Выпуклая кривая - Convex curve

Не путать с Выпуклая функция.
Выпуклая кривая - это граница выпуклый набор.
А парабола, простой пример выпуклой кривой

В геометрия, а выпуклая кривая это простой кривая в Евклидова плоскость который полностью лежит на одной стороне каждого из его касательные линии.

В граница из выпуклый набор всегда выпуклая кривая.

Определения

Определение опорными линиями

Любая прямая линия L делит евклидову плоскость на две полупланы объединение которых представляет собой всю плоскость, а пересечение - L . Мы говорим, что кривая C "лежит на одной стороне L«если она целиком содержится в одной из полуплоскостей. Плоская кривая называется выпуклый если он лежит по одну сторону от каждой своей касательной.[1] Другими словами, выпуклая кривая - это кривая, имеющая поддерживающая линия через каждую из его точек.

Определение выпуклыми множествами

Выпуклую кривую можно определить как граница из выпуклый набор в Евклидова плоскость. Это определение более ограничительно, чем определение касательных линий; в частности, с этим определением выпуклая кривая не может иметь концов.[2]

Иногда используется более широкое определение, в котором выпуклая кривая - это кривая, образующая подмножество границы выпуклого множества. Для этого варианта выпуклая кривая может иметь конечные точки.

Строго выпуклая кривая

А строго выпуклая кривая - выпуклая кривая, не содержащая никаких отрезки линии. Эквивалентно, строго выпуклая кривая - это кривая, которая пересекает любую прямую не более чем в двух точках,[3][4] или простая кривая в выпуклое положение, что означает, что ни одна из его точек не является выпуклое сочетание любого другого подмножества его точек.

Свойства

Каждая выпуклая кривая, являющаяся границей замкнутого выпуклого множества, имеет корректно определенную конечную длина. То есть эти кривые являются подмножеством выпрямляемые кривые.[2]

Согласно теорема о четырех вершинах, каждые гладкий; плавный выпуклая кривая, являющаяся границей замкнутого выпуклого множества, имеет не менее четырех вершины, точки, которые являются локальными минимумами или локальными максимумами кривизна.[4][5]

Параллельные касательные

Кривая C выпукла тогда и только тогда, когда нет трех разных точек в C такие, что касательные в этих точках параллельны.

Доказательство:

⇒ Если есть три параллельных касательных, то одна из них, скажем L, должно быть между двумя другими. Это значит, что C лежит по обе стороны от L, поэтому он не может быть выпуклым.

⇐ Если C невыпукло, то по определению существует точка п на C такая, что касательная в точке п (назови это L) имеет C по обе стороны от него. поскольку C замкнуто, если проследить часть C что лежит по одну сторону от L в конце концов мы попадаем в точку q1 который дальше всего от L.[1] Касательная к C в q1 (назови это L1) должен быть параллелен L. То же самое и с другой стороны L - есть смысл q2 и касательная L2 что параллельно L. Таким образом, есть три разных точки: {п,q1,q2}, так что их касательные параллельны.

Монотонность угла поворота

Кривая называется просто если не пересекает себя. Замкнутая регулярная плоская простая кривая C выпуклый если и только если его кривизна либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно, т. е. тогда и только тогда, когда угол поворота (угол касательной к кривой) является слабо монотонной функцией параметризации кривой.[6]

Доказательство:

⇐ Если C не выпукло, то по лемма о параллельных касательных есть три точки {п,q1,q2} такие, что касательные в этих точках параллельны. По крайней мере, два должны иметь касательные со знаком, указывающие в одном направлении. Не теряя общий смысл, предположим, что эти точки q1 и q2. Это означает, что разница в угле поворота при движении от q1 к q2 делится на 2π. Есть две возможности:

  • Отличие угла поворота от q1 к q2 равен 0. Тогда, если угол поворота будет монотонной функцией, он должен быть постоянным между q1 и q2, так что кривая между этими двумя линиями должна быть прямой. Но это означало бы, что две касательные линии L1 и L2 одна и та же линия - противоречие.
  • Отличие угла поворота от q1 к q2 ненулевое кратное 2π. Поскольку кривая простая (не пересекает саму себя), все изменение угла поворота вокруг кривой должно быть именно так 2π.[7] Это означает, что разница в угле поворота от q2 к q1 должно быть 0, поэтому по тем же рассуждениям, что и раньше, мы приходим к противоречию.

Таким образом, мы доказали, что если C не является выпуклым, угол поворота не может быть монотонной функцией.

⇒ Предположим, что угол поворота не монотонный. Тогда мы можем найти три точки на кривой, s1<s0<s2, такой, что угол поворота при s1 и s2 такой же и отличается от угла поворота при s0. На простой замкнутой кривой покрываются все углы поворота. В частности, есть пункт s3 в котором угол поворота минус угол поворота при s1. Теперь у нас есть три точки, {s1,s2,s3}, угол поворота которого кратен π. Есть две возможности:

  • Если касательные в этих трех точках различны, то они параллельны, и лемма о параллельных касательных, C не выпуклый.
  • В противном случае есть две различные точки C, сказать п и q, лежащих на одной касательной, L. Есть два подслучая:
    • Если L не содержится в C, затем рассмотрим прямую, перпендикулярную L в определенный момент р, что не является предметом C. Эта перпендикулярная линия пересекает C в двух точках, скажем r1 и r2. Касательная к C в r1 имеет хотя бы одну из точек {п,q,r2} с каждой стороны, поэтому C не выпуклый.
    • Если L содержится в C, то две точки п и q имеют одинаковый угол поворота, поэтому они должны быть s1 и s2. Но это противоречит предположению о существовании точки s0 между s1 и s2 с другим углом поворота.

Таким образом, мы доказали, что если угол поворота не монотонный, кривая не может быть выпуклой.

Связанные фигуры

Гладкий; плавный выпуклые кривые с ось симметрии иногда может называться овалы.[8] Однако в конечном итоге проективная геометрия, овалы вместо этого определяются как множества, для которых каждая точка имеет уникальную линию, не пересекающуюся с остальной частью множества, свойство, которое в евклидовой геометрии верно для гладких строго выпуклых замкнутых кривых.

Смотрите также

использованная литература

  1. ^ а б Грей, Альфред (1998). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в системе Mathematica. Бока-Ратон: CRC Press. п. 163. ISBN  0849371643.
  2. ^ а б Топоногов Виктор Андреевич (2006), Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей: краткое руководство, Springer, стр. 15, ISBN  9780817643843.
  3. ^ Гирко, Вячеслав Л. (1975), Спектральная теория случайных матриц, Academic Press, стр. 352, ISBN  9780080873213.
  4. ^ а б Бэр, Кристиан (2010), Элементарная дифференциальная геометрия, Cambridge University Press, стр. 49, ISBN  9780521896719.
  5. ^ DeTruck, D .; Gluck, H .; Pomerleano, D .; Вик, Д.С. (2007), «Теорема о четырех вершинах и обратное» (PDF), Уведомления Американского математического общества, 54 (2): 9268, arXiv:математика / 0609268, Bibcode:2006математика ...... 9268D.
  6. ^ Грей, Альфред (1998). Современная дифференциальная геометрия кривых и поверхностей в системе Mathematica. Бока-Ратон: CRC Press. С. 163–165. ISBN  0849371643.
  7. ^ Это по теореме Хайнц Хопф: число поворота простой замкнутой плоской кривой равно +1 или -1.
  8. ^ Шварцман, Стивен (1994), The Words of Mathematics: этимологический словарь математических терминов, используемых на английском языке, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр.156, ISBN  9780883855119.