Уравнение Дегаспериса – Прочези - Degasperis–Procesi equation - Wikipedia

В математическая физика, то Уравнение Дегаспериса – Прочези

${\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+4uu_{x}=3u_{x}u_{xx}+uu_{xxx}}$

один из двух точно решаемый уравнения в следующем семействе треть-порядок, нелинейный, дисперсионные PDE:

${\displaystyle \displaystyle u_{t}-u_{xxt}+2\kappa u_{x}+(b+1)uu_{x}=bu_{x}u_{xx}+uu_{xxx},}$

куда ${\displaystyle \kappa }$ и б реальные параметры (б= 3 для уравнения Дегаспериса – Прочези). Это было обнаружено Дегасперисом и Прочези в поисках интегрируемые уравнения по форме похож на Уравнение Камассы – Холма, которое является другим интегрируемым уравнением в этом семействе (соответствует б= 2); То, что эти два уравнения являются единственными интегрируемыми случаями, было проверено с помощью множества различных тестов на интегрируемость.^[1] Хотя оно было открыто исключительно благодаря своим математическим свойствам, уравнение Дегаспери-Прочези (с ${\displaystyle \kappa >0}$) позже было обнаружено, что он играет аналогичную роль в волна воды теория как уравнение Камассы – Холма.^[2]

Солитонные решения

Основная статья: Пикон

Среди решений уравнения Дегаспериса – Прочези (в частном случае ${\displaystyle \kappa =0}$) являются так называемыми многопикон решения, которые являются функциями вида

${\displaystyle \displaystyle u(x,t)=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(t)e^{-|x-x_{i}(t)|}}$

где функции ${\displaystyle m_{i}}$ и ${\displaystyle x_{i}}$ удовлетворить^[3]

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}=\sum _{j=1}^{n}m_{j}e^{-|x_{i}-x_{j}|},\qquad {\dot {m}}_{i}=2m_{i}\sum _{j=1}^{n}m_{j}\,\operatorname {sgn} {(x_{i}-x_{j})}e^{-|x_{i}-x_{j}|}.}$

Эти ODE можно явно решить в терминах элементарных функций, используя обратные спектральные методы.^[4]

Когда ${\displaystyle \kappa >0}$ то солитон решения уравнения Дегаспериса – Прочези гладкие; они сходятся к пиконам в пределе как ${\displaystyle \kappa }$ стремится к нулю.^[5]

Прерывистые решения

Уравнение Дегаспериса – Прочези (с ${\displaystyle \kappa =0}$) формально эквивалентен (нелокальному) гиперболический закон сохранения

${\displaystyle \partial _{t}u+\partial _{x}\left[{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {G}{2}}*{\frac {3u^{2}}{2}}\right]=0,}$

куда ${\displaystyle G(x)=\exp(-|x|)}$, а звездочка означает свертка относительно ИксВ этой постановке он допускает слабые решения с очень низкой степенью регулярности, даже прерывистые (ударные волны ).^[6] Напротив, соответствующая формулировка уравнения Камассы – Холма содержит свертку, включающую как ${\displaystyle u^{2}}$ и ${\displaystyle u_{x}^{2}}$, что имеет смысл, только если ты лежит в Соболевское пространство ${\displaystyle H^{1}=W^{1,2}}$ относительно Икс. Посредством Теорема вложения Соболева, это, в частности, означает, что слабые решения уравнения Камассы – Холма должны быть непрерывными относительно Икс.

Примечания

1. Degasperis & Procesi 1999; Дегасперис, Холм и Хон, 2002; Михайлов и Новиков 2002; Хон и Ван 2003; Иванов 2005
2. Джонсон 2003; Дуллин, Готвальд и Холм 2004; Константин и Ланн 2007; Иванов 2007
3. Дегасперис, Холм и Хон 2002
4. Лундмарк и Шмигельски 2003, 2005
5. Мацуно 2005a, 2005b
6. Coclite & Karlsen 2006, 2007; Lundmark 2007; Эшер, Лю и Инь 2007

Рекомендации

• Коклит, Джузеппе Мария; Карлсен, Кеннет Хвистендал (2006), «О корректности уравнения Дегаспериса – Прочези» (PDF), J. Funct. Анальный., 233 (1), стр. 60–91, Дои:10.1016 / j.jfa.2005.07.008^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Коклит, Джузеппе Мария; Карлсен, Кеннет Хвистендал (2007), «О единственности разрывных решений уравнения Дегаспериса – Прочези» (PDF), J. Дифференциальные уравнения, 234 (1), стр. 142–160, Bibcode:2007JDE ... 234..142C, Дои:10.1016 / j.jde.2006.11.008^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Константин, Адриан; Ланн, Дэвид (2007), "Гидродинамическая значимость уравнений Камассы – Холма и Дегаспери – Прочези", Архив рациональной механики и анализа, 192 (1): 165–186, arXiv:0709.0905, Bibcode:2009ArRMA.192..165C, Дои:10.1007 / s00205-008-0128-2
• Дегасперис, Антонио; Холм, Дэррил Д .; Хоун, Эндрю Н. В. (2002), "Новое интегрируемое уравнение с пиконными решениями", Теорет. И математика. Phys., 133 (2), стр. 1463–1474, arXiv:nlin.SI/0205023, Дои:10.1023 / А: 1021186408422
• Дегасперис, Антонио; Прочези, Микела (1999), «Асимптотическая интегрируемость» в Дегасперисе, Антонио; Гаэта, Джузеппе (ред.), Симметрия и теория возмущений (Рим, 1998 г.), River Edge, NJ: World Scientific, стр. 23–37.
• Дуллин, Хольгер Р .; Готвальд, Георг А .; Холм, Дэррил Д. (2004), "Об асимптотически эквивалентных волновых уравнениях мелкой воды", Physica D, 190 (1–2), стр. 1–14, arXiv:nlin.PS/0307011, Bibcode:2004PhyD..190 .... 1D, Дои:10.1016 / j.physd.2003.11.004
• Эшер, Иоахим; Лю, Юэ; Инь, Чжаоян (2007), «Ударные волны и явления обострения для периодического уравнения Дегаспериса – Прочези», Indiana Univ. Математика. Дж., 56 (1), стр. 87–117, Дои:10.1512 / iumj.2007.56.3040
• Хон, Эндрю Н. В .; Ван, Цзин Пинг (2003), "Алгебры продолжения и гамильтоновы операторы для пиконных уравнений", Обратные задачи, 19 (1), стр. 129–145, Bibcode:2003InvPr..19..129H, Дои:10.1088/0266-5611/19/1/307
• Иванов, Россен (2005), "Об интегрируемости одного класса нелинейных дисперсионных волновых уравнений", J. Nonlin. Математика. Phys., 12 (4), стр. 462–468, arXiv:nlin / 0606046, Bibcode:2005JNMP ... 12..462R, Дои:10.2991 / jnmp.2005.12.4.2
• Иванов, Россен (2007), "Волны на воде и интегрируемость", Фил. Пер. R. Soc. А, 365 (1858), стр. 2267–2280, arXiv:0707.1839, Bibcode:2007RSPTA.365.2267I, Дои:10.1098 / rsta.2007.2007
• Джонсон, Робин С. (2003), "Классическая проблема волн на воде: резервуар интегрируемых и почти интегрируемых уравнений", J. Nonlin. Математика. Phys., 10 (Приложение 1), стр. 72–92, Bibcode:2003JNMP ... 10S..72J, Дои:10.2991 / jnmp.2003.10.s1.6
• Лундмарк, Ганс (2007), «Формирование и динамика ударных волн в уравнении Дегаспериса – Прочези», J. Nonlinear Sci., 17 (3), стр. 169–198, Bibcode:2007JNS .... 17..169л, Дои:10.1007 / s00332-006-0803-3
• Лундмарк, Ганс; Шмигельски, Яцек (2003), "Многопиконные решения уравнения Дегаспериса – Прочези", Обратные задачи, 19 (6), стр. 1241–1245, arXiv:nlin.SI/0503033, Bibcode:2003InvPr..19.1241L, Дои:10.1088/0266-5611/19/6/001
• Лундмарк, Ганс; Шмигельски, Яцек (2005), "Пиконы Дегаспериса – Прочези и дискретная кубическая струна", Междунар. Математика. Res. Статьи, 2005 (2), стр. 53–116, arXiv:nlin.SI/0503036, Дои:10.1155 / IMRP.2005.53
• Мацуно, Йошимаса (2005a), "Многосолитонные решения уравнения Дегаспериса – Прочези и их пиконный предел", Обратные задачи, 21 (5), стр. 1553–1570, arXiv:nlin / 0511029, Bibcode:2005InvPr..21.1553M, Дои:10.1088/0266-5611/21/5/004
• Мацуно, Йошимаса (2005b), "The N-солитонное решение уравнения Дегаспериса – Прочези », Обратные задачи, 21 (6), стр. 2085–2101, arXiv:nlin.SI/0511029, Bibcode:2005InvPr..21.2085M, Дои:10.1088/0266-5611/21/6/018
• Михайлов, Александр В .; Новиков, Владимир С. (2002), "Подход пертурбативной симметрии", J. Phys. A: Математика. Gen., 35 (22), стр. 4775–4790, arXiv:nlin.SI/0203055v1, Bibcode:2002JPhA ... 35.4775M, Дои:10.1088/0305-4470/35/22/309
• Ляо, С.Дж. (2013), «Действительно ли существуют пиковые уединенные волны на воде?», Коммуникации в нелинейной науке и численном моделировании, 19 (6): 1792–1821, arXiv:1204.3354, Bibcode:2014CNSNS..19.1792L, Дои:10.1016 / j.cnsns.2013.09.042

дальнейшее чтение

• Коклит, Джузеппе Мария; Карлсен, Кеннет Хвистендал; Райзебро, Нильс Хенрик (2008), «Численные схемы для вычисления разрывных решений уравнения Дегаспериса – Прочези» (PDF), IMA J. Numer. Анальный., 28 (1), стр. 80–105, CiteSeerX  10.1.1.230.4799, Дои:10.1093 / imanum / drm003^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Эшер, Иоахим (2007), "Обрушение волн и ударные волны для периодического уравнения мелкой воды", Фил. Пер. R. Soc. А, 365 (1858), стр. 2281–2289, Bibcode:2007RSPTA.365.2281E, Дои:10.1098 / rsta.2007.2008
• Эшер, Иоахим; Лю, Юэ; Инь, Чжаоян (2006), "Глобальные слабые решения и структура разрушения для уравнения Дегаспериса – Прочези", J. Funct. Анальный., 241 (2), стр. 457–485, Дои:10.1016 / j.jfa.2006.03.022
• Эшер, Иоахим; Инь, Чжаоян (2007), "О начально-краевых задачах для уравнения Дегаспериса – Прочези", Phys. Lett. А, 368 (1–2), стр. 69–76, Bibcode:2007ФЛА..368 ... 69Э, Дои:10.1016 / j.physleta.2007.03.073
• Гуха, Парта (2007), "Формализм Эйлера – Пуанкаре (двухкомпонентных) систем типа Дегаспери – Прочези и Холма – Стейли", J. Nonlin. Математика. Phys., 14 (3), стр. 390–421, Bibcode:2007JNMP ... 14..390G, Дои:10.2991 / jnmp.2007.14.3.8
• Генри, Дэвид (2005), "Бесконечная скорость распространения для уравнения Дегаспериса – Прочези", J. Math. Анальный. Appl., 311 (2), стр. 755–759, Bibcode:2005JMAA..311..755H, Дои:10.1016 / j.jmaa.2005.03.001
• Хоэль, Хокон А. (2007), «Численная схема с использованием многоударных пиконов для вычисления решений уравнения Дегаспериса – Прочези» (PDF), Электрон. J. Дифференциальные уравнения, 2007 (100), стр. 1–22
• Ленеллс, Джонатан (2005), "Решения бегущей волны уравнения Дегаспериса – Прочези", J. Math. Анальный. Appl., 306 (1), стр. 72–82, Bibcode:2005JMAA..306 ... 72 л, Дои:10.1016 / j.jmaa.2004.11.038
• Линь, Чжиу; Лю, Юэ (2008), "Устойчивость пиконов для уравнения Дегаспериса – Прочези", Comm. Pure Appl. Математика., 62 (1), стр. 125–146, arXiv:0712.2007, Дои:10.1002 / cpa.20239
• Лю, Юэ; Инь, Чжаоян (2006), «Глобальное существование и явления разрушения для уравнения Дегаспериса – Прочези», Comm. Математика. Phys., 267 (3), стр. 801–820, Bibcode:2006CMaPh.267..801L, Дои:10.1007 / s00220-006-0082-5, заархивировано из оригинал на 2006-10-11
• Лю, Юэ; Инь, Чжаоян (2007), "О феномене разрушения для уравнения Дегаспериса – Прочези", Междунар. Математика. Res. Уведомления, 2007, Дои:10.1093 / imrn / rnm117
• Мустафа, Октавиан Г. (2005), "Заметка об уравнении Дегаспериса – Прочези", J. Nonlin. Математика. Phys., 12 (1), стр. 10–14, Bibcode:2005JNMP ... 12 ... 10 млн, CiteSeerX  10.1.1.532.782, Дои:10.2991 / jnmp.2005.12.1.2
• Вахненко, Вячеслав О .; Паркс, Э. Джон (2004), «Периодические и уединенно-волновые решения уравнения Дегаспериса – Прочези» (PDF), Хаос, солитоны и фракталы, 20 (5), стр. 1059–1073, Bibcode:2004CSF .... 20.1059V, Дои:10.1016 / j.chaos.2003.09.043, заархивировано из оригинал (PDF) на 2006-09-25
• Инь, Чжаоян (2003a), "Глобальное существование нового периодического интегрируемого уравнения", J. Math. Анальный. Appl., 283 (1), стр. 129–139, Дои:10.1016 / S0022-247X (03) 00250-6
• Инь, Чжаоян (2003b), «О задаче Коши для интегрируемого уравнения с пиконными решениями», Иллинойс J. Math., 47 (3), стр. 649–666.^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Инь, Чжаоян (2004a), "Глобальные решения нового интегрируемого уравнения с пиконами", Indiana Univ. Математика. Дж., 53 (4), стр. 1189–1209, Дои:10.1512 / iumj.2004.53.2479
• Инь, Чжаоян (2004b), "Глобальные слабые решения для нового периодического интегрируемого уравнения с пиконными решениями", J. Funct. Анальный., 212 (1), стр. 182–194, Дои:10.1016 / j.jfa.2003.07.010