Непрерывные полиномы Хана - Continuous Hahn polynomials

В математике непрерывные многочлены Хана семья ортогональные многочлены в Схема Askey гипергеометрических ортогональных многочленов. Они определены с точки зрения обобщенные гипергеометрические функции от

${\displaystyle p_{n}(x;a,b,c,d)=i^{n}{\frac {(a+c)_{n}(a+d)_{n}}{n!}}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,n+a+b+c+d-1,a+ix\\a+c,a+d\end{array}};1\right)}$

Рулоф Коэкоек, Питер А. Лески и Рене Ф. Свартту (2010, 14) дают подробный перечень их свойств.

Близко связанные многочлены включают двойственные многочлены Хана р_п(Икс; γ, δ,N), Многочлены Хана Q_п(Икс;а,б,c), а непрерывные двойственные многочлены Хана S_п(Икс;а,б,c). Все эти многочлены имеют q-аналоги с дополнительным параметром q, такой как полиномы q-Хана Q_п(Икс; α, β, N;q), и так далее.

Ортогональность

Непрерывные многочлены Хана п_п(Икс;а,б,c,d) ортогональны относительно весовой функции

${\displaystyle w(x)=\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix).}$

В частности, они удовлетворяют соотношению ортогональности^[1][2][3]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{m}(x;a,b,c,d)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\,dx\\&\qquad \qquad ={\frac {\Gamma (n+a+c)\,\Gamma (n+a+d)\,\Gamma (n+b+c)\,\Gamma (n+b+d)}{n!(2n+a+b+c+d-1)\,\Gamma (n+a+b+c+d-1)}}\,\delta _{nm}\end{aligned}}}$

для ${\displaystyle \Re (a)>0}$, ${\displaystyle \Re (b)>0}$, ${\displaystyle \Re (c)>0}$, ${\displaystyle \Re (d)>0}$, ${\displaystyle c={\overline {a}}}$, ${\displaystyle d={\overline {b}}}$.

Повторяемость и разностные отношения

Последовательность непрерывных многочленов Хана удовлетворяет рекуррентному соотношению^[4]

${\displaystyle xp_{n}(x)=p_{n+1}(x)+i(A_{n}+C_{n})p_{n}(x)-A_{n-1}C_{n}p_{n-1}(x),}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{where}}\quad &p_{n}(x)={\frac {n!(n+a+b+c+d-1)!}{(2n+a+b+c+d-1)!}}p_{n}(x;a,b,c,d),\\&A_{n}=-{\frac {(n+a+b+c+d-1)(n+a+c)(n+a+d)}{(2n+a+b+c+d-1)(2n+a+b+c+d)}},\\{\text{and}}\quad &C_{n}={\frac {n(n+b+c-1)(n+b+d-1)}{(2n+a+b+c+d-2)(2n+a+b+c+d-1)}}.\end{aligned}}}$

Формула Родригеса

Непрерывные многочлены Хана задаются формулой, подобной Родригесу^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\Gamma (a+ix)\,\Gamma (b+ix)\,\Gamma (c-ix)\,\Gamma (d-ix)\,p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(\Gamma \left(a+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(b+{\frac {n}{2}}+ix\right)\,\Gamma \left(c+{\frac {n}{2}}-ix\right)\,\Gamma \left(d+{\frac {n}{2}}-ix\right)\right).\end{aligned}}}$

Производящие функции

Непрерывные многочлены Хана имеют следующую производящую функцию:^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (n+a+b+c+d)\,\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (a+d+1)}{\Gamma (a+b+c+d)\,\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+a+d+1)}}(-it)^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)\\&\qquad =(1-t)^{1-a-b-c-d}{}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}(a+b+c+d-1),{\frac {1}{2}}(a+b+c+d),a+ix\\a+c,a+d\end{array}};-{\frac {4t}{(1-t)^{2}}}\right).\end{aligned}}}$

Вторая, отличная производящая функция задается формулой

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (a+c+1)\,\Gamma (b+d+1)}{\Gamma (n+a+c+1)\,\Gamma (n+b+d+1)}}t^{n}p_{n}(x;a,b,c,d)=\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}a+ix\\a+c\end{array}};-it\right)\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}d-ix\\b+d\end{array}};it\right).}$

Связь с другими многочленами

• В Многочлены Вильсона являются обобщением непрерывных многочленов Хана.
• В Полиномы Бейтмана F_п(x) относятся к частному случаю а=б=c=d= 1/2 непрерывных многочленов Хана формулой

${\displaystyle p_{n}\left(x;{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)=i^{n}n!F_{n}\left(2ix\right).}$

• В Многочлены Якоби п_п^{(α, β)}(x) можно получить как предельный случай непрерывных многочленов Хана:^[7]

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\lim _{t\to \infty }t^{-n}p_{n}\left({\tfrac {1}{2}}xt;{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1-it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\alpha +1+it),{\tfrac {1}{2}}(\beta +1-it)\right).}$

использованная литература

1. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 200.
2. Аски, Р. (1985), "Непрерывные многочлены Хана", J. Phys. A: Математика. Gen. 18: стр. L1017-L1019.
3. Эндрюс, Аски и Рой (1999), стр. 333.
4. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 201.
5. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 202.
6. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 202.
7. Коэкоек, Лески и Сварттоу (2010), стр. 203.

• Хан, Вольфганг (1949), "Über Orthogonalpolynome, die q-Differenzengleichungen genügen", Mathematische Nachrichten, 2: 4–34, Дои:10.1002 / мана.19490020103, ISSN  0025-584X, Г-Н  0030647
• Коэкоек, Рулоф; Лески, Питер А .; Сварттоу, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные многочлены и их q-аналоги, Springer Monographs in Mathematics, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, Дои:10.1007/978-3-642-05014-5, ISBN  978-3-642-05013-8, Г-Н  2656096
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick S.C .; Коэкоек, Рулоф; Сварттоу, Рене Ф. (2010), «Класс Хан: определения», в Олвер, Фрэнк В. Дж.; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5, Г-Н  2723248
• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард; Рой, Ранджан (1999), Специальные функции, Энциклопедия математики и ее приложений 71, Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-62321-6