Степень согласованности - Degree of coherence - Wikipedia

В квантовая оптика, корреляционные функции используются для характеристики статистических и согласованность свойства электромагнитного поля. В степень согласованности - нормированная корреляция электрических полей. В простейшей форме, называемой ${\displaystyle g^{(1)}}$, это полезно для количественной оценки когерентности между двумя электрическими полями, как измерено с помощью прибора Майкельсона или другого линейного оптического интерферометр. Корреляция между парами полей, ${\displaystyle g^{(2)}}$, обычно используется для определения статистического характера флуктуаций интенсивности. Корреляция первого порядка - это фактически корреляция амплитуды и амплитуды, а корреляция второго порядка - это корреляция интенсивности-интенсивности. Он также используется для различения состояний света, требующих квантово-механическое описание и те, для которых достаточно классических полей. Аналогичные соображения применимы к любому бозе-полю в субатомной физике, в частности к мезонам (см. Корреляции Бозе – Эйнштейна ).

Степень согласованности первого порядка

Нормализованная корреляционная функция первого порядка записывается как:

Рисунок 1: Это график абсолютного значения g⁽¹⁾ как функция задержки, нормированной на длину когерентности τ / τ_c. Синяя кривая соответствует когерентному состоянию (идеальный лазер или одночастотный). Красная кривая соответствует лоренцевскому хаотическому свету (например, расширенному при столкновении). Зеленая кривая соответствует гауссовскому хаотическому свету (например, доплеровскому уширению).

${\displaystyle g^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}},}$

куда ${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$ обозначает ансамблевое (статистическое) среднее. Для нестационарных состояний, таких как импульсы, ансамбль состоит из множества импульсов. Когда мы имеем дело с стационарными состояниями, в которых статистические свойства не меняются со временем, можно заменить среднее по ансамблю средним по времени. Если ограничиться плоскопараллельными волнами, то ${\displaystyle \mathbf {r} =z}$.В этом случае результат для стационарных состояний не будет зависеть от ${\displaystyle t_{1}}$, но на задержке ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$ (или же ${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}-{\frac {z_{1}-z_{2}}{c}}}$ если ${\displaystyle z_{1}\neq z_{2}}$).

Это позволяет нам написать упрощенную форму

${\displaystyle g^{(1)}(\tau )={\frac {\left\langle E^{*}(t)E(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle \left|E(t)\right|^{2}\right\rangle }},}$

где мы сейчас усредняем т.

Приложения

В оптических интерферометрах, таких как Интерферометр Майкельсона, Интерферометр Маха – Цендера, или же Интерферометр Саньяка, электрическое поле разбивается на две составляющие, вводится временная задержка для одной из составляющих, а затем они рекомбинируются. Интенсивность результирующего поля измеряется как функция задержки по времени. В этом конкретном случае с двумя равными входными интенсивностями видимость результирующей интерференционной картины определяется как:^[1]

${\displaystyle \nu =|g^{(1)}(\tau )|}$

${\displaystyle \nu =\left|g^{(1)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|}$

где второе выражение включает объединение двух точек пространства-времени из поля. Видимость варьируется от нуля для некогерентных электрических полей до единицы для когерентных электрических полей. Все, что находится между ними, описывается как частично связное.

В общем, ${\displaystyle g^{(1)}(0)=1}$ и ${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=g^{(1)}(-\tau )^{*}}$.

Примеры грамм⁽¹⁾

Для одночастотного света (например, лазерного излучения): ${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau }}$

Для Лоренциана хаотичный свет (например, коллизия расширена): ${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -(|\tau |/\tau _{c})}}$

Для гауссовского хаотичный свет (например, доплеровское расширение): ${\displaystyle g^{(1)}(\tau )=e^{-i\omega _{0}\tau -{\frac {\pi }{2}}(\tau /\tau _{c})^{2}}}$

Здесь, ${\displaystyle \omega _{0}}$ центральная частота света и ${\displaystyle \tau _{c}}$ это время согласованности света.

Степень когерентности второго порядка

Нормализованная корреляционная функция второго порядка записывается как:

Рисунок 2: Это график грамм⁽²⁾ как функция задержки, нормированной на длину когерентности τ / τ_c. Синяя кривая соответствует когерентному состоянию (идеальный лазер или одночастотный). Красная кривая соответствует лоренцевскому хаотическому свету (например, расширенному при столкновении). Зеленая кривая соответствует гауссовскому хаотическому свету (например, доплеровскому уширению). Хаотичный свет суперпуассоновский и сгруппированы.

${\displaystyle g^{(2)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle }}}$

Обратите внимание, что это не обобщение когерентности первого порядка.

Если электрические поля считать классическими, мы можем переупорядочить их, чтобы выразить ${\displaystyle g^{(2)}}$ по интенсивности. Плоскопараллельная волна в стационарном состоянии будет иметь

${\displaystyle g^{(2)}(\tau )={\frac {\left\langle I(t)I(t+\tau )\right\rangle }{\left\langle I(t)\right\rangle ^{2}}}}$

Вышеприведенное выражение четное, ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=g^{(2)}(-\tau )}$. Для классических полей можно применить Неравенство Коши – Шварца к интенсивностям в приведенном выше выражении (поскольку они являются действительными числами), чтобы показать, что ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )\leq g^{(2)}(0)}$. Неравенство ${\displaystyle \left\langle I(t)I(t)\right\rangle -{\left\langle I(t)\right\rangle }^{2}=\left\langle {\left[I(t)-\left\langle I(t)\right\rangle \right]}^{2}\right\rangle \geq 0}$ показывает, что ${\displaystyle 1\leq g^{(2)}(0)\leq \infty }$. Предполагая независимость интенсивностей, когда ${\displaystyle \tau \to +\infty }$ приводит к ${\displaystyle g^{(2)}(+\infty )=1}$. Тем не менее когерентность второго порядка для среднего по полосам дополнительных интерферометр выходов когерентного состояния составляет всего 0,5 (хотя ${\displaystyle g^{(2)}=1}$ для каждого выхода). И ${\displaystyle g^{(2)}}$ (рассчитывается из средних значений) может быть уменьшена до нуля при правильном различении спусковой крючок уровень, применяемый к сигналу (в пределах когерентности).

Примеры грамм⁽²⁾

• Хаотичный свет всех видов: ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1+|g^{(1)}(\tau )|^{2}}$.

Обратите внимание Эффект Хэнбери Брауна и Твисса использует этот факт, чтобы найти ${\displaystyle |g^{(1)}(\tau )|}$ из измерения ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )}$.

• Свет одной частоты: ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )=1}$.

• В случае антигруппировка фотонов, за ${\displaystyle \tau =0}$ у нас есть ${\displaystyle g^{(2)}(0)=0}$ для источника одиночных фотонов, потому что

  ${\displaystyle g^{(2)}(0)={\frac {\left\langle n(n-1)\right\rangle }{\left\langle n\right\rangle ^{2}}},}$

  куда ${\displaystyle n}$ - наблюдаемое число фотонов.^[2]

Степень пкогерентность-го порядка

Обобщение когерентности первого порядка

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{2n},t_{2n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{n+1},t_{n+1})E(\mathbf {r} _{n+2},t_{n+2})\dots E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n})\right\rangle }{\left[\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2n},t_{2n})\right|^{2}\right\rangle \right]^{1/2}}}}$

Обобщение когерентности второго порядка

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\left\langle E^{*}(\mathbf {r} _{1},t_{1})E^{*}(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E^{*}(\mathbf {r} _{n},t_{n})E(\mathbf {r} _{1},t_{1})E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right\rangle }{\left\langle \left|E(\mathbf {r} _{1},t_{1})\right|^{2}\right\rangle \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{2},t_{2})\right|^{2}\right\rangle \cdots \left\langle \left|E(\mathbf {r} _{n},t_{n})\right|^{2}\right\rangle }}}$

или по интенсивности

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{n},t_{n})={\frac {\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\cdots I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }{\langle I(\mathbf {r} _{1},t_{1})\rangle \langle I(\mathbf {r} _{2},t_{2})\rangle \cdots \langle I(\mathbf {r} _{n},t_{n})\rangle }}}$

Примеры грамм^(п)

Свет одной частоты:

${\displaystyle g^{(n)}(\mathbf {r} _{1},t_{1};\mathbf {r} _{2},t_{2};\dots ;\mathbf {r} _{n},t_{n})=1}$

Используя первое определение: Хаотический свет всех видов: ${\displaystyle g^{(n)}(\infty )=0}$

Используя второе определение: Хаотический свет всех видов: ${\displaystyle g^{(n)}(\infty )=1}$Хаотичный свет всех видов: ${\displaystyle g^{(n)}(0)=n!}$

Обобщение на квантовые поля

Рисунок 3: Это график g⁽²⁾ как функция задержки, нормированной на длину когерентности τ / τ_c. Значение g⁽²⁾ черная пунктирная линия ниже возможна только в квантово-механической модели света. Красная кривая показывает g⁽²⁾ разнесенных и субпуассоновский свет испускается одним атомом, управляемым лазерным лучом.

Предсказания ${\displaystyle g^{(n)}}$ за п > 1 меняются, когда классические поля (сложные числа или же c-числа ) заменяются квантовыми полями (операторами или q-числа ). В общем, квантовые поля не обязательно коммутируют, в результате чего их порядок в приведенных выше выражениях нельзя просто поменять местами.

${\displaystyle E^{*}\rightarrow {\hat {E}}^{-}}$

${\displaystyle E\rightarrow {\hat {E}}^{+}.}$

С

${\displaystyle {\hat {E}}^{-}=-i\left({\frac {\hbar \omega }{2\epsilon _{0}V}}\right)^{1/2}{\hat {a}}^{\dagger }e^{-i(kz-\omega t)}}$

в случае стационарного освещения получаем:

${\displaystyle g^{(2)}={\frac {\left\langle {\hat {a}}^{\dagger }(t){\hat {a}}^{\dagger }(t+\tau ){\hat {a}}(t+\tau ){\hat {a}}(t)\right\rangle }{\left\langle {\hat {a}}^{\dagger }(t){\hat {a}}(t)\right\rangle ^{2}}}}$

Группировка фотонов

Рисунок 4: Это график g⁽²⁾ как функция задержки, нормированной на длину когерентности τ / τ_c. Это пример g⁽²⁾ что указывает на антигруппированный свет, но не субпуассоновский свет.

Рисунок 5: Обнаружение фотонов как функция времени для а) антигруппировки (например, света, испускаемого одним атомом), б) случайного (например, когерентное состояние, лазерный луч) и в) группировки (хаотический свет). τ_c - время когерентности (временной масштаб фотона или флуктуаций интенсивности).

Говорят, что свет собирается в пучки, если ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )<g^{(2)}(0)}$ и сгруппированы, если ${\displaystyle g^{(2)}(\tau )>g^{(2)}(0)}$.

Смотрите также

• Корреляции Бозе – Эйнштейна
• Теория когерентности
• Корреляция и зависимость
• Спектроскопия с преобразованием Фурье
• Нормально распределенный и некоррелированный не означает независимого
• Оптическая автокорреляция

Рекомендации

1. «Архивная копия» (PDF). Архивировано из оригинал (PDF) на 2017-01-22. Получено 2016-09-25.
2. ОДИНОЧНЫЕ ФОТОНЫ ДЛЯ ОБРАБОТКИ КВАНТОВОЙ ИНФОРМАЦИИ - http://www.stanford.edu/group/yamamotogroup/Thesis/DFthesis.pdf

Рекомендуемое чтение

• Лаудон, Родни, Квантовая теория света (Oxford University Press, 2000), ISBN  0-19-850177-3