Инверсия Дразина - Drazin inverse

В математика, то Инверсия Дразина, названный в честь Майкл П. Дразин, это своего рода обобщенно обратный из матрица.

Позволять А - квадратная матрица. В показатель из А наименьшее неотрицательное целое число k такой, что ранг (А^k+1) = ранг (А^k). В Инверсия Дразина из А единственная матрица А^D что удовлетворяет

${displaystyle A^{k+1}A^{ ext{D}}=A^{k},quad A^{ ext{D}}AA^{ ext{D}}=A^{ ext{D}},quad AA^{ ext{D}}=A^{ ext{D}}A.}$

Это не обобщенно обратный в классическом смысле, поскольку ${displaystyle AA^{ ext{D}}Aeq A}$ в общем.

• Если А обратима с обратный ${displaystyle A^{-1}}$, тогда ${displaystyle A^{ ext{D}}=A^{-1}}$.
• Обращение Дразина к матрице индекса 0 или 1 называется группа обратная или {1,2,5} -обратный и обозначен А^#. Групповая инверсия может быть определена, эквивалентно, свойствами AA^#А = А, А^#AA^# = А^#, и AA^# = А^#А.
• А матрица проекции п, определяемая как матрица такая, что п² = п, имеет индекс 1 (или 0) и имеет инверсию Дразина п^D = п.
• Если A - это нильпотентная матрица (например, матрица сдвига ), тогда ${displaystyle A^{D}=0.}$

Последовательность сверхмощности

${displaystyle A_{i+1}:=A_{i}+A_{i}left(I-AA_{i}ight);}$ для сведения заметим, что ${displaystyle A_{i+j}=A_{i}sum _{k=0}^{2^{j}-1}left(I-AA_{i}ight)^{k}.}$

Для ${displaystyle A_{0}:=alpha A}$ или любой регулярный ${displaystyle A_{0}}$ с участием ${displaystyle A_{0}A=AA_{0}}$ выбран так, что ${displaystyle left|A_{0}-A_{0}AA_{0}ight|<left|A_{0}ight|}$ последовательность стремится к своей инверсии Дразина,

${displaystyle A_{i}ightarrow A^{ ext{D}}.}$

Смотрите также

• Обобщенный обратный с ограничениями
• Обратный элемент
• Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза

использованная литература

• Дразин, М. П. (1958). «Псевдообратные в ассоциативных кольцах и полугруппах». Американский математический ежемесячник. 65 (7): 506–514. Дои:10.2307/2308576. JSTOR  2308576.
• Чжэн, Бинг; Бапат, Р. Б. (2004). «Обобщенное обратное A (2) T, S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычисления. 155 (2): 407. Дои:10.1016 / S0096-3003 (03) 00786-0.

внешние ссылки

• Инверсия Дразина на Планета Математика
• Групповая инверсия на Планета Математика