Кросс-спектр - Cross-spectrum - Wikipedia

В анализ временных рядов, то перекрестный спектр используется как часть частотная область анализ взаимная корреляция или же кросс-ковариация между двумя временными рядами.

Определение

Позволять ${\displaystyle (X_{t},Y_{t})}$ представляют собой пару случайные процессы которые совместно стационарный в широком смысле с автоковариация функции ${\displaystyle \gamma _{xx}}$ и ${\displaystyle \gamma _{yy}}$ и кросс-ковариация функция ${\displaystyle \gamma _{xy}}$. Затем перекрестный спектр ${\displaystyle \Gamma _{xy}}$ определяется как преобразование Фурье из ${\displaystyle \gamma _{xy}}$ ^[1]

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)={\mathcal {F}}\{\gamma _{xy}\}(f)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\,\gamma _{xy}(\tau )\,e^{-2\,\pi \,i\,\tau \,f},}$

куда

${\displaystyle \gamma _{xy}(\tau )=\operatorname {E} [(x_{t}-\mu _{x})(y_{t+\tau }-\mu _{y})]}$ .

Перекрестный спектр имеет представления в виде разложения на (i) его действительную часть (ко-спектр) и (ii) его мнимую часть (квадратурный спектр).

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=\Lambda _{xy}(f)+i\Psi _{xy}(f),}$

и (ii) в полярных координатах

${\displaystyle \Gamma _{xy}(f)=A_{xy}(f)\,e^{i\phi _{xy}(f)}.}$

Здесь амплитудный спектр ${\displaystyle A_{xy}}$ дан кем-то

${\displaystyle A_{xy}(f)=(\Lambda _{xy}(f)^{2}+\Psi _{xy}(f)^{2})^{\frac {1}{2}},}$

и фазовый спектр ${\displaystyle \Phi _{xy}}$ дан кем-то

${\displaystyle {\begin{cases}\tan ^{-1}(\Psi _{xy}(f)/\Lambda _{xy}(f))&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)\neq 0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)\neq 0\\0&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)>0\\\pm \pi &{\text{if }}\Psi _{xy}(f)=0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)<0\\\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)>0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\-\pi /2&{\text{if }}\Psi _{xy}(f)<0{\text{ and }}\Lambda _{xy}(f)=0\\\end{cases}}}$

Квадратный спектр когерентности

Квадрат спектр когерентности дан кем-то

${\displaystyle \kappa _{xy}(f)={\frac {A_{xy}^{2}}{\Gamma _{xx}(f)\Gamma _{yy}(f)}},}$

выражающий амплитудный спектр в безразмерных единицах.

Смотрите также

• Взаимная корреляция
• Спектр мощности
• Масштабированная корреляция

Рекомендации

1. von Storch, H .; Ф. В. Цвиерс (2001). Статистический анализ в исследованиях климата. Cambridge Univ Pr. ISBN  0-521-01230-9.