Выпуклая мера - Convex measure - Wikipedia

В мера и теория вероятности в математика, а выпуклая мера это вероятностная мера что - грубо говоря - не придает большей массы промежуточному набору «между» двумя измеримые множества А и B чем это делает А или же B индивидуально. Существует несколько способов сравнения вероятностей А и B и может быть составлен промежуточный набор, что приведет к множественным определениям выпуклости, таким как бревенчатая вогнутость, гармоническая выпуклость, и так далее. В математик Кристер Борелл был пионером детального изучения выпуклых мер на локально выпуклые пространства в 1970-е гг.^[1][2]

Общее определение и частные случаи

Позволять Икс быть локально выпуклый Хаусдорф векторное пространство, и рассмотрим вероятностную меру μ на Борель σ-алгебра из Икс. Зафиксируем −∞ ≤ s ≤ 0, и определим для ты, v ≥ 0 и 0 ≤ λ ≤ 1,

${\displaystyle M_{s,\lambda }(u,v)={\begin{cases}(\lambda u^{s}+(1-\lambda )v^{s})^{1/s}&{\text{if }}-\infty <s<0,\\\min(u,v)&{\text{if }}s=-\infty ,\\u^{\lambda }v^{1-\lambda }&{\text{if }}s=0.\end{cases}}}$

Для подмножеств А и B из Икс, мы пишем

${\displaystyle \lambda A+(1-\lambda )B=\{\lambda x+(1-\lambda )y\mid x\in A,y\in B\}}$

для них Сумма Минковского. В этих обозначениях мера μ как говорят s-выпуклый^[1] если для всех измеримых по Борелю подмножеств А и B из Икс и все 0 ≤ λ ≤ 1,

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq M_{s,\lambda }(\mu (A),\mu (B)).}$

Особый случай s = 0 - неравенство

${\displaystyle \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \mu (A)^{\lambda }\mu (B)^{1-\lambda },}$

т.е.

${\displaystyle \log \mu (\lambda A+(1-\lambda )B)\geq \lambda \log \mu (A)+(1-\lambda )\log \mu (B).}$

Таким образом, 0-выпуклая мера - это то же самое, что быть логарифмически вогнутая мера.

Характеристики

Классы s-выпуклые меры образуют вложенное возрастающее семейство как s уменьшается до −∞ "

${\displaystyle s\leq t{\text{ and }}\mu {\text{ is }}t{\text{-convex}}\implies \mu {\text{ is }}s{\text{-convex}}}$

или, что то же самое

${\displaystyle s\leq t\implies \{s{\text{-convex measures}}\}\supseteq \{t{\text{-convex measures}}\}.}$

Таким образом, набор −∞-выпуклых мер является самым большим из таких классов, тогда как 0-выпуклые меры (логарифмически вогнутые меры) являются наименьшим классом.

Выпуклость меры μ на п-размерный Евклидово пространство р^п в указанном выше смысле тесно связана с выпуклостью ее функция плотности вероятности.^[2] В самом деле, μ является s-выпуклый тогда и только тогда, когда есть абсолютно непрерывная мера ν с функцией плотности вероятности ρ на некоторых р^k так что μ это продвигать на ν под линейная или аффинная карта и ${\displaystyle e_{s,k}\circ \rho \colon \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} }$ это выпуклая функция, куда

${\displaystyle e_{s,k}(t)={\begin{cases}t^{s/(1-sk)}&{\text{if }}-\infty <s<0\\t^{-1/k}&{\text{if }}s=-\infty ,\\-\log t&{\text{if }}s=0.\end{cases}}}$

Выпуклые меры также удовлетворяют закон нуля или единицы: если грамм является измеримой аддитивной подгруппой векторного пространства Икс (т. е. измеримое линейное подпространство), то внутренняя мера из грамм под μ,

${\displaystyle \mu _{\ast }(G)=\sup\{\mu (K)\mid K\subseteq G{\text{ and }}K{\text{ is compact}}\},}$

должно быть 0 или 1. (В случае, если μ это Радоновая мера, и поэтому внутренний регулярный, мера μ и его внутренняя мера совпадают, поэтому μ-Мера грамм тогда 0 или 1.)^[1]

Рекомендации

1. Борелл, Кристер (1974). «Выпуклые меры на локально выпуклых пространствах». Ковчег Мат. 12 (1–2): 239–252. Дои:10.1007 / BF02384761. ISSN  0004-2080.
2. Борелл, Кристер (1975). "Выпуклые множества функций в d-Космос". Период. Математика. Hungar. 6 (2): 111–136. Дои:10.1007 / BF02018814. ISSN  0031-5303.