Кристиан; Клапури, Ансси (2010). "CONSTANT-Q TRANSFORM TOOLBOX ДЛЯ ОБРАБОТКИ МУЗЫКИ". 7-я конференция по звуку и музыке. Барселона. Получено 12 декабря 2018. бумага
6. Макфи, Брайан; Баттенберг, Эрик; Лостанлен, Винсент; Томе, Карл (12 декабря 2018 г.). "librosa: core / constantq.py на 8d26423". GitHub. либроза. Получено 12 декабря 2018.
7. http://newt.phys.unsw.edu.au/jw/graphics/notes.GIF
8. Хендрик Пурвинс, Бенджамин Бланкерц и Клаус Обермайер, Новый метод отслеживания модуляции тональной музыки в формате аудиоданных, Международная совместная конференция по нейронной сети (IJCNN’00)., 6:270-275, 2000.
9. Бенджамин Бланкерц, Преобразование постоянной Q, 1999.