Логарифмически вогнутая мера - Logarithmically concave measure

В математика, а Мера Бореля μ на п-размерный Евклидово пространство ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ называется логарифмически вогнутый (или же бревенчатый для краткости) если для любого компактные подмножества А и B из ${displaystyle mathbb {R} ^{n}}$ и 0 <λ <1, есть

${displaystyle mu (lambda A+(1-lambda )B)geq mu (A)^{lambda }mu (B)^{1-lambda },}$

куда λ А + (1 − λ) B обозначает Сумма Минковского из λ А и (1 -λ) B.^[1]

Примеры

В Неравенство Брунна – Минковского. утверждает, что Мера Лебега бревенчато-вогнутый. Ограничение меры Лебега на любую выпуклый набор также является бревенчато-вогнутым.

По теореме Борелла^[2] мера является лог-вогнутой тогда и только тогда, когда она имеет плотность относительно меры Лебега на некоторой аффинной гиперплоскости, и эта плотность является логарифмически вогнутая функция. Таким образом, любой Гауссова мера бревенчато-вогнутый.

В Неравенство Прекопы – Лейндлера показывает, что свертка бревенчато-вогнутых мер является лог-вогнутым.

Смотрите также

• Выпуклая мера, обобщение этой концепции
• Логарифмически вогнутая функция

Рекомендации

1. Прекопа, А. (1980). «Логарифмические вогнутые меры и связанные темы». Стохастическое программирование (Proc. Internat. Conf., Univ. Oxford, Oxford, 1974). Лондон-Нью-Йорк: Academic Press. С. 63–82. МИСТЕР  0592596.
2. Борелл, К. (1975). "Выпуклые множества функций в d-Космос". Период. Математика. Hungar. 6 (2): 111–136. Дои:10.1007 / BF02018814. МИСТЕР  0404559.