Дерево потомков (теория групп) - Descendant tree (group theory) - Wikipedia

В математике, в частности теория групп, а потомок это иерархическая структура для визуализации отношений родитель-потомок между классы изоморфизма конечных групп простого степенного порядка ${\displaystyle p^{n}}$, для фиксированного простого числа ${\displaystyle p}$ и различные целые показатели ${\displaystyle n\geq 0}$.Такие группы кратко называются конечный p-группы. вершины из потомок являются классами изоморфизма конечных п-группы.

В дополнение к их порядок ${\displaystyle p^{n}}$, конечный п-группы имеют еще два связанных инварианта: класс нильпотентности ${\displaystyle c}$ и кокласс ${\displaystyle r=n-c}$Оказалось, что деревья-потомки определенного вида, так называемые обрезанные коклассовые деревья бесконечно много вершин которого имеют общий кокласс ${\displaystyle r}$, обнаруживают повторяющийся конечный образец. Эти два важнейших свойства конечность и периодичностьдопускают характеризацию всех членов дерева конечным числом параметризованных презентации Следовательно, деревья-потомки играют фундаментальную роль в классификации конечных п-группы. С помощью ядер и таргетов Гомоморфизмы переноса Артина, деревья-потомки могут быть наделены дополнительной структурой.

Важный вопрос - как дерево потомков ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ фактически может быть построена для назначенной стартовой группы, которая берется за корень ${\displaystyle R}$ дерева. палгоритм генерации группы рекурсивный процесс построения дерева потомков данного конечного п-группа, играющая роль корня дерева. Этот алгоритм реализован в системах вычислительной алгебры. ЗАЗОР и Магма.

Определения и терминология

По словам М. Ф. Ньюмана,^[1]существует несколько различных определений родитель ${\displaystyle \pi (G)}$конечного п-группа ${\displaystyle G}$.Общий принцип - формирование частное ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$ из ${\displaystyle G}$подходящим нормальная подгруппа ${\displaystyle N\triangleleft G}$который может быть либо

п

1. то центр ${\displaystyle N=\zeta _{1}(G)}$ из ${\displaystyle G}$откуда ${\displaystyle \pi (G)=G/\zeta _{1}(G)}$ называется центральное частное из ${\displaystyle G}$, или же
2. последний нетривиальный член ${\displaystyle N=\gamma _{c}(G)}$ из нижний центральный ряд из ${\displaystyle G}$, куда ${\displaystyle c}$ обозначает класс нильпотентности ${\displaystyle G}$, или же
3. последний нетривиальный член ${\displaystyle N=P_{c-1}(G)}$ из нижний показательп центральная серия из ${\displaystyle G}$, куда ${\displaystyle c}$ обозначает показатель -п класс ${\displaystyle G}$, или же
4. последний нетривиальный член ${\displaystyle N=G^{(d-1)}}$ из производный ряд из ${\displaystyle G}$, куда ${\displaystyle d}$ обозначает производную длину ${\displaystyle G}$.

В каждом случае,${\displaystyle G}$ называется непосредственный потомок из ${\displaystyle \pi (G)}$и направленный край дерева определяется либо ${\displaystyle G\to \pi (G)}$в направлении каноническая проекция ${\displaystyle \pi :G\to \pi (G)}$ на частное ${\displaystyle \pi (G)=G/N}$или по ${\displaystyle \pi (G)\to G}$ в противоположном направлении, что более характерно для деревьев-потомков. Первая конвенция принята К. Р. Лидхэм-Грином и М. Ф. Ньюманом,^[2]М. дю Сотуа и Д. Сигал,^[3]К. Р. Лидхэм-Грин и С. Маккей,^[4]и Б. Эйком, К. Р. Лидхэм-Грином, М. Ф. Ньюманом и Э. А. О'Брайеном.^[5]Последнее определение используется М. Ф. Ньюманом,^[1]М. Ф. Ньюман и Э. А. О'Брайен,^[6]М. дю Сотуа,^[7]и Б. Эйком и К. Р. Лидхэм-Грином.^[8]

В дальнейшем направление канонических проекций выбирается для всех ребер. Затем, в более общем смысле, вершина ${\displaystyle R}$ это потомок вершины ${\displaystyle P}$,и ${\displaystyle P}$ является предок из ${\displaystyle R}$, если либо ${\displaystyle R}$ равно ${\displaystyle P}$или есть дорожка

${\displaystyle (1)\qquad R=Q_{0}\to Q_{1}\to \cdots \to Q_{m-1}\to Q_{m}=P}$, с ${\displaystyle m\geq 1}$,

направленных кромок от ${\displaystyle R}$ к ${\displaystyle P}$Вершины, образующие путь, обязательно совпадают с повторные родители ${\displaystyle Q_{j}=\pi ^{j}(R)}$ из ${\displaystyle R}$, с ${\displaystyle 0\leq j\leq m}$:

${\displaystyle (2)\qquad R=\pi ^{0}(R)\to \pi ^{1}(R)\to \cdots \to \pi ^{m-1}(R)\to \pi ^{m}(R)=P}$, с ${\displaystyle m\geq 1}$,

В наиболее важном частном случае (P2) родителей, определенных как последние нетривиальные нижние центральные частные, их также можно рассматривать как последовательные частные ${\displaystyle R/\gamma _{c+1-j}(R)}$ класса ${\displaystyle c-j}$ из ${\displaystyle R}$когда класс нильпотентности ${\displaystyle R}$ дан кем-то ${\displaystyle c\geq m}$:

${\displaystyle (3)\qquad R\simeq R/\gamma _{c+1}(R)\to R/\gamma _{c}(R)\to \cdots \to R/\gamma _{c+2-m}(R)\to R/\gamma _{c+1-m}(R)\simeq P}$, с ${\displaystyle c\geq m\geq 1}$.

Как правило, потомок ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ вершины ${\displaystyle G}$ является поддеревом всех потомков ${\displaystyle G}$, начиная с корень ${\displaystyle G}$.Максимально возможное дерево потомков ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ тривиальной группы ${\displaystyle 1}$ содержит все конечные п-группы и несколько исключительны, поскольку для любого родительского определения (P1 – P4) тривиальная группа ${\displaystyle 1}$ имеет бесконечно много абелевых п-группы как его непосредственные потомки. Родительские определения (P2 – P3) имеют то преимущество, что любые нетривиальные конечные п-группа (порядка кратного ${\displaystyle p}$) имеет только конечное число непосредственных потомков.

Pro-п группы и коклассовые деревья

Для четкого понимания коклассовые деревья как частный пример деревьев-потомков, необходимо обобщить некоторые факты, касающиеся бесконечного топологический про-п группы.Участники ${\displaystyle \gamma _{j}(S)}$, с ${\displaystyle j\geq 1}$, нижнего центрального ряда про-п группа ${\displaystyle S}$- замкнутые (и открытые) подгруппы конечного индекса, поэтому соответствующие фактор-группы ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$ конечны п-группы.п группа ${\displaystyle S}$ говорят, что из кокласс ${\displaystyle \mathrm {cc} (S)=r}$когда предел ${\displaystyle r=\lim _{j\to \infty }\,\mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))}$ кокласса последовательных частных существует и конечна.п группа ${\displaystyle S}$ кокласса ${\displaystyle r}$ это п-адический пре-космическая группа,^[5]так как он имеет нормальную подгруппу ${\displaystyle T}$, то группа переводов, который является свободным модулем над кольцом ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ из п-адические целые числа однозначно определенный классифицировать ${\displaystyle d}$, то измерение, такое, что частное ${\displaystyle P=S/T}$ конечный п-группа, точечная группа, который действует на ${\displaystyle T}$ однорядно.Размер определяется выражением

${\displaystyle (4)\qquad d=(p-1)p^{s}}$, с некоторыми ${\displaystyle 0\leq s<r}$.

Центральный конечность результат для бесконечного про-п группы кокласса ${\displaystyle r}$ обеспечивается так называемым Теорема D, который является одним из пяти Теоремы кокласса доказано в 1994 г. независимо А. Шалевым^[9]и К. Р. Лидхэм-Грин,^[10]и предположили еще в 1980 г. К. Р. Лидхэм-Грин и М. Ф. Ньюман.^[2]Теорема D утверждает, что существует лишь конечное число классов изоморфизма бесконечных про-п группы кокласса ${\displaystyle r}$, для любого фиксированного простого числа ${\displaystyle p}$ и любое фиксированное неотрицательное целое число ${\displaystyle r}$Как следствие, если ${\displaystyle S}$ бесконечно про-п группа кокласса ${\displaystyle r}$, то существует минимальное целое число ${\displaystyle i\geq 1}$ такое, что для любого целого числа выполняются следующие три условия ${\displaystyle j\geq i}$.

S

1. ${\displaystyle \mathrm {cc} (S/\gamma _{j}(S))=r}$,
2. ${\displaystyle S/\gamma _{j}(S)}$ не является нижним центральным частным любого бесконечного про-п группа кокласса ${\displaystyle r}$ который не изоморфен ${\displaystyle S}$,
3. ${\displaystyle \gamma _{j}/\gamma _{j+1}(S)}$ цикличен по порядку ${\displaystyle p}$.

Потомковое дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$относительно родительского определения (P2) корня ${\displaystyle R=S/\gamma _{i}(S)}$ с минимальным ${\displaystyle i}$ называется коклассовое дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$ из ${\displaystyle S}$и его единственный максимальный бесконечный (обратный) путь

${\displaystyle (5)\qquad R=S/\gamma _{i}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+1}(S)\leftarrow S/\gamma _{i+2}(S)\leftarrow \cdots }$

называется магистраль (или же хобот) дерева.

Рисунок 1: Потомковое дерево. Ветви B (2), B (4) имеют глубину 0, а B (5), B (7) соответственно. B (6), B (8) изоморфны как деревья.

Древовидная диаграмма

Дальнейшая терминология, используемая в диаграммах, визуализирующих конечные части деревьев-потомков, поясняется на рисунке 1 с помощью искусственного абстрактного дерева. уровень обозначает базовый нисходящий дизайн дерева-потомка. Для конкретных деревьев, таких как на рисунке 2, соответственно. На рисунке 3 и т. Д. Уровень обычно заменяется на шкала заказов возрастает сверху вниз. вершина способный (или же расширяемый), если у него есть хотя бы один непосредственный потомок, в противном случае он Терминал (или листВершины, имеющие общего родителя, называются братья и сестры.

Если дерево-потомок является коклассовым деревом ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$ с корнем ${\displaystyle R=R_{0}}$и с вершинами mainline ${\displaystyle (R_{n})_{n\geq 0}}$ помечены в соответствии с уровнем ${\displaystyle n}$, то конечное поддерево, определенное как разностное множество

${\displaystyle (6)\qquad {\mathcal {B}}(n)={\mathcal {T}}(R_{n})\setminus {\mathcal {T}}(R_{n+1})}$

называется пое отделение (или же веточка) дерева или также ответвляться ${\displaystyle {\mathcal {B}}(R_{n})}$ с корнем ${\displaystyle R_{n}}$, для любого ${\displaystyle n\geq 0}$. глубина ветви - это максимальная длина путей, соединяющих ее вершины с ее корнем. На рисунке 1 показано искусственное абстрактное коклассовое дерево, ветви которого ${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$ у обоих есть глубина ${\displaystyle 0}$, и ветви ${\displaystyle {\mathcal {B}}(5)\simeq {\mathcal {B}}(7)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {B}}(6)\simeq {\mathcal {B}}(8)}$ попарно изоморфны как графы. Если все вершины глубины больше заданного целого числа ${\displaystyle k\geq 0}$ удалены из ветки ${\displaystyle {\mathcal {B}}(n)}$, то получаем глубину${\displaystyle k}$ обрезанная ветка ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{k}(n)}$. Соответственно, глубина${\displaystyle k}$ обрезанное коклассовое дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}_{k}(R)}$, соотв. все коклассовое дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}(R)}$, состоит из бесконечной последовательности обрезанных ветвей ${\displaystyle ({\mathcal {B}}_{k}(n))_{n\geq 0}}$, соотв. ветви ${\displaystyle ({\mathcal {B}}(n))_{n\geq 0}}$, соединенных магистралью, вершины которой ${\displaystyle R_{n}}$ называются бесконечно способный.

Виртуальная периодичность

Периодичность ветвей коклассовых деревьев с глубокой обрезкой доказана с помощью аналитические методы с использованием дзета-функций^[3]групп М. дю Сотуа,^[7]и с алгебраические методы с помощью группы когомологий Б. Эйк и К. Р. Лидхэм-Грин.^[8]Первые методы допускают качественную проницательность предельная виртуальная периодичность, последние методы определяют количественную структуру.

Теорема.Для любого бесконечного про-п группа ${\displaystyle S}$ кокласса ${\displaystyle r\geq 1}$ и размер ${\displaystyle d}$, и для любой заданной глубины ${\displaystyle k\geq 1}$, существует эффективная минимальная нижняя оценка ${\displaystyle f(k)\geq 1}$,куда периодичность длины ${\displaystyle d}$ обрезанных ветвей кокосового дерева ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S)}$ множеств, то есть существуют изоморфизмы графов

${\displaystyle (7)\qquad {\mathcal {B}}_{k}(n+d)\simeq {\mathcal {B}}_{k}(n)}$ для всех ${\displaystyle n\geq f(k)}$.

Для доказательства щелкните Показать с правой стороны.

Доказательство

Изоморфизмы графов глубины-${\displaystyle k}$ обрезанные ветви с корнями достаточно крупного порядка ${\displaystyle n\geq f(k)}$получены когомологическими методами в теореме 6, с. 277 и теорема 9, с. 278 от Эйка и Лидхэм-Грина^[8]и эффективная нижняя граница ${\displaystyle f(k)}$ для порядков корня ветвления установлено в теореме 29, с. 287, данной статьи.

Эти центральные результаты могут быть выражены наглядно: если мы смотрим на коклассовое дерево через пару шаров и игнорируем конечное число предпериодических ветвей наверху, то мы увидим повторяющийся конечный образец (окончательный Однако если взять более широкие шоры, то предпериодический начальный участок может стать длиннее (виртуальный периодичность).

Вершина ${\displaystyle P=R_{f(k)}}$ называется периодический корень обрезанного коклассового дерева для фиксированного значения глубины ${\displaystyle k}$См. Рисунок 1.

Мультифуркационные и коклассовые графы

Предположим, что родители конечных п-группы определяются как последние нетривиальные нижние центральные факторы (P2). п-группа ${\displaystyle G}$ кокласса ${\displaystyle \mathrm {cc} (G)=r}$, мы можем выделить его (все) дочернее дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$и это кокласс-${\displaystyle r}$ потомок ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$, то есть поддерево, состоящее из потомков кокласса ${\displaystyle r}$ только группа ${\displaystyle G}$ называется коклассовый если ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{r}(G)}$, т.е. если нет потомков ${\displaystyle G}$ с большим классом, чем ${\displaystyle r}$.

В ядерный разряд ${\displaystyle \nu (G)}$ из ${\displaystyle G}$в теории палгоритм генерации группы М. Ф. Ньюман^[11]и Э. А. О'Брайен^[12]предоставляет следующие критерии.

N

1. ${\displaystyle G}$ является терминальным, а значит, тривиально коклассовым, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \nu (G)=0}$.
2. Если ${\displaystyle \nu (G)=1}$, тогда ${\displaystyle G}$ способен, но остается неизвестным, ${\displaystyle G}$ рассчитывается по коклассу.
3. Если ${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$, тогда ${\displaystyle G}$ способна и определенно не оседает на класс.

В последнем случае возможно более точное утверждение: если ${\displaystyle G}$ имеет кокласс ${\displaystyle r}$ и ядерный разряд ${\displaystyle \nu (G)=m\geq 2}$, то рождает м-складная мультифуркацияв обычный кокласс-р потомок дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r}(G)}$и ${\displaystyle m-1}$ нерегулярный потомок графики ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$ кокласса ${\displaystyle r+j}$,за ${\displaystyle 1\leq j\leq m-1}$Следовательно, дерево потомков ${\displaystyle G}$ дизъюнктный союз

${\displaystyle (8)\qquad {\mathcal {T}}(G)={\dot {\cup }}_{j=0}^{m-1}\,{\mathcal {T}}^{r+j}(G)}$.

Мультифуркация коррелирует с разными порядками последнего нетривиального нижнего центра прямых потомков. Поскольку класс нильпотентности увеличивается ровно на единицу, ${\displaystyle c=\mathrm {cl} (Q)=\mathrm {cl} (P)+1}$, от родителя ${\displaystyle P=Q/\gamma _{c}(Q)=\pi (Q)}$ любому непосредственному потомку ${\displaystyle Q}$кокласс остается устойчивым, ${\displaystyle r=\mathrm {cc} (Q)=\mathrm {cc} (P)}$, если последний нетривиальный нижний центр является циклическим порядка ${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p}$, так как тогда показатель порядка тоже увеличивается ровно на единицу, ${\displaystyle \vert Q\vert =p\cdot \vert P\vert }$ .В этом случае, ${\displaystyle Q}$ это обычный немедленный потомок с направленным краем ${\displaystyle P\leftarrow Q}$ из размер шага ${\displaystyle 1}$, как обычно, но кокласс увеличивается на ${\displaystyle m-1}$, если ${\displaystyle \vert \gamma _{c}(Q)\vert =p^{m}}$ с ${\displaystyle m\geq 2}$.Потом ${\displaystyle Q}$ называется нерегулярный немедленный потомок с направленным краем ${\displaystyle P\leftarrow Q}$ из размер шага ${\displaystyle m}$.

Если состояние размер шага ${\displaystyle 1}$ на все ориентированные ребра накладывается максимальное дерево-потомок ${\displaystyle {\mathcal {T}}(1)}$ тривиальной группы ${\displaystyle 1}$распадается на счетное бесконечное непересекающееся объединение

${\displaystyle (9)\qquad {\mathcal {T}}(1)={\dot {\cup }}_{r=0}^{\infty }\,{\mathcal {G}}(p,r)}$

направленных коклассовые графы ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$, которые скорее леса чем деревья. Точнее, упомянутые выше Теоремы кокласса подразумевают, что

${\displaystyle (10)\qquad {\mathcal {G}}(p,r)=\left({\dot {\cup }}_{i}\,{\mathcal {T}}(S_{i})\right){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$

дизъюнктное объединениеконечно много коклассовые деревья ${\displaystyle {\mathcal {T}}(S_{i})}$ попарно неизоморфных бесконечных про-п группы ${\displaystyle S_{i}}$ кокласса ${\displaystyle r}$ (Теорема D) и конечный подграф ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,r)}$ из спорадические группы лежащий вне любого коклассового дерева.

Идентификаторы

В Малые группы Библиотека идентификаторы конечных групп, в частности конечных п-группы, представленные в виде

${\displaystyle \langle \ {\text{order}},\ {\text{counting number}}\ \rangle }$

в следующих конкретных примерах деревьев-потомков принадлежат Х. У. Бешу, Б. Эйку и Э. А. О'Брайену.^[13][14]Когда групповые порядки даны в шкале с левой стороны, как на Рисунке 2 и Рисунке 3, идентификаторы кратко обозначаются как

${\displaystyle \langle \ {\text{counting number}}\ \rangle }$.

В зависимости от прайма ${\displaystyle p}$, существует верхняя граница порядка групп, для которых существует идентификатор SmallGroup, например. ${\displaystyle 512=2^{9}}$ за ${\displaystyle p=2}$, и ${\displaystyle 2187=3^{7}}$ за ${\displaystyle p=3}$.Для групп более крупных заказов обозначение с обобщенные идентификаторы используется структура, напоминающая потомок. Обычный непосредственный потомок, соединенный ребром с размером шага ${\displaystyle 1}$ со своим родителем ${\displaystyle P}$, обозначается

${\displaystyle P-\#1;{\text{counting number}}}$,

и неправильный непосредственный потомок, соединенный ребром размера шага ${\displaystyle s\geq 2}$ со своим родителем ${\displaystyle P}$, обозначается

${\displaystyle P-\#s;{\text{counting number}}}$.

Реализации палгоритм генерации группы в системах вычислительной алгебры ЗАЗОР и Магма используйте эти обобщенные идентификаторы, которые восходят к J. A. Ascione в 1979 году.^[15]

Конкретные примеры деревьев

Во всех примерах основной родительское определение (P2) соответствует обычному нижнему центральному ряду. Случайные отличия от исходного определения (P3) в отношении нижнего показателя -п выделены центральные серии.

Coclass 0

Коклассовый граф

${\displaystyle (11)\qquad {\mathcal {G}}(p,0)={\mathcal {G}}_{0}(p,0)}$

конечных п-группы кокласса ${\displaystyle 0}$ не содержит коклассового дерева и, таким образом, состоит исключительно из спорадических групп, а именно тривиальная группа ${\displaystyle 1}$ и циклическая группа ${\displaystyle C_{p}}$ порядка ${\displaystyle p}$, который является листом (но способен по младшему показателю -п центральная серия). ${\displaystyle p=2}$ то Идентификатор SmallGroup из ${\displaystyle C_{p}}$ является ${\displaystyle \langle 2,1\rangle }$,за ${\displaystyle p=3}$ это ${\displaystyle \langle 3,1\rangle }$.

Рисунок 2: Граф кокласса конечных 2-групп с коклассом 1

Кокласс 1

Коклассовый граф

${\displaystyle (12)\qquad {\mathcal {G}}(p,1)={\mathcal {T}}^{1}(R){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$

конечных п-группы кокласса ${\displaystyle 1}$, также называемый максимальный класс, состоит из уникальных коклассовое дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)}$ с корнем ${\displaystyle R=C_{p}\times C_{p}}$, то элементарный абелев п-группа ранга ${\displaystyle 2}$, и один изолированная вершина(терминальный сирота без собственного родителя в том же графе кокласса, так как направленное ребро тривиальной группы ${\displaystyle 1}$ имеет размер шага ${\displaystyle 2}$), циклическая группа ${\displaystyle C_{p^{2}}}$ порядка ${\displaystyle p^{2}}$ в спорадической части ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(p,1)}$(однако эта группа способна по младшему показателю -п центральная серия) .Дерево ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)={\mathcal {T}}^{1}(S_{1})}$ является коклассовым деревом единственного бесконечный проп группа ${\displaystyle S_{1}}$ кокласса ${\displaystyle 1}$.

За ${\displaystyle p=2}$, соотв. ${\displaystyle p=3}$, идентификатор SmallGroup корневого ${\displaystyle R}$ является ${\displaystyle \langle 4,2\rangle }$, соотв. ${\displaystyle \langle 9,2\rangle }$, и древовидная диаграмма коклассового графа из ветви ${\displaystyle {\mathcal {B}}(2)}$ вниз к ветке ${\displaystyle {\mathcal {B}}(7)}$(в расчете на п-логарифм порядка корня ветви) изображен на рис.2, соответственно. Рисунок 3, где все группы порядка не менее ${\displaystyle p^{3}}$ находятся метабелевский, неабелева с производной длиной ${\displaystyle 2}$(вершины представлены черными кругами в отличие от контурных квадратов, обозначающих абелевы группы). На рисунке 3 меньшие черные круги обозначают метабелевы 3-группы, в которых даже максимальные подгруппы неабелевы, что не происходит для метабелевых 2-групп на рисунке 2, поскольку все они обладают абелевой подгруппой индекса ${\displaystyle p}$ (обычно ровно один). ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$, соотв. ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$, имеет периодический корень ${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$ и периодичность длины ${\displaystyle 1}$ начиная с отделения ${\displaystyle {\mathcal {B}}(3)}$, соотв. периодический корень ${\displaystyle \langle 81,9\rangle }$ и периодичность длины ${\displaystyle 2}$ установка с веткой ${\displaystyle {\mathcal {B}}(4)}$. Оба дерева имеют ветви ограниченной глубины. ${\displaystyle 1}$, так что их виртуальная периодичность на самом деле строгая периодичность.

Однако коклассовое дерево ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ с ${\displaystyle p\geq 5}$ имеет безграничная глубина и содержит немабелевы группы, а коклассовое дерево ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ с ${\displaystyle p\geq 7}$ имеет даже неограниченная ширина, то есть количество потомков фиксированного порядка неограниченно увеличивается с ростом порядка.^[16]

С помощью ядра и мишени переводов Artinдиаграммы на рисунках 2 и 3 могут быть снабжены дополнительной информацией и перерисованы как структурированные деревья-потомки.

Конкретные примеры ${\displaystyle {\mathcal {G}}(2,1)}$ и ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,1)}$ коклассового графа дают возможность дать параметризованный полициклический коммутатор мощности презентация^[17]для полного коклассового дерева ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(R)\subset {\mathcal {G}}(p,1)}$, ${\displaystyle p\in \lbrace 2,3\rbrace }$, упомянутый в ведущем разделе как преимущество концепции дерева потомков и как следствие периодичности всего коклассового дерева. В обоих случаях группа ${\displaystyle G\in {\mathcal {T}}^{1}(R)}$ генерируется двумя элементами ${\displaystyle x,y}$но презентация содержит серию высшие коммутаторы ${\displaystyle s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack }$, ${\displaystyle 3\leq j\leq n-1=\mathrm {cl} (G)}$, начиная с главный коммутатор ${\displaystyle s_{2}=\lbrack y,x\rbrack }$Формально нильпотентность выражается соотношением ${\displaystyle s_{n}=1}$, когда группа в порядке ${\displaystyle \vert G\vert =p^{n}}$.

Рисунок 3: Граф кокласса конечных 3-групп с коклассом 1

За ${\displaystyle p=2}$, есть два параметра ${\displaystyle 0\leq w,z\leq 1}$ а компьютерная презентация представлена

(13)${\displaystyle {\begin{aligned}G^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{2}=s_{n-1}^{w},\ y^{2}=s_{2}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack s_{2},y\rbrack =1,\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

2-группы максимального класса, т.е. кокласса ${\displaystyle 1}$, форма три периодические бесконечные последовательности,

• то двугранный группы, ${\displaystyle D(2^{n})=G^{n}(0,0)}$, ${\displaystyle n\geq 3}$, образуя магистраль (с бесконечно способными вершинами),
• обобщенный кватернион группы, ${\displaystyle Q(2^{n})=G^{n}(0,1)}$, ${\displaystyle n\geq 3}$, которые все являются конечными вершинами,
• то полудиэдральный группы, ${\displaystyle S(2^{n})=G^{n}(1,0)}$, ${\displaystyle n\geq 4}$, которые также являются листьями.

За ${\displaystyle p=3}$, есть три параметра ${\displaystyle 0\leq a\leq 1}$ и ${\displaystyle -1\leq w,z\leq 1}$ а компьютерная презентация представлена

(14)${\displaystyle {\begin{aligned}G_{a}^{n}(z,w)=&\langle x,y,s_{2},\ldots ,s_{n-1}\mid \\&x^{3}=s_{n-1}^{w},\ y^{3}=s_{2}^{-3}s_{3}^{-1}s_{n-1}^{z},\ \lbrack y,s_{2}\rbrack =s_{n-1}^{a},\\&s_{2}=\lbrack y,x\rbrack ,\ s_{j}=\lbrack s_{j-1},x\rbrack {\text{ for }}3\leq j\leq n-1\rangle \end{aligned}}}$

3 группы с параметром ${\displaystyle a=0}$ обладают абелевой максимальной подгруппой, с параметром ${\displaystyle a=1}$ Точнее, существующая абелева максимальная подгруппа единственна, за исключением двух особо особенный группы ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ и ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,1)}$, где все четыре максимальные подгруппы абелевы.

В отличие от любого более крупного кокласса ${\displaystyle r\geq 2}$, коклассовый граф ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$ исключительно содержит п-группы ${\displaystyle G}$ с абелианизацией ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ типа ${\displaystyle (p,p)}$, за исключением его единственной изолированной вершины ${\displaystyle C_{p^{2}}}$Дело ${\displaystyle p=2}$ отличается истинностью обратного утверждения: любая 2-группа с абелианизацией типа ${\displaystyle (2,2)}$ из кокласса ${\displaystyle 1}$ (Теорема О. Таусского^[18]).

Рисунок 4: Интерфейс между конечными 3-группами кокласса 1 и 2 типа (3,3)

Coclass 2

Происхождение коклассового графа ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,r)}$ с ${\displaystyle r\geq 2}$ не является однородным.п-группы с несколькими различными абелианизациями вносят свой вклад в его состав. ${\displaystyle r=2}$, есть существенные вклады от групп ${\displaystyle G}$ с абелианизациями ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ типов${\displaystyle (p,p)}$, ${\displaystyle (p^{2},p)}$, ${\displaystyle (p,p,p)}$, и изолированный вклад циклической группы ${\displaystyle C_{p^{3}}}$ порядка ${\displaystyle p^{3}}$:

${\displaystyle (15)\qquad {\mathcal {G}}(p,2)={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{2},p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,2){\dot {\cup }}{\mathcal {G}}_{(p^{3})}(p,2)}$.

Абелианизация типа (п,п)

В отличие от п-группы кокласса ${\displaystyle 2}$ с абелианизацией типа ${\displaystyle (p^{2},p)}$ или же ${\displaystyle (p,p,p)}$, которые возникают как обычные потомки абелевых п-группы однотипных,п-группы кокласса ${\displaystyle 2}$ с абелианизацией типа ${\displaystyle (p,p)}$происходят от неправильных потомков неабелева п-группа кокласса ${\displaystyle 1}$ который не урегулирован коклассом.

Для премьер ${\displaystyle p=2}$, таких групп вообще не существует, так как 2-группа ${\displaystyle \langle 8,3\rangle }$ кокласс установлен, что является более глубокой причиной теоремы Таусского. Этот замечательный факт был замечен Дж. Багнерой.^[19]уже в 1898 году.

Для нечетных простых чисел ${\displaystyle p\geq 3}$,Существование п-группы кокласса ${\displaystyle 2}$ с абелианизацией типа ${\displaystyle (p,p)}$связано с тем, что группа ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ не считается коклассом, его ядерный ранг равен ${\displaystyle 2}$, что приводит к бифуркация потомка дерева ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G_{0}^{3}(0,0))}$ на два коклассовых графа. ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(G_{0}^{3}(0,0))}$является поддеревом уникального дерева ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{1}(C_{p}\times C_{p})}$ в графе кокласса ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,1)}$.Неправильный компонент ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G_{0}^{3}(0,0))}$становится подграфом ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p)}(p,2)}$ коклассового графа ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$при соединении кромок шагового размера ${\displaystyle 2}$ нерегулярных прямых потомков ${\displaystyle G_{0}^{3}(0,0)}$ удалены.

За ${\displaystyle p=3}$, этот подграф ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ изображен на рисунке 4, который показывает границу между конечными 3-группами с коклассом ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 2}$ типа ${\displaystyle (3,3)}$.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ имеет семь вершин верхнего уровня трех важных типов, каждая из которых имеет порядок ${\displaystyle 243=3^{5}}$, которые были обнаружены Г. Баннером.^[19]

• Во-первых, есть два терминала Σ-группы Шура ${\displaystyle \langle 243,5\rangle }$ и ${\displaystyle \langle 243,7\rangle }$ в спорадической части ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$ коклассового графа ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$.
• Во-вторых, две группы ${\displaystyle G=\langle 243,4\rangle }$ и ${\displaystyle G=\langle 243,9\rangle }$ корни конечных деревьев ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(G)}$ в спорадической части ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}(3,2)}$. Однако, поскольку они не заселены коклассом, все деревья ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)}$ бесконечны.
• Наконец, три группы ${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$, ${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$ и ${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$ дают начало (бесконечным) коклассовым деревьям, например, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 729,40\rangle )}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,6\rangle )}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,8\rangle )}$, каждая из которых имеет метабелеву основную линию, в графе кокласса ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$. Ни одна из этих трех групп не заселена по классу.

Отображая дополнительную информацию о ядрах и целях передачи Артина, мы можем нарисовать эти деревья как структурированные деревья-потомки.

Определение.Как правило, Группа Шура (называется закрыто группы И. Шура, автора концепции) является про-п группа ${\displaystyle G}$ ранг отношения ${\displaystyle d_{2}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{2}(G,\mathbb {F} _{p}))}$ совпадает со своим рангом генератора ${\displaystyle d_{1}(G)=\mathrm {dim} _{\mathbb {F} _{p}}(\mathrm {H} ^{1}(G,\mathbb {F} _{p}))}$.A σ-группа является про-п группа ${\displaystyle G}$ который обладает автоморфизмом ${\displaystyle \sigma \in \mathrm {Aut} (G)}$индуцирование инверсии ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ по его абелианизации ${\displaystyle G/G^{\prime }}$.A Σ-группа Шура группа Шура ${\displaystyle G}$ которая также является σ-группой и имеет конечную абелианизацию ${\displaystyle G/G^{\prime }}$.

${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$ не корень коклассового дерева,

поскольку его непосредственный потомок ${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$, который является корнем коклассового дерева с метабелевыми вершинами главной линии, имеет двух братьев и сестер ${\displaystyle \langle 729,35\rangle }$, соотв. ${\displaystyle \langle 729,34\rangle }$, которые дают начало одному, соответственно. три, коклассовое дерево (я) с неметабелевыми вершинами главной линии, имеющими циклические центры порядка ${\displaystyle 3}$и ветви значительной сложности, но, тем не менее, ограниченной глубины ${\displaystyle 5}$.

Таблица 1: Факторы групп G = G (f, g, h) ^[5]

Параметры ${\displaystyle (f,g,h)}$	Абелианизация ${\displaystyle G/G^{\prime }}$	Коэффициент 2-го класса ${\displaystyle G/\gamma _{3}(G)}$	Фактор класса 3 ${\displaystyle G/\gamma _{4}(G)}$	Коэффициент 4-го класса ${\displaystyle G/\gamma _{5}(G)}$
${\displaystyle (0,1,0)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,40\rangle }$
${\displaystyle (0,1,2)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,6\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,49\rangle }$
${\displaystyle (1,1,2)}$	${\displaystyle (3,3)}$	${\displaystyle \langle 27,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,8\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,54\rangle }$
${\displaystyle (1,0,0)}$	${\displaystyle (9,3)}$	${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,79\rangle }$
${\displaystyle (0,0,1)}$	${\displaystyle (9,3)}$	${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,84\rangle }$
${\displaystyle (0,0,0)}$	${\displaystyle (3,3,3)}$	${\displaystyle \langle 81,12\rangle }$	${\displaystyle \langle 243,53\rangle }$	${\displaystyle \langle 729,395\rangle }$

Pro-3 группы кокласса 2 с нетривиальным центром

Б. Эйк, К. Р. Лидхэм-Грин, М. Ф. Ньюман и Э. А. О'Брайен ^[5]построили семейство бесконечных про-3 групп с коклассом ${\displaystyle 2}$ имеющий нетривиальный центр порядка ${\displaystyle 3}$Члены семьи характеризуются тремя параметрами. ${\displaystyle (f,g,h)}$Их конечные факторы порождают все основные вершины с бициклическими центрами типа ${\displaystyle (3,3)}$ шести коклассовых деревьев в коклассовом графе ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$Связь параметров с корнями этих шести деревьев приведена в таблице 1, диаграммы деревьев, за исключением абелианизации. ${\displaystyle (3,3,3)}$, указаны на рисунках 4 и 5, а параметризованное представление pro-3 дается как

(16)${\displaystyle {\begin{aligned}G(f,g,h)=&\langle a,t,z\mid \\&a^{3}=z^{f},\ \lbrack t,t^{a}\rbrack =z^{g},\ t^{1+a+a^{2}}=z^{h},\\&z^{3}=1,\ \lbrack z,a\rbrack =1,\ \lbrack z,t\rbrack =1\rangle \end{aligned}}}$

Рисунок 5: Конечные 3-группы кокласса 2 типа (9,3)

Абелианизация типа (п²,п)

За ${\displaystyle p=3}$, верхние уровни поддерева ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 27,2\rangle )}$ коклассового графа ${\displaystyle {\mathcal {G}}(3,2)}$ изображены на рисунке 5. Наиболее важными вершинами этого дерева являются восемь братьев и сестер, имеющих общий родительский элемент. ${\displaystyle \langle 81,3\rangle }$, которые бывают трех важных типов.

• Во-первых, это три листа ${\displaystyle \langle 243,20\rangle }$, ${\displaystyle \langle 243,19\rangle }$, ${\displaystyle \langle 243,16\rangle }$ имеющий циклический центр порядка ${\displaystyle 9}$, и один лист ${\displaystyle \langle 243,18\rangle }$ с бициклическим центром типа ${\displaystyle (3,3)}$.
• Во-вторых, группа ${\displaystyle G=\langle 243,14\rangle }$ является корнем конечного дерева ${\displaystyle {\mathcal {T}}(G)={\mathcal {T}}^{2}(G)}$.
• Наконец, три группы ${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$, ${\displaystyle \langle 243,15\rangle }$ и ${\displaystyle \langle 243,17\rangle }$ дают начало бесконечным коклассовым деревьям, например, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 2187,319\rangle )}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,15\rangle )}$, ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(\langle 243,17\rangle )}$, каждая из которых имеет метабелеву основную линию, первая из которых имеет циклические центры порядка ${\displaystyle 3}$, второй и третий с бициклическими центрами типа ${\displaystyle (3,3)}$.

Здесь, ${\displaystyle \langle 243,13\rangle }$ не является корнем коклассового дерева, поскольку помимо его потомка ${\displaystyle \langle 2187,319\rangle }$, которое является корнем коклассового дерева с метабелевыми вершинами основной линии, у него есть еще пять потомков, которые дают начало коклассовым деревьям с неметабелевыми вершинами основной линии, имеющими циклические центры порядка ${\displaystyle 3}$и ответвления чрезвычайной сложности, здесь частично даже с безграничная глубина.^[5]

Рисунок 6: Конечные 2-группы кокласса 2,3,4 и типа (2,2,2)

Абелианизация типа (п,п,п)

За ${\displaystyle p=2}$, соотв. ${\displaystyle p=3}$существует единственное коклассовое дерево с п-группы типа ${\displaystyle (p,p,p)}$ в графе кокласса ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,2)}$.Его корень - элементарный абелев п-группа типа ${\displaystyle (p,p,p)}$, то есть, ${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$, соотв. ${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$Это уникальное дерево соответствует про-2 группе семейства ${\displaystyle \#59}$ М. Ф. Ньюман и Э. А. О'Брайен,^[6]соотв. группе про-3 по параметрам ${\displaystyle (f,g,h)=(0,0,0)}$ в таблице 1. ${\displaystyle p=2}$, дерево показано на рисунке 6, где показаны некоторые конечные 2-группы с коклассом ${\displaystyle 2,3,4}$ типа ${\displaystyle (2,2,2)}$.

Coclass 3

Снова здесь, п-группы с несколькими различными абелианизациями вносят свой вклад в построение коклассового графа ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$.Бывают штатные, соотв. нерегулярные, существенные взносы от групп ${\displaystyle G}$ с абелианизациями ${\displaystyle G/G^{\prime }}$ типов${\displaystyle (p^{3},p)}$, ${\displaystyle (p^{2},p^{2})}$, ${\displaystyle (p^{2},p,p)}$, ${\displaystyle (p,p,p,p)}$, соотв. ${\displaystyle (p,p)}$, ${\displaystyle (p^{2},p)}$, ${\displaystyle (p,p,p)}$, и изолированный вклад циклической группы ${\displaystyle C_{p^{4}}}$ порядка ${\displaystyle p^{4}}$.

Абелианизация типа (п,п,п)

Поскольку элементарный абелев п-группа ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ ранга ${\displaystyle 3}$, то есть,${\displaystyle \langle 8,5\rangle }$, соотв. ${\displaystyle \langle 27,5\rangle }$, за ${\displaystyle p=2}$, соотв. ${\displaystyle p=3}$, не оседает коклассом, а порождает мультифуркацию. ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{2}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$ описан в разделе о коклассе ${\displaystyle 2}$.Неправильный компонент ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(C_{p}\times C_{p}\times C_{p})}$становится подграфом ${\displaystyle {\mathcal {G}}={\mathcal {G}}_{(p,p,p)}(p,3)}$ коклассового графа ${\displaystyle {\mathcal {G}}(p,3)}$при соединении кромок шагового размера ${\displaystyle 2}$ нерегулярных прямых потомков ${\displaystyle C_{p}\times C_{p}\times C_{p}}$ удалены.

За ${\displaystyle p=2}$, этот подграф ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ содержится на рисунке 6, он имеет девять вершин верхнего уровня порядка ${\displaystyle 32=2^{5}}$ которые можно разделить на конечные и способные вершины.

• Две группы ${\displaystyle \langle 32,32\rangle }$ и ${\displaystyle \langle 32,33\rangle }$ листья.
• Пять групп ${\displaystyle \langle 32,27..31\rangle }$ и две группы ${\displaystyle \langle 32,34..35\rangle }$ бесконечно способны.

Деревья, возникающие из способных вершин, ассоциированы с бесконечными про-2 группами М. Ф. Ньюманом и Э. А. О'Брайеном.^[6]следующим образом.

${\displaystyle \langle 32,28\rangle }$ рождает два дерева,

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,140\rangle )}$ связанный с семьей ${\displaystyle \#73}$,и

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,147\rangle )}$ связанный с семьей ${\displaystyle \#74}$.

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,29\rangle )}$ связан с семьей ${\displaystyle \#75}$.

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,30\rangle )}$ связан с семьей ${\displaystyle \#76}$.

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,31\rangle )}$ связан с семьей ${\displaystyle \#77}$.

${\displaystyle \langle 32,34\rangle }$ дает начало

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 64,174\rangle )}$ связанный с семьей ${\displaystyle \#78}$. Ну наконец то,

${\displaystyle {\mathcal {T}}^{3}(\langle 32,35\rangle )}$ связан с семьей ${\displaystyle \#79}$.

Таблица 2: Факторы Q класса 2 некоторых метабелевых 2-групп G типа (2,2,2) ^[20]

Малые группы идентификатор Q	Холл Старший классификация Q	Множитель Шура ${\displaystyle {\mathcal {M}}(Q)}$	2-ранг G ' ${\displaystyle r_{2}(G^{\prime })}$	4-ранг G ' ${\displaystyle r_{4}(G^{\prime })}$	Максимум ${\displaystyle r_{2}(H_{i}/H_{i}^{\prime })}$
${\displaystyle \langle 32,32\rangle }$	32.040	${\displaystyle (2)}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle \langle 32,33\rangle }$	32.041	${\displaystyle (2)}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle \langle 32,29\rangle }$	32.037	${\displaystyle (2,2)}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \langle 32,30\rangle }$	32.038	${\displaystyle (2,2)}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \langle 32,35\rangle }$	32.035	${\displaystyle (2,2)}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \langle 32,28\rangle }$	32.036	${\displaystyle (2,2,2)}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \langle 32,27\rangle }$	32.033	${\displaystyle (2,2,2,2)}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 2}$ или же ${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$

Классификация Холла-Сениора 2-х групп

Семь из этих девяти вершин верхнего уровня исследованы Э. Бенджамином, Ф. Леммермейером и К. Снайдером.^[20]относительно их появления как частных класса 2 ${\displaystyle Q=G/\gamma _{3}(G)}$больших метабелевых 2-групп ${\displaystyle G}$ типа ${\displaystyle (2,2,2)}$ и с коклассом ${\displaystyle 3}$, которые в точности являются членами деревьев потомков семи вершин. авторы используют классификацию 2-групп М. Холла и Дж. К. Старшего.^[21]который находится в соответствии с библиотекой SmallGroups ^[13] в таблице 2. Сложность деревьев-потомков этих семи вершин возрастает с увеличением 2-х и 4-х рангов, указанных в таблице 2, где максимальные подгруппы индекса ${\displaystyle 2}$ в ${\displaystyle G}$ обозначаются ${\displaystyle H_{i}}$, за ${\displaystyle 1\leq i\leq 7}$.

История

Деревья потомков с центральными частными в качестве родителей (P1) подразумеваются в статье П. Холла 1940 г.^[22]об изоклинизме групп.Деревья с последними нетривиальными нижними центральными факторами в качестве родителей (P2) были впервые представлены К. Р. Лидхэм-Гринатом на Международном конгрессе математиков в Ванкувере в 1974 г.^[1]Первые обширные древовидные диаграммы были нарисованы вручную Дж. А. Асьоне, Дж. Хавасом и К. Р. Лидхэм-Грином (1977),^[23]Дж. А. Асьоне (1979),^[15]и Б. Небелунг (1989).^[24]В первых двух случаях определение родителя с помощью младшего показателя -п центральный ряд (P3) был принят ввиду вычислительных преимуществ, в последнем случае, когда основное внимание уделялось теоретическим аспектам, родительские были взяты по сравнению с обычным нижним центральным рядом (P2).

Смотрите также

• Ядра и цели Artin ТРАНСФЕРЫ недавно оказались совместимыми с отношениями родитель-потомок между конечными п-группы и могут быть использованы для наделения дочерних деревьев дополнительной структурой.

Рекомендации

1. Ньюман, М. Ф. (1990). «Группы первичного порядка». Группы - Канберра, 1989 г.. Группы - Канберра 1989, Конспект лекций по математике. Конспект лекций по математике. 1456. Springer. С. 49–62. Дои:10.1007 / bfb0100730. ISBN  978-3-540-53475-4.
2. Leedham-Green, C.R .; Ньюман, М. Ф. (1980). «Космические группы и группы первого порядка мощности». Arch. Математика. 35: 193–203. Дои:10.1007 / bf01235338. S2CID  121022964.
3. дю Сотуа, М .; Сигал, Д. (2000). Дзета-функции групп. С. 249–286, в кн .: Новые горизонты в профессиональных группах, Успехи математики, Том. 184, Биркхойзер, Базель.
4. Leedham-Green, C.R .; Маккей, С. (2002). Структура групп первичного степенного порядка. Монографии Лондонского математического общества, новая серия, т. 27, Oxford University Press.
5. Эйк, В .; Leedham-Green, C.R .; Newman, M. F .; О'Брайен, Э. А. (2013). «О классификации групп степенного порядка по коклассу: 3-группы кокласса 2». Int. J. Вычисление алгебры. 23 (5): 1243–1288. Дои:10.1142 / s0218196713500252.
6. Newman, M. F .; О'Брайен, Э. А. (1999). «Классификация 2-групп по коклассу». Пер. Амер. Математика. Soc. 351: 131–169. Дои:10.1090 / с0002-9947-99-02124-8.
7. дю Сотуа, М. (2001). «Подсчет p-групп и нильпотентных групп». Inst. Hautes Études Sci. Publ. Математика. 92: 63–112.
8. Эйк, В .; Лидхэм-Грин, К. Р. (2008). «О классификации групп простой степени по коклассу». Бык. Лондонская математика. Soc. 40 (2): 274–288. Дои:10.1112 / blms / bdn007.
9. Шалев, А. (1994). "Структура конечного п-группы: эффективное доказательство гипотез кокласса ". Изобретать. Математика. 115: 315–345. Bibcode:1994ИнМат.115..315С. Дои:10.1007 / bf01231763. S2CID  122256486.
10. Лидхэм-Грин, К. Р. (1994). "Структура конечного п-группы ». J. London Math. Soc. 50: 49–67. Дои:10.1112 / jlms / 50.1.49.
11. Ньюман, М. Ф. (1977). Определение групп порядка степени простого числа. С. 73-84, в: Теория групп, Канберра, 1975, Конспект лекций по математике, т. 573, Шпрингер, Берлин.
12. О'Брайен, Э. А. (1990). "The п-групповой алгоритм генерации ». J. Символическое вычисление. 9 (5–6): 677–698. Дои:10.1016 / s0747-7171 (08) 80082-х.
13. Besche, H.U .; Эйк, В .; О'Брайен, Э. А. (2005). Библиотека SmallGroups - библиотека групп малого порядка. Принятый и рецензированный пакет GAP 4, доступный также в MAGMA.
14. Besche, H.U .; Эйк, В .; О'Брайен, Э. А. (2002). «Проект тысячелетия: построение малых групп». Int. J. Вычисление алгебры. 12 (5): 623–644. Дои:10.1142 / s0218196702001115.
15. Ascione, J. A. (1979). О 3-группах второго максимального класса. Докторская диссертация, Австралийский национальный университет, Канберра.
16. Дитрих, Хайко; Эйк, Беттина; Feichtenschlager, Dörte (2008), "Расследование п-группы по коклассу с GAP ", Вычислительная теория групп и теория групп, Современная математика, 470, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 45–61, Дои:10.1090 / conm / 470/09185, ISBN  9780821843659, МИСТЕР  2478413
17. Блэкберн, Н. (1958). "На особом классе п-группы ". Acta Math. 100 (1–2): 45–92. Дои:10.1007 / bf02559602.
18. Таусский, О. (1937). «Замечание о башне поля класса». J. London Math. Soc. 12 (2): 82–85. Дои:10.1112 / jlms / s1-12.1.82.
19. Багнера, Г. (1898). "La composizione dei gruppi finiti il ​​cui grado è la quinta potza di un numero primo". Анна. Di Mat. (Сер. 3). 1: 137–228. Дои:10.1007 / bf02419191. S2CID  119799947.
20. Benjamin, E .; Lemmermeyer, F .; Снайдер, К. (2003). "Мнимые квадратичные поля с ${\displaystyle \mathrm {Cl} _{2}(k)\simeq (2,2,2)}$". J. Теория чисел. 103: 38–70. arXiv:математика / 0207307. Дои:10.1016 / S0022-314X (03) 00084-2. S2CID  3124132.
21. Холл, М .; Старший, Дж. К. (1964). Группы заказа ${\displaystyle 2^{n}}$ ${\displaystyle (n\leq 6)}$. Макмиллан, Нью-Йорк.
22. Холл, П. (1940). «Классификация групп простой степени». J. Reine Angew. Математика. 182: 130–141.
23. Ascione, J. A .; Havas, G .; Лидхэм-Грин, К. Р. (1977). «Компьютерная классификация некоторых групп высшего порядка мощности». Бык. Austral. Математика. Soc. 17 (2): 257–274. Дои:10.1017 / с0004972700010467.
24. Небелунг, Б. (1989). Классификация метаболической 3-Gruppen mit Faktorkommutatorgruppe vom Typ (3,3) und Anwendung auf das Kapitulationsproblem. Инаугуральдическая диссертация, Universität zu Köln.