Вейвлет Морле - Morlet wavelet

Вейвлет Морле с действительным знаком

Комплекснозначный вейвлет Морле

В математика, то Вейвлет Морле (или же Вейвлет Габора)^[1] это вейвлет состоит из комплексная экспонента (перевозчик ), умноженное на Гауссово окно (конверт). Этот вейвлет тесно связан с человеческим восприятием, так как слух^[2] и видение.^[3]

История

В 1946 г. физик Деннис Габор, применяя идеи из квантовая физика, ввел использование синусоид с гауссовым окном для частотно-временного разложения, которое он назвал атомы, которые обеспечивают лучший компромисс между пространственным и частотным разрешением.^[1] Они используются в Преобразование Габора, тип кратковременное преобразование Фурье.^[2] В 1984 г. Жан Морле представил работу Габора сообществу сейсмологов и вместе с Гупийо и Гроссманном изменил ее, чтобы сохранить ту же форму вейвлета на равных интервалах октавы, что привело к первой формализации непрерывное вейвлет-преобразование.^[4] (Смотрите также История вейвлетов )

Определение

Вейвлет определяется как постоянная ${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$ вычитается из плоской волны и затем локализуется Гауссовский окно:^[5]

${\displaystyle \Psi _{\sigma }(t)=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}(e^{i\sigma t}-\kappa _{\sigma })}$

где ${\displaystyle \kappa _{\sigma }=e^{-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}}}$ определяется критерием допустимости, а нормировочная константа ${\displaystyle c_{\sigma }}$ является:

${\displaystyle c_{\sigma }=\left(1+e^{-\sigma ^{2}}-2e^{-{\frac {3}{4}}\sigma ^{2}}\right)^{-{\frac {1}{2}}}}$

В преобразование Фурье вейвлета Морле:

${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )=c_{\sigma }\pi ^{-{\frac {1}{4}}}\left(e^{-{\frac {1}{2}}(\sigma -\omega )^{2}}-\kappa _{\sigma }e^{-{\frac {1}{2}}\omega ^{2}}\right)}$

«Центральная частота» ${\displaystyle \omega _{\Psi }}$ положение глобального максимума ${\displaystyle {\hat {\Psi }}_{\sigma }(\omega )}$ что в данном случае дается положительным решением:

${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma {\frac {1}{1-e^{-\sigma \omega _{\Psi }}}}}$^{[нужна цитата ]}

который может быть решен итерация с фиксированной точкой начинается с ${\displaystyle \omega _{\Psi }=\sigma }$ (итерации с фиксированной точкой сходятся к единственному положительному решению для любого начального ${\displaystyle \omega _{\Psi }>0}$)^{[нужна цитата ]}.

Параметр ${\displaystyle \sigma }$ вейвлет Морле позволяет торговать между временным и частотным разрешениями. Условно ограничение ${\displaystyle \sigma >5}$ используется, чтобы избежать проблем с вейвлетом Морле при низких ${\displaystyle \sigma }$ (высокое временное разрешение)^{[нужна цитата ]}.

Для сигналов, содержащих только медленно изменяющиеся частотные и амплитудные модуляции (например, аудио), нет необходимости использовать небольшие значения ${\displaystyle \sigma }$. В этом случае, ${\displaystyle \kappa _{\sigma }}$ становится очень маленьким (например, ${\displaystyle \sigma >5\quad \Rightarrow \quad \kappa _{\sigma }<10^{-5}\,}$), поэтому им часто пренебрегают. Под ограничением ${\displaystyle \sigma >5}$, частота вейвлета Морле условно принимается равной ${\displaystyle \omega _{\Psi }\simeq \sigma }$^{[нужна цитата ]}.

Вейвлет существует как сложная версия или версия с чисто действительным знаком. Некоторые проводят различие между «настоящим Морле» и «сложным Морле».^[6] Другие считают, что комплексная версия - это «вейвлет Габора», а версия с действительным знаком - «вейвлет Морле».^[7][8]

Использует

Использование в медицине

Представленный метод вейвлет-преобразования Морле предлагает интуитивно понятный мост между информацией о частоте и времени, который может уточнить интерпретацию сложных спектров травм головы, полученных с помощью преобразование Фурье. Вейвлет-преобразование Морле, однако, не предназначено как замена преобразования Фурье, а скорее как дополнение, которое обеспечивает качественный доступ к изменениям, связанным со временем, и использует преимущества множества измерений, доступных в спад свободной индукции анализ.^[9]

Применение вейвлет-анализа Морле также используется для распознавания аномального поведения сердцебиения на электрокардиограмме (ЭКГ). Поскольку изменение аномального сердцебиения является нестационарным сигналом, этот сигнал подходит для анализа на основе вейвлетов.

Использование в музыке

К транскрипции музыки применяется метод вейвлет-преобразования Морле. Он дает очень точные результаты, которые были невозможны с использованием методов преобразования Фурье. Вейвлет-преобразование Морле способно захватывать короткие серии повторяющихся и чередующихся музыкальных нот с четким временем начала и окончания для каждой ноты.^{[нужна цитата ]}

Смотрите также

• Constant-Q преобразование
• Вейвлет Габора

Рекомендации

1. Первичный набросок Габора в реальном времени для визуального внимания «Ядро Габора удовлетворяет условию допустимости для вейвлетов, поэтому подходит для анализа с несколькими разрешениями. Помимо масштабного коэффициента, оно также известно как вейвлет Морле».
2. Частотно-временные словари, Маллат
3. Дж. Г. Даугман. Отношение неопределенности для разрешения в пространстве, пространственной частоты и ориентации, оптимизированных двумерными визуальными кортикальными фильтрами. Журнал Оптического общества Америки A, 2 (7): 1160–1169, июль 1985.
4. http://rocksolidimages.com/pdf/gabor.pdf
5. Джон Эшмид (2012). "Вейвлеты Морле в квантовой механике". Quanta. 1 (1): 58–70. arXiv:1001.0250. Дои:10.12743 / Quanta.v1i1.5.
6. "Семейства вейвлетов Matlab". В архиве из оригинала от 10.08.2019.
7. Документация по Mathematica: GaborWavelet
8. Документация по Mathematica: MorletWavelet
9. http://cds.ismrm.org/ismrm-2001/PDF3/0822.pdf

• П. Гупийо, А. Гроссман и Ж. Морле. Цикл-октава и связанные с ними преобразования в анализе сейсмических сигналов. Георазведка, 23: 85-102, 1984
• Н. Дельпра, Б. Эскудье, П. Гиймен, Р. Кронланд-Мартине, П. Чамитчиан и Б. Торресани. Асимптотический вейвлет и анализ Габора: извлечение мгновенных частот. IEEE Trans. Инф. Th., 38: 644-664, 1992.