Обобщенная обратная - Generalized inverse

«Псевдообратная» перенаправляется сюда. Для обратного преобразования Мура – ​​Пенроуза, иногда называемого «псевдообратным», см. Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза.

В математика, и в частности, алгебра, а обобщенно обратный элемента Икс это элемент у который имеет некоторые свойства обратный элемент но не обязательно все. Обобщенные обратные могут быть определены в любом математическая структура это включает ассоциативный умножение, то есть в полугруппа. В этой статье описаны обобщенные обратные матрица ${displaystyle A}$.

Формально, учитывая матрицу ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes m}}$ и матрица ${displaystyle A^{mathrm {g} }in mathbb {R} ^{m imes n}}$, ${displaystyle A^{mathrm {g} }}$ является обобщенным обратным к ${displaystyle A}$ если он удовлетворяет условию ${displaystyle AA^{mathrm {g} }A=A.}$^[1][2][3]

Цель построения обобщенной обратной матрицы состоит в том, чтобы получить матрицу, которая может служить в некотором смысле обратной для более широкого класса матриц, чем обратимые матрицы. Обобщенный обратный существует для произвольной матрицы, и когда матрица имеет обычный обратный, эта инверсия является ее единственной обобщенной инверсией.^[4]

Мотивация

Рассмотрим линейная система

${displaystyle Ax=y}$

куда ${displaystyle A}$ является ${displaystyle n imes m}$ матрица и ${displaystyle yin {mathcal {R}}(A),}$ то пространство столбца из ${displaystyle A}$. Если ${displaystyle A}$ является неособый (что подразумевает ${displaystyle n=m}$) тогда ${displaystyle x=A^{-1}y}$ будет решением системы. Обратите внимание, что если ${displaystyle A}$ неособо, то

${displaystyle AA^{-1}A=A.}$

Теперь предположим ${displaystyle A}$ прямоугольная (${displaystyle neq m}$), или квадрат и единственное число. Тогда нам нужен правильный кандидат ${displaystyle G}$ порядка ${displaystyle m imes n}$ такой, что для всех ${displaystyle yin {mathcal {R}}(A),}$

${displaystyle AGy=y.}$^[5]

То есть, ${displaystyle x=Gy}$ является решением линейной системы ${displaystyle Ax=y}$. Эквивалентно нам нужна матрица ${displaystyle G}$ порядка ${displaystyle m imes n}$ такой, что

${displaystyle AGA=A.}$

Следовательно, мы можем определить обобщенно обратный или же g-инверсия следующим образом: Учитывая ${displaystyle n imes m}$ матрица ${displaystyle A}$, ${displaystyle m imes n}$ матрица ${displaystyle G}$ называется обобщенным обратным к ${displaystyle A}$ если ${displaystyle AGA=A.}$‍^[6][7][8] Матрица ${displaystyle A^{-1}}$ был назван обычный обратный из ${displaystyle A}$ некоторыми авторами.^[9]

Типы

Условия Пенроуза определяют различные обобщенные обратные для ${displaystyle Ain mathbb {R} ^{n imes m}}$ и ${displaystyle A^{mathrm {g} }in mathbb {R} ^{m imes n}:}$

1. ${displaystyle AA^{mathrm {g} }A=A}$
2. ${displaystyle A^{mathrm {g} }AA^{mathrm {g} }=A^{mathrm {g} }}$
3. ${displaystyle left(AA^{mathrm {g} }ight)^{*}=AA^{mathrm {g} }}$
4. ${displaystyle left(A^{mathrm {g} }Aight)^{*}=A^{mathrm {g} }A,}$

куда ${displaystyle {}^{*}}$ обозначает транспонирование конъюгата. Если ${displaystyle A^{mathrm {g} }}$ удовлетворяет первому условию, то это обобщенно обратный из ${displaystyle A}$. Если он удовлетворяет первым двум условиям, то это рефлексивный обобщенный обратный из ${displaystyle A}$. Если он удовлетворяет всем четырем условиям, то это псевдообратный из ${displaystyle A}$.^{[10][11][12][13]} Псевдообратную форму иногда называют Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза, после новаторских работ Э. Х. Мур и Роджер Пенроуз.^{[14][15][16][17][18]}

Когда ${displaystyle A}$ неособо, любая обобщенно обратная ${displaystyle A^{mathrm {g} }=A^{-1}}$ и уникальна, но во всех остальных случаях существует бесконечное число матриц, удовлетворяющих условию (1). Однако обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза уникально.^[19]

Есть и другие виды обобщенного обратного:

• Односторонний обратный (правый инверсный или левый инверсный)
  • Обратный справа: если матрица ${displaystyle A}$ имеет размеры ${displaystyle n imes m}$ и ${displaystyle { ext{rank}}(A)=n,}$ тогда существует ${displaystyle m imes n}$ матрица ${displaystyle A_{ ext{R}}^{-1}}$ называется правый обратный из ${displaystyle A}$ такой, что ${displaystyle AA_{ ext{R}}^{-1}=I_{n},}$ куда ${displaystyle I_{n}}$ это ${displaystyle n imes n}$ единичная матрица.
  • Левая инверсия: если матрица ${displaystyle A}$ имеет размеры ${displaystyle n imes m}$ и ${displaystyle operatorname {rank} (A)=m}$, то существует ${displaystyle m imes n}$ матрица ${displaystyle A_{ ext{L}}^{-1}}$ называется левый обратный из ${displaystyle A}$ такой, что ${displaystyle A_{ ext{L}}^{-1}A=I_{m},}$ куда ${displaystyle I_{m}}$ это ${displaystyle m imes m}$ единичная матрица.^[20]

• Обратное по Ботту – Даффину
• Инверсия Дразина

Примеры

Рефлексивное обобщенное обратное

Позволять

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2&34&5&67&8&9end{bmatrix}},quad G={egin{bmatrix}-{frac {5}{3}}&{frac {2}{3}}&0[4pt]{frac {4}{3}}&-{frac {1}{3}}&0[4pt]0&0&0end{bmatrix}}.}$

С ${displaystyle det(A)=0}$, ${displaystyle A}$ сингулярна и не имеет регулярного обратного. Тем не мение, ${displaystyle A}$ и ${displaystyle G}$ удовлетворяют условиям (1) и (2), но не (3) или (4). Следовательно, ${displaystyle G}$ является рефлексивным обобщенным обратным к ${displaystyle A}$.

Односторонний обратный

Позволять

${displaystyle A={egin{bmatrix}1&2&34&5&6end{bmatrix}},quad A_{mathrm {R} }^{-1}={egin{bmatrix}-{frac {17}{18}}&{frac {8}{18}}[4pt]-{frac {2}{18}}&{frac {2}{18}}[4pt]{frac {13}{18}}&-{frac {4}{18}}end{bmatrix}}.}$

С ${displaystyle A}$ не квадратный, ${displaystyle A}$ не имеет регулярного обратного. Тем не мение, ${displaystyle A_{mathrm {R} }^{-1}}$ это правая инверсия ${displaystyle A}$. Матрица ${displaystyle A}$ не имеет левого обратного.

Инверсия других полугрупп (или колец)

Элемент б является обобщенным обратным к элементу а если и только если ${displaystyle acdot bcdot a=a}$, в любой полугруппе (или звенеть, поскольку умножение функция в любом кольце является полугруппой).

Обобщенные обратные элемента 3 в кольце ${displaystyle Z_{12}}$ равны 3, 7 и 11, поскольку в кольце ${displaystyle Z_{12}}$:

${displaystyle 3*3*3=3}$

${displaystyle 3*7*3=3}$

${displaystyle 3*11*3=3}$

Обобщенные обратные элементу 4 в кольце ${displaystyle Z_{12}}$ равны 1, 4, 7 и 10, поскольку в кольце ${displaystyle Z_{12}}$:

${displaystyle 4*1*4=4}$

${displaystyle 4*4*4=4}$

${displaystyle 4*7*4=4}$

${displaystyle 4*10*4=4}$

Если элемент а в полугруппе (или кольце) имеет обратный, обратный должен быть единственным обобщенно обратным этому элементу, как элементы 1, 5, 7 и 11 в кольце ${displaystyle Z_{12}}$.

На ринге ${displaystyle Z_{12}}$, любой элемент является обобщенным обратным к 0, однако, 2 не имеет обобщенного обратного, так как нет б в ${displaystyle Z_{12}}$ такой, что 2 *б*2 = 2.

Строительство

Следующие характеристики легко проверить:

1. Правый инверсия неквадратная матрица ${displaystyle A}$ дан кем-то ${displaystyle A_{mathrm {R} }^{-1}=A^{mathsf {T}}left(AA^{mathsf {T}}ight)^{-1}}$, при условии А имеет полный ранг строки.^[21]
2. Левая инверсия неквадратной матрицы ${displaystyle A}$ дан кем-то ${displaystyle A_{mathrm {L} }^{-1}=left(A^{mathsf {T}}Aight)^{-1}A^{mathsf {T}}}$, при условии А имеет полный ранг столбца.^[22]
3. Если ${displaystyle A=BC}$ это факторизация рангов, тогда ${displaystyle G=C_{mathrm {R} }^{-1}B_{mathrm {L} }^{-1}}$ является g-инверсией ${displaystyle A}$, куда ${displaystyle C_{mathrm {R} }^{-1}}$ это правая инверсия ${displaystyle C}$ и ${displaystyle B_{mathrm {L} }^{-1}}$ остается инверсией ${displaystyle B}$.
4. Если ${displaystyle A=P{egin{bmatrix}I_{r}&0�&0end{bmatrix}}Q}$ для любых невырожденных матриц ${displaystyle P}$ и ${displaystyle Q}$, тогда ${displaystyle G=Q^{-1}{egin{bmatrix}I_{r}&UW&Vend{bmatrix}}P^{-1}}$ является обобщенным обратным к ${displaystyle A}$ для произвольных ${displaystyle U,V}$ и ${displaystyle W}$.
5. Позволять ${displaystyle A}$ быть в звании ${displaystyle r}$. Без ограничения общности пусть

   ${displaystyle A={egin{bmatrix}B&CD&Eend{bmatrix}},}$

   куда ${displaystyle B_{r imes r}}$ - неособая подматрица матрицы ${displaystyle A}$. Потом,

   ${displaystyle G={egin{bmatrix}B^{-1}&0�&0end{bmatrix}}}$

   является обобщенным обратным к ${displaystyle A}$.
6. Позволять ${displaystyle A}$ имеют сингулярное разложение ${displaystyle U{oldsymbol {Sigma }}V^{*}}$ (куда ${displaystyle V^{*}}$ является сопряженным транспонированием ${displaystyle V}$). Тогда псевдообратное ${displaystyle A}$ является

   ${displaystyle A^{+}=V{oldsymbol {Sigma }}^{+}U^{*}}$

   где диагональная матрица Σ⁺ это псевдообратное Σ, который образуется заменой каждого ненулевого диагонального элемента его взаимный и транспонируем полученную матрицу.^[23]

Использует

Любая обобщенная инверсия может использоваться для определения того, система линейных уравнений есть какие-то решения, и если да, то дать их все. Если существуют какие-либо решения для п × м линейная система

${displaystyle Ax=b}$,

с вектором ${displaystyle x}$ неизвестных и вектор ${displaystyle b}$ констант, все решения имеют вид

${displaystyle x=A^{mathrm {g} }b+left[I-A^{mathrm {g} }Aight]w}$,

параметрический на произвольном векторе ${displaystyle w}$, куда ${displaystyle A^{mathrm {g} }}$ любой обобщенно обратный ${displaystyle A}$. Решения существуют тогда и только тогда, когда ${displaystyle A^{mathrm {g} }b}$ является решением, то есть тогда и только тогда, когда ${displaystyle AA^{mathrm {g} }b=b}$. Если А имеет полный ранг столбца, выражение в квадратных скобках в этом уравнении является нулевой матрицей, поэтому решение является единственным.^[24]

Свойства согласованности преобразования

В практических приложениях необходимо определить класс матричных преобразований, которые должны быть сохранены обобщенным обратным. Например, обратное преобразование Мура-Пенроуза, ${displaystyle A^{mathrm {P} },}$ удовлетворяет следующему определению согласованности относительно преобразований с участием унитарных матриц U и V:

${displaystyle (UAV)^{mathrm {P} }=V^{*}A^{mathrm {P} }U^{*}}$.

Инверсия Дразина, ${displaystyle A^{mathrm {D} }}$ удовлетворяет следующему определению согласованности по отношению к преобразованиям подобия, включающим невырожденную матрицу S:

${displaystyle left(SAS^{-1}ight)^{mathrm {D} }=SA^{mathrm {D} }S^{-1}}$.

Единично-согласованная (UC) инверсия,^[25] ${displaystyle A^{mathrm {U} },}$ удовлетворяет следующему определению согласованности относительно преобразований, содержащих невырожденные диагональные матрицы D и E:

${displaystyle (DAE)^{mathrm {U} }=E^{-1}A^{mathrm {U} }D^{-1}}$.

Тот факт, что обратное преобразование Мура-Пенроуза обеспечивает согласованность в отношении вращений (которые являются ортонормированными преобразованиями), объясняет его широкое использование в физике и других приложениях, в которых необходимо сохранять евклидовы расстояния. Обратный UC, напротив, применим, когда ожидается, что поведение системы будет инвариантным в отношении выбора единиц для различных переменных состояния, например, миль против километров.

Смотрите также

• Псевдообратная блочная матрица
• Доказательства обратного преобразования Мура – ​​Пенроуза.
• Регулярная полугруппа

Примечания

1. Бен-Исраэль и Гревиль (2003), стр. 2,7)
2. Накамура (1991, стр. 41–42).
3. Рао и Митра (1971), стр. VII, 20)
4. Бен-Исраэль и Гревиль (2003), стр. 2,7)
5. Рао и Митра (1971), п. 24)
6. Бен-Исраэль и Гревиль (2003), стр. 2,7)
7. Накамура (1991, стр. 41–42).
8. Рао и Митра (1971), стр. VII, 20)
9. Рао и Митра (1971), стр. 19–20).
10. Бен-Исраэль и Гревиль (2003), п. 7)
11. Кэмпбелл и Мейер (1991, п. 9) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFCampbellMeyer1991 (помощь)
12. Накамура (1991, стр. 41–42).
13. Рао и Митра (1971), стр. 20,28,51)
14. Бен-Исраэль и Гревиль (2003), п. 7)
15. Кэмпбелл и Мейер (1991, п. 10) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFCampbellMeyer1991 (помощь)
16. Джеймс (1978, п. 114) Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFJames1978 (помощь)
17. Накамура (1991, п. 42)
18. Рао и Митра (1971), п. 50–51)
19. Джеймс (1978, стр. 113–114). Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFJames1978 (помощь)
20. Рао и Митра (1971), п. 19)
21. Рао и Митра (1971), п. 19)
22. Рао и Митра (1971), п. 19)
23. Хорн и Джонсон (1985), стр. 421)
24. Джеймс (1978, стр. 109–110). Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFJames1978 (помощь)
25. Ульманн, Дж. (2018), Обобщенная обратная матрица, совместимая с диагональными преобразованиями, SIAM Journal on Matrix Analysis, 239: 2, pp. 781–800.

Рекомендации

• Бен-Исраэль, Ади; Гревиль, Томас Н. (2003). Обобщенные обратные: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007 / b97366. ISBN  978-0-387-00293-4.
• Кэмпбелл, S. L .; Мейер-младший, К. Д. (1991). Обобщенные обращения линейных преобразований.. Дувр. ISBN  978-0-486-66693-8.
• Хорн, Роджер А .; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-38632-6.
• Джеймс, М. (июнь 1978 г.). «Обобщенное обратное». Математический вестник. 62 (420): 109–114. Дои:10.2307/3617665. JSTOR  3617665.
• Накамура, Йошихико (1991). Продвинутая робототехника: резервирование и оптимизация. Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0201151985.
• Рао, Ч. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. стр.240. ISBN  978-0-471-70821-6.
• Чжэн, Б; Бапат, Р. Б. (2004). «Обобщенное обратное A (2) T, S и ранговое уравнение». Прикладная математика и вычисления. 155 (2): 407–415. Дои:10.1016 / S0096-3003 (03) 00786-0.