Направленная алгебраическая топология - Directed algebraic topology

В математика, направленная алгебраическая топология это уточнение алгебраическая топология за направленные пространства, топологические пространства и их комбинаторные аналоги, снабженные некоторым понятием направления. Некоторые общие примеры ориентированных пространств: время и симплициальные множества. Основная цель - найти алгебраические инварианты, которые классифицируют ориентированные пространства с точностью до направленных аналогов гомотопической эквивалентности. Например, гомотопические группы и фундаментальные n-группоиды пространств обобщить на гомотопические моноиды и фундаментальный n-категории направленных пространств. Направленная алгебраическая топология, как и алгебраическая топология, мотивирована необходимостью описания качественных свойств сложных систем в терминах алгебраических свойств пространств состояний, которые часто управляются временем. Таким образом направленная алгебраическая топология находит применения в Параллелизм (информатика), Контроль сетевого трафика, Общая теория относительности, Некоммутативная геометрия, Теория перезаписи, и Биологические системы.^[1]

Направленные пространства

Было предложено множество математических определений, чтобы формализовать понятие направленного пространства. Э. В. Дейкстра ввел простой диалект, чтобы иметь дело с семафоры, так называемый «язык PV»,^[2] и предоставить каждой программе PV абстрактную модель: ее «геометрическую семантику». Любая такая модель допускает естественный частично упорядоченное пространство (или же Pospace) структура, т.е. топология и частичный заказ.^[3] Точки модели следует рассматривать как состояния программы, а частичный порядок - как причинно-следственные связи между состояниями. Следуя этому подходу, направленные пути по модели, то есть монотонные непрерывные пути, представляют собой следы выполнения программы. Однако с точки зрения информатики полученные pospaces имеют серьезный недостаток. Поскольку частичные порядки по определению антисимметричны, их единственные направленные петли т.е. направленные пути, которые заканчиваются там, где они начинаются, являются постоянными петлями.

Вдохновлен гладкие многообразия, Л. Файструп, Э. Губо и М. Рауссен используют пучок -теоретический подход к определению местные pospaces.^[4] Грубо говоря, локальное pospace - это топологическое пространство вместе с открытое покрытие элементы которого наделены частичным порядком. Для двух элементов покрытия U и V требуется, чтобы частичные порядки на U и V совпадали на пересечении. Хотя локальные pospaces допускают направленные циклы, они образуют категорию, копределы которой - когда они существуют - могут вести себя довольно некорректно.

Отмечая, что направленные пути (локального) pospace появляются как побочный продукт (локального) частичного порядка - даже если они сами содержат большую часть важной информации о направлении - Марко Грандис определяет d-пространства^[5] как топологические пространства, наделенные набором путей, элементы которых называются направленными, так что любой постоянный путь является направленным, конкатенация двух направленных путей по-прежнему направлена, и любой подпуть направленного пути является направленным. D-пространства допускают непостоянные направленные петли и образуют категорию, обладающую свойствами, аналогичными тем, которыми обладает категория топологических пространств.

Как показал Сандживи Кришнан, недостатков локальных pospaces можно избежать, если мы расширим понятие pospaces с помощью «пучков». Понятие транслировать^[6] определяется таким образом. Точнее, рассматривается предпорядок на открытых подмножествах и требуется, чтобы для любого открытого подмножества U и любого открытого покрытия Ω множества U предпорядок, связанный с U, «порождался» предпорядками, связанными с каждым элементом Ω. Результирующая категория ведет себя так же хорошо, как и категория d-пространств. В самом деле, оба из них можно определить направленную геометрическую реализацию кубического множества (симплициального множества), так что лежащее в его основе топологическое пространство является (обычной) геометрической реализацией. На самом деле существует естественное вложение G категории потоков в категорию d-пространств. Это вложение допускает левую присоединенный функтор F. Образы F и G изоморфны, изоморфизм получается ограничением F и G этими образами. Таким образом, категорию d-пространств можно рассматривать как одну из наиболее общих формализаций интуитивного понятия ориентированного пространства.

Направленные гомотопии между направленными путями

Независимо от типа направленного пространства на рассматриваемых объектах (pospaces, local pospaces, d-пространства или потоки) существует очевидное забывчивый функтор в категорию топологических пространств. Для двух направленных путей γ и δ направленная гомотопия из γ в δ является морфизмом направленных пространств h, основное отображение U (h) является гомотопией - в обычном смысле - между лежащими в основе путь (топология) U (γ) и U (δ). В алгебраической топологии существует гомотопия от α к β тогда и только тогда, когда существует гомотопия от β к α. Из-за необратимости это больше не верно для направленных гомотопий. Как следствие, определим сравнение ${\displaystyle \sim }$ как отношение наименьшей эквивалентности на направленных путях, которое совместимо с конкатенацией и связывает γ с δ, как только существует направленная гомотопия от γ к δ. Возвращаясь к мотивации информатики, где направленные пути представляют собой следы выполнения, направленные гомотопии предоставляют способ идентифицировать следы выполнения. Следовательно, учитывая направленное пространство X, которое моделирует некоторую параллельную программу P, топологию X можно рассматривать как «локальные коммутации» действий в программе P. В классических моделях параллелизма, таких как «асинхронные графы» «следов Мазуркевича», локальные коммутации обеспечиваются отношением над стрелками или действиями.

Основная категория

Фундаментальная категория ориентированного пространства определяется путем имитации конструкции фундаментальный группоид^[7][8] топологического пространства. Точнее с учетом направленного пространства ${\displaystyle X}$, мы рассматриваем (малую) категорию ${\displaystyle DX}$ направленных путей над ${\displaystyle X}$ до монотонной репараметризации^[9] и определим фундаментальную категорию ${\displaystyle X}$ как частное ${\displaystyle \pi _{1}(X)\ :=\ DX/\sim }$. Эта конструкция порождает функтор ${\displaystyle \pi _{1}}$ из категории ориентированных пространств в категорию малых категорий.

Некоторые свойства

Функтор фундаментальной категории удовлетворяет некоторому Теорема Зейферта – ван Кампена.

Функтор фундаментальной категории сохраняет бинарные произведения.

Вследствие антисимметрии фундаментальной категорией C пост-пространства является без петель т.е. для всех объектов x и y, если оба объекта C (x, y) и C (y, x) непусты, то x = y и C (x, x) одноэлементный.

Два направленных пути γ и δ с одним и тем же изображением, т.е. {γ (t) | t∊dom (γ)} = {δ (t) | t∊dom (δ)} дигомотопны, т. е. γ ∼ δ. Это свойство явно не работает в алгебраической топологии, например. рассмотреть пути, петляющие по кругу.

Если X является моделью некоторой параллельной программы P, гоммножества фундаментальной категории X счетны. Кроме того, если в P не встречается инструкция цикла, то наборы элементов X конечны. Это тот случай, когда P - программа PV в том смысле, который изначально дал Дейкстра. По сравнению с этим все нетривиальные гоммножества категории ориентированных путей DX несчетны.

Категория компонентов

Хотя конструкция фундаментальной категории резко уменьшает размер гом-наборов DX, она оставляет его набор объектов неизменным. И все же, если X - геометрическая модель некоторой параллельной программы P, этот набор неисчислим. В категория компонентов был введен для поиска полной подкатегории фундаментальной категории с минимальным количеством объектов, хотя он содержит всю соответствующую информацию из оригинала.^[10] Если ${\displaystyle C}$ это без петель категория, затем ее категория компонентов ${\displaystyle \pi _{0}(C)}$ можно описать на языке теория категорий не предполагая ${\displaystyle C}$ фундаментальная категория некоторого ориентированного пространства. В этом случае интуитивное понятие незначительный морфизмов оформляется как совокупность ${\displaystyle \Sigma }$ морфизмов ${\displaystyle C}$ удовлетворяющие некоторым свойствам устойчивости и элементы которого оба сохраняют прошлый их источника и будущее своей цели. потом ${\displaystyle \pi _{0}(C)}$ определяется как частное^[11] ${\displaystyle C/\Sigma }$ что доказано, что эквивалентно локализация категории ${\displaystyle C[\Sigma ^{-1}]}$.^[12] Категория компонентов PV-программы P определяется как ${\displaystyle \pi _{0}(\pi _{1}(X))}$ куда ${\displaystyle X}$ является геометрической моделью P. Как интересное свойство, категория компонентов любой PV-программы конечный.

Темы

Направленная гомотопия высшего порядка

Теория направленной гомотопии более высокого порядка может быть развита с помощью цилиндр функтор и дорожка функтор, все конструкции и свойства выражаются в категориальной алгебре${\displaystyle ^{[1]}}$. Этот подход подчеркивает комбинаторную роль кубических множеств в ориентированной алгебраической топологии.

Подход модельной категории

Филипп Гоше предложил альтернативную формализацию понятия ориентированного пространства, которая, грубо говоря, основана на категории ориентированных графов, обогащенных топологическими пространствами, то есть набор стрелок от x к y наделен топологией. Такой подход порождает так называемую категорию Потоки,^[13] который допускает нетривиальный категория модели структура. Он представил топологическую версию (здесь топологическая категория означает категорию, оснащенную топологическим забывающим функтором по отношению к категории множеств), используя вариант d-пространств Марко Грандиса, многоточечные d-пространства.^[14] В недавних работах он построил аналогичные структуры категорий моделей на кубических многомерных переходных системах (отражающей подкатегорией которых является подкатегория многомерных переходных систем Каттани-Сассоне) ^[15] и на помеченных симметричных прекубических множествах.^[16] Общими чертами всех этих структур категорий модели являются: 1) наличие кофибрации {0,1} → {0}, идентифицирующей два состояния, 2) несжимаемость направленного сегмента, 3) сильная связь с компьютером. научное понятие бисимуляции. Цилиндры категории потоков и категории многоточечных d-пространств заставляют шары колебаться, сохраняя набор состояний постоянным. Все объекты модельных категорий потоков и многоточечных d-пространств фибрантны. Можно проверить, что цилиндры этих модельных категорий удовлетворяют свойству гомотопического обмена, введенному Лафон-Метайером-Вориткевичем в их работе о глобулярных омега-категориях. Цилиндры категории кубических переходных систем и помеченных симметричных прекубических наборов заставляют кубики колебаться, поддерживая постоянным набор состояний. Эти последние модельные структуры категорий построены с использованием докторской степени М. Ольшока, которая обобщает работу Сисинского по гомотопической теории топосов. В этих последних модельных структурах категорий все объекты являются конфибрантными.

Томас Каль доказал существование нетривиальной модельной категории pospace-пространств. Однако эта структура практически не отличается от модельной структуры над топологическими пространствами. Во многих отношениях это просто забвение частичного порядка объектов.

Кшиштоф Вориткевич использует передовые методы теории категорий моделей (а именно локализацию и завершение) для построения категории моделей из небольших категорий конечномерных направленных гиперкубов.

Фактически, любая попытка определить структуру модели над некоторой категорией ориентированных пространств должна столкнуться со следующим вопросом: должна ли карта включения ${\displaystyle \{*\}\hookrightarrow [0,1]}$ быть кофибрация, а слабая эквивалентность, оба (тривиальное кофибрирование) или ни одного. Например, если мы предположим ${\displaystyle \{0\}\hookrightarrow [0,1]}$ является тривиальным корасслоением, то ${\displaystyle \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}}$ (как подпространство направленной плоскости) эквивалентно точке, поскольку набор тривиальных корасслоений устойчив по отношению к выталкиванию.^[17] Этот факт является недопустимым для приложений информатики, хотя с точки зрения теории гомотопии это тривиальный факт, если мы отбросим функцию направления.

Направленные покрытия

...

Программного обеспечения

...

Рекомендации

1. Направленная алгебраическая топология: модели необратимых миров, Марко Грандис, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-76036-2 Бесплатная загрузка с сайт авторов
2. "Происхождение П-В". cs.nyu.edu. Получено 2017-05-03.
3. Топология и порядок. Леопольдо Нахбин, компания Van Nostrand, 1965 г.
4. Алгебраическая топология и параллелизм Л. Файструп, Э. Губо и М. Рауссен, Теоретическая информатика, 357, 2006, 241-278
5. Теория направленной гомотопии, I. Фундаментальная категория. Марко Грандис, Cahiers Top. Геом. Diff. Катег 44 (2003), 281-316
6. Удобная категория мест с предустановленным локальным порядком Сандживи Кришнан, 2009, Прикладные категориальные структуры, том. 17, 5, 445-466
7. Категории и группоиды, Филип Дж. Хиггинс, Ван Ностранд Рейнхольд, 1971
8. Топология и группоиды. Рональд Браун. ООО «Буксург», 2006 г.
9. Репараметризация непрерывных путей. Ульрих Фаренберг и Мартин Рауссен. Журнал гомотопии и родственных структур, вып. 2 (2), 2007, стр.93–117
10. Компоненты основной категории. Л. Файструп, Э. Губо, Э. Хокур и М. Рауссен. Приложение. Кот. Struct. 12 (1), 81-108, 2004 г.
11. Обобщенные сравнения - эпиморфизмы в ${\displaystyle Cat}$ Теория и приложения категорий 5 (11) 266–280, 1999 г.
12. Категории компонентов и категории без петель Эммануэль Хокур, Теория и приложения категорий 16 (27), 736–770, 2006 г.
13. Модельная категория гомотопической теории параллелизма П. Гоше, Гомологии, гомотопии и приложения, т. 5 (1): с.549-599, 2003.
14. Гомотопическая интерпретация глобулярного комплекса многоточечным d-пространством Гоше П. Теория и приложения категорий. 22, 588-621, 2009 г.
15. К гомотопической теории многомерных переходных систем Гоше П. Теория и приложения категорий. 25, 295-341, 2011 г.
16. Гомотопическая теория помеченных симметричных прекубических множеств, П. Гоше, (препринт ArXiv 2012)
17. Категории моделей. Марк Хови, AMS, 1999

дальнейшее чтение

• Направленная алгебраическая топология и параллелизм, Лизбет Файструп, Эрик Губо, Сэмюэль Мимрам, Эммануэль Окур, Мартин Рауссен
• Теория направленной гомотопии, II. Гомотопические конструкции, Марко Грандис, Теория и приложения категорий, Том. 10, № 14, 2002, стр. 369–391
• Несколько замечаний по ориентированной алгебраической топологии, Марко Грандис
• Направленные комбинаторные гомологии и некоммутативные торы, Марко Грандис, Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 138 (2005), 233-262