Пространство Дирихле - Dirichlet space

В математика, то Пространство Дирихле на домене ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {C} ,\,{\mathcal {D}}(\Omega )}$ (названный в честь Питер Густав Лежен Дирихле ), это воспроизводящее ядро ​​гильбертова пространства из голоморфные функции, содержащиеся в Харди космос ${\displaystyle H^{2}(\Omega )}$, для чего Интеграл Дирихле, определяется

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }|f^{\prime }(z)|^{2}\,dA={1 \over 4\pi }\iint _{\Omega }|\partial _{x}f|^{2}+|\partial _{y}f|^{2}\,dx\,dy}$

конечно (здесь dA обозначает площадь меры Лебега на комплексной плоскости ${\displaystyle \mathbb {C} }$). Последний является интегралом, входящим в Принцип Дирихле за гармонические функции. Интеграл Дирихле определяет полунорма на ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$. Это не норма в общем, поскольку ${\displaystyle {\mathcal {D}}(f)=0}$ в любое время ж это постоянная функция.

За ${\displaystyle f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )}$, мы определяем

${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,g):={1 \over \pi }\iint _{\Omega }f'(z){\overline {g'(z)}}\,dA(z).}$

Это полу-внутренний продукт и явно ${\displaystyle {\mathcal {D}}(f,\,f)={\mathcal {D}}(f)}$. Мы можем оборудовать ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )}$ с внутренний продукт данный

${\displaystyle \langle f,g\rangle _{{\mathcal {D}}(\Omega )}:=\langle f,\,g\rangle _{H^{2}(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f,\,g)\;\;\;\;\;(f,\,g\in {\mathcal {D}}(\Omega )),}$

куда ${\displaystyle \langle \cdot ,\,\cdot \rangle _{H^{2}(\Omega )}}$ это обычный внутренний продукт на ${\displaystyle H^{2}(\Omega ).}$ Соответствующая норма ${\displaystyle \|\cdot \|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}}$ дан кем-то

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )}^{2}:=\|f\|_{H^{2}(\Omega )}^{2}+{\mathcal {D}}(f)\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )).}$

Обратите внимание, что это определение не уникально, другой распространенный выбор - взять ${\displaystyle \|f\|^{2}=|f(c)|^{2}+{\mathcal {D}}(f)}$, для некоторых фиксированных ${\displaystyle c\in \Omega }$.

Пространство Дирихле не является алгебра, но пространство ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}$ это Банахова алгебра, относительно нормы

${\displaystyle \|f\|_{{\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )}:=\|f\|_{H^{\infty }(\Omega )}+{\mathcal {D}}(f)^{1/2}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}(\Omega )\cap H^{\infty }(\Omega )).}$

У нас обычно есть ${\displaystyle \Omega =\mathbb {D} }$ (в единичный диск из комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$), в таком случае ${\displaystyle {\mathcal {D}}(\mathbb {D} ):={\mathcal {D}}}$, и если

${\displaystyle f(z)=\sum _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\;\;\;\;\;(f\in {\mathcal {D}}),}$

тогда

${\displaystyle D(f)=\sum _{n\geq 1}n|a_{n}|^{2},}$

и

${\displaystyle \|f\|_{\mathcal {D}}^{2}=\sum _{n\geq 0}(n+1)|a_{n}|^{2}.}$

Четко, ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ содержит все многочлены и, в более общем плане, все функции ${\displaystyle f}$, голоморфный на ${\displaystyle \mathbb {D} }$ такой, что ${\displaystyle f'}$ является ограниченный на ${\displaystyle \mathbb {D} }$.

В воспроизводящее ядро из ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ в ${\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \{0\}}$ дан кем-то

${\displaystyle k_{w}(z)={\frac {1}{z{\overline {w}}}}\log \left({\frac {1}{1-z{\overline {w}}}}\right)\;\;\;\;\;(z\in \mathbb {C} \setminus \{0\}).}$

Смотрите также

• Банахово пространство
• Пространство Бергмана
• Харди космос
• Гильбертово пространство

Рекомендации

• Аркоцци, Никола; Рохберг, Ричард; Сойер, Эрик Т .; Вик, Бретт Д. (2011), «Пространство Дирихле: обзор» (PDF), Нью-Йорк J. Math., 17а: 45–86
• Эль-Фаллах, Омар; Келлай, Карим; Машреги, Джавад; Рэнсфорд, Томас (2014). Грунтовка по пространству Дирихле. Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-107-04752-5.