Доказательства обратного преобразования Мура – ​​Пенроуза. - Proofs involving the Moore–Penrose inverse

В линейная алгебра, то Обратное преобразование Мура – ​​Пенроуза это матрица который удовлетворяет некоторым, но не обязательно всем свойствам обратная матрица. В этой статье собраны различные доказательства с участием инверсии Мура-Пенроуза.

Определение

Позволять ${\displaystyle A}$ быть м-к-п матрица над полем ${\displaystyle \mathbb {K} }$, куда ${\displaystyle \mathbb {K} }$, это либо поле ${\displaystyle \mathbb {R} }$, из действительные числа или поле ${\displaystyle \mathbb {C} }$, из сложные числа. Есть уникальный п-к-м матрица ${\displaystyle A^{+}}$ над ${\displaystyle \mathbb {K} }$, который удовлетворяет всем следующим четырем критериям, известным как условия Мура-Пенроуза:

1. ${\displaystyle AA^{+}A=A}$,
2. ${\displaystyle A^{+}AA^{+}=A^{+}}$,
3. ${\displaystyle \left(AA^{+}\right)^{*}=AA^{+}}$,
4. ${\displaystyle \left(A^{+}A\right)^{*}=A^{+}A}$.

${\displaystyle A^{+}}$ называется инверсией Мура-Пенроуза ${\displaystyle A}$.^[1][2][3][4] Заметь ${\displaystyle A}$ также является инверсией Мура-Пенроуза ${\displaystyle A^{+}}$. То есть, ${\displaystyle \left(A^{+}\right)^{+}=A}$.

Полезные леммы

Эти результаты используются в доказательствах ниже. В следующих леммах А матрица со сложными элементами и п колонны B матрица со сложными элементами и п ряды.

Лемма 1. А^*А = 0 ⇒ А = 0

Предположение гласит, что все элементы А * А равны нулю. Следовательно,

${\displaystyle 0=\operatorname {Tr} \left(A^{*}A\right)=\sum _{j=1}^{n}\left(A^{*}A\right)_{jj}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}\left(A^{*}\right)_{ji}A_{ij}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\left|A_{ij}\right|^{2}}$.

Поэтому все ${\displaystyle A_{ij}}$ равно 0, т.е. ${\displaystyle A=0}$.

Лемма 2. А^*AB = 0 ⇒ AB = 0

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=A^{*}AB&\\\Rightarrow 0&=B^{*}A^{*}AB&\\\Rightarrow 0&=(AB)^{*}(AB)&\\\Rightarrow 0&=AB&({\text{by Lemma 1}})\end{aligned}}}$

Лемма 3. ABB^* = 0 ⇒ AB = 0

Это доказывается аналогично рассуждениям леммы 2 (или просто взяв Эрмитово сопряжение ).

Существование и уникальность

Доказательство уникальности

Позволять ${\displaystyle A}$ быть матрицей над ${\displaystyle \mathbb {R} }$ или же ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Предположим, что ${\displaystyle {A_{1}^{+}}}$ и ${\displaystyle {A_{2}^{+}}}$ являются инверсиями Мура-Пенроуза ${\displaystyle A}$. Заметьте, что

${\displaystyle A{A_{1}^{+}}{\overset {(1)}{=}}(A{A_{2}^{+}}A){A_{1}^{+}}=(A{A_{2}^{+}})(A{A_{1}^{+}}){\overset {(3)}{=}}(A{A_{2}^{+}})^{*}(A{A_{1}^{+}})^{*}={A_{2}^{+}}^{*}(A{A_{1}^{+}}A)^{*}{\overset {(1)}{=}}{A_{2}^{+}}^{*}A^{*}=(A{A_{2}^{+}})^{*}{\overset {(3)}{=}}A{A_{2}^{+}}.}$

Аналогично заключаем, что ${\displaystyle {A_{1}^{+}}A={A_{2}^{+}}A}$. Доказательство завершается замечанием, что тогда

${\displaystyle {A_{1}^{+}}{\overset {(2)}{=}}{A_{1}^{+}}A{A_{1}^{+}}={A_{1}^{+}}A{A_{2}^{+}}=A_{2}^{+}A{A_{2}^{+}}{\overset {(2)}{=}}{A_{2}^{+}}.}$

Доказательство существования

Доказательство проводится поэтапно.

Матрицы 1 на 1

Для любого ${\displaystyle x\in \mathbb {K} }$, определим:

${\displaystyle x^{+}:={\begin{cases}x^{-1},&{\mbox{if }}x\neq 0\\0,&{\mbox{if }}x=0\end{cases}}}$

Легко заметить, что ${\displaystyle x^{+}}$ является псевдообратным ${\displaystyle x}$ (интерпретируется как матрица 1 на 1).

Квадратные диагональные матрицы

Позволять ${\displaystyle D}$ быть п-к-п матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ с нулями диагональ. Мы определяем ${\displaystyle D^{+}}$ как п-к-п матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ с ${\displaystyle \left(D^{+}\right)_{ij}:=\left(D_{ij}\right)^{+}}$ как определено выше. Пишем просто ${\displaystyle D_{ij}^{+}}$ за ${\displaystyle \left(D^{+}\right)_{ij}=\left(D_{ij}\right)^{+}}$.

Заметь ${\displaystyle D^{+}}$ также является матрицей с нулями по диагонали.

Теперь покажем, что ${\displaystyle D^{+}}$ является псевдообратным ${\displaystyle D}$:

1. ${\displaystyle \left(DD^{+}D\right)_{ij}=D_{ij}D_{ij}^{+}D_{ij}=D_{ij}\Rightarrow DD^{+}D=D}$
2. ${\displaystyle \left(D^{+}DD^{+}\right)_{ij}=D_{ij}^{+}D_{ij}D_{ij}^{+}=D_{ij}^{+}\Rightarrow D^{+}DD^{+}=D^{+}}$
3. ${\displaystyle \left(DD^{+}\right)_{ij}^{*}={\overline {\left(DD^{+}\right)_{ji}}}={\overline {D_{ji}D_{ji}^{+}}}=\left(D_{ji}D_{ji}^{+}\right)^{*}=D_{ji}D_{ji}^{+}=D_{ij}D_{ij}^{+}\Rightarrow \left(DD^{+}\right)^{*}=DD^{+}}$
4. ${\displaystyle \left(D^{+}D\right)_{ij}^{*}={\overline {\left(D^{+}D\right)_{ji}}}={\overline {D_{ji}^{+}D_{ji}}}=\left(D_{ji}^{+}D_{ji}\right)^{*}=D_{ji}^{+}D_{ji}=D_{ij}^{+}D_{ij}\Rightarrow \left(D^{+}D\right)^{*}=D^{+}D}$

Общие неквадратные диагональные матрицы

Позволять ${\displaystyle D}$ быть м-к-п матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ с нулями главная диагональ, куда м и п неравны. То есть, ${\displaystyle D_{ij}=d_{i}}$ для некоторых ${\displaystyle d_{i}\in \mathbb {K} }$ когда ${\displaystyle i=j}$ и ${\displaystyle D_{ij}=0}$ иначе.

Рассмотрим случай, когда ${\displaystyle n>m}$. Тогда мы можем переписать ${\displaystyle D=\left[D_{0}\,\,\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\right]}$ складывая где ${\displaystyle D_{0}}$ квадратная диагональ м-к-м матрица и ${\displaystyle \mathbf {0} _{m\times (n-m)}}$ это м-по- (п-м) нулевая матрица. Мы определяем ${\displaystyle D^{+}\equiv {\begin{bmatrix}D_{0}^{+}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}\end{bmatrix}}}$ как п-к-м матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$, с ${\displaystyle D_{0}^{+}}$ псевдообратное ${\displaystyle D_{0}}$ определено выше, и ${\displaystyle \mathbf {0} _{(n-m)\times m}}$ в (н-м)-к-м нулевая матрица. Теперь покажем, что ${\displaystyle D^{+}}$ является псевдообратным ${\displaystyle D}$:

1. Умножая блочные матрицы, ${\displaystyle DD^{+}=D_{0}D_{0}^{+}+\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\mathbf {0} _{(n-m)\times m}=D_{0}D_{0}^{+},}$ поэтому по свойству 1 для квадратных диагональных матриц ${\displaystyle D_{0}}$ доказано в предыдущем разделе,${\displaystyle DD^{+}D=D_{0}D_{0}^{+}\left[D_{0}\,\,\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\right]=\left[D_{0}D_{0}^{+}D_{0}\,\,\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\right]=\left[D_{0}\,\,\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\right]=D}$.
2. По аналогии, ${\displaystyle D^{+}D={\begin{bmatrix}D_{0}^{+}D_{0}&\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}&\mathbf {0} _{(n-m)\times (n-m)}\end{bmatrix}}}$, так ${\displaystyle D^{+}DD^{+}={\begin{bmatrix}D_{0}^{+}D_{0}&\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}&\mathbf {0} _{(n-m)\times (n-m)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}D_{0}^{+}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}D_{0}^{+}D_{0}D_{0}^{+}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}\end{bmatrix}}=D^{+}.}$
3. По 1 и свойству 3 для квадратных диагональных матриц ${\displaystyle \left(DD^{+}\right)^{*}=\left(D_{0}D_{0}^{+}\right)^{*}=D_{0}D_{0}^{+}=DD^{+}}$.
4. По 2 и свойству 4 для квадратных диагональных матриц ${\displaystyle \left(D^{+}D\right)^{*}={\begin{bmatrix}\left(D_{0}^{+}D_{0}\right)^{*}&\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}&\mathbf {0} _{(n-m)\times (n-m)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}D_{0}^{+}D_{0}&\mathbf {0} _{m\times (n-m)}\\\mathbf {0} _{(n-m)\times m}&\mathbf {0} _{(n-m)\times (n-m)}\end{bmatrix}}=D^{+}D.}$

Существование для ${\displaystyle D}$ такой, что ${\displaystyle m>n}$ следует путем обмена ролями ${\displaystyle D}$ и ${\displaystyle D^{+}}$ в ${\displaystyle n>m}$ случае и используя тот факт, что ${\displaystyle \left(D^{+}\right)^{+}=D}$.

Произвольные матрицы

В разложение по сингулярным числам Теорема утверждает, что существует факторизация вида

${\displaystyle A=U\Sigma V^{*}}$

куда:

${\displaystyle U}$ является м-к-м унитарная матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$.

${\displaystyle \Sigma }$ является м-к-п матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$ с неотрицательными действительными числами на диагональ и нули по диагонали.

${\displaystyle V}$ является п-к-п унитарная матрица над ${\displaystyle \mathbb {K} }$.^[5]

Определять ${\displaystyle A^{+}}$ в качестве ${\displaystyle V\Sigma ^{+}U^{*}}$.

Теперь покажем, что ${\displaystyle A^{+}}$ является псевдообратным ${\displaystyle A}$:

1. ${\displaystyle AA^{+}A=U\Sigma V^{*}V\Sigma ^{+}U^{*}U\Sigma V^{*}=U\Sigma \Sigma ^{+}\Sigma V^{*}=U\Sigma V^{*}=A}$
2. ${\displaystyle A^{+}AA^{+}=V\Sigma ^{+}U^{*}U\Sigma V^{*}V\Sigma ^{+}U^{*}=V\Sigma ^{+}\Sigma \Sigma ^{+}U^{*}=V\Sigma ^{+}U^{*}=A^{+}}$
3. ${\displaystyle \left(AA^{+}\right)^{*}=\left(U\Sigma V^{*}V\Sigma ^{+}U^{*}\right)^{*}=\left(U\Sigma \Sigma ^{+}U^{*}\right)^{*}=U\left(\Sigma \Sigma ^{+}\right)^{*}U^{*}=U\left(\Sigma \Sigma ^{+}\right)U^{*}=U\Sigma V^{*}V\Sigma ^{+}U^{*}=AA^{+}}$
4. ${\displaystyle \left(A^{+}A\right)^{*}=\left(V\Sigma ^{+}U^{*}U\Sigma V^{*}\right)^{*}=\left(V\Sigma ^{+}\Sigma V^{*}\right)^{*}=V\left(\Sigma ^{+}\Sigma \right)^{*}V^{*}=V\left(\Sigma ^{+}\Sigma \right)V^{*}=V\Sigma ^{+}U^{*}U\Sigma V^{*}=A^{+}A}$

Основные свойства

${\displaystyle {A^{*}}^{+}={A^{+}}^{*}}$

Доказательство работает, показывая, что ${\displaystyle {A^{+}}^{*}}$ удовлетворяет четырем критериям псевдообратности ${\displaystyle A^{*}}$. Поскольку это просто замена, здесь это не показано.

Доказательство этой связи дано в упражнении 1.18c в.^[6]

Идентичности

А⁺ = А⁺ А^+* А^*

${\displaystyle A^{+}=A^{+}AA^{+}}$ и ${\displaystyle AA^{+}=\left(AA^{+}\right)^{*}}$ подразумевают, что ${\displaystyle A^{+}=A^{+}\left(AA^{+}\right)^{*}=A^{+}A^{+^{*}}A^{*}}$.

А⁺ = А^* А^+* А⁺

${\displaystyle A^{+}=A^{+}AA^{+}}$ и ${\displaystyle A^{+}A=\left(A^{+}A\right)^{*}}$ подразумевают, что ${\displaystyle A^{+}=\left(A^{+}A\right)^{*}A^{+}=A^{*}A^{+*}A^{+}}$.

А = А^+* А^* А

${\displaystyle A=AA^{+}A}$ и ${\displaystyle AA^{+}=\left(AA^{+}\right)^{*}}$ подразумевают, что ${\displaystyle A=\left(AA^{+}\right)^{*}A=A^{+^{*}}A^{*}A}$.

А = А А^* А^+*

${\displaystyle A=AA^{+}A}$ и ${\displaystyle A^{+}A=\left(A^{+}A\right)^{*}}$ подразумевают, что ${\displaystyle A=A\left(A^{+}A\right)^{*}=AA^{*}A^{+^{*}}}$.

А^* = А^* А А⁺

Это сопряженное транспонирование ${\displaystyle A=A^{+^{*}}A^{*}A}$ над.

А^* = А⁺ А А^*

Это сопряженное транспонирование ${\displaystyle A=AA^{*}A^{+^{*}}}$ над.

Сведение к эрмитовскому случаю

Результаты этого раздела показывают, что вычисление псевдообратной матрицы сводится к ее построению в эрмитовом случае. Достаточно показать, что предполагаемые конструкции удовлетворяют определяющим критериям.

А⁺ = А^* (А А^*)⁺

Это соотношение дано в упражнении 18 (d) в,^[6] читателю, чтобы доказать, "для каждой матрицы А". Написать ${\displaystyle D=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}}$. Заметьте, что

${\displaystyle {\begin{aligned}&&AA^{*}&=AA^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}AA^{*}&\\&\Leftrightarrow &AA^{*}&=ADAA^{*}&\\&\Leftrightarrow &0&=(AD-I)AA^{*}&\\&\Leftrightarrow &0&=ADA-A&({\text{by Lemma 3}})\\&\Leftrightarrow &A&=ADA&\end{aligned}}}$

По аналогии, ${\displaystyle \left(AA^{*}\right)^{+}AA^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}=\left(AA^{*}\right)^{+}}$ подразумевает, что ${\displaystyle A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}AA^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}}$ т.е. ${\displaystyle DAD=D}$.

Кроме того, ${\displaystyle AD=AA^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}}$ так ${\displaystyle AD=(AD)^{*}}$.

Ну наконец то, ${\displaystyle DA=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{+}A}$ подразумевает, что ${\displaystyle (DA)^{*}=A^{*}\left(\left(AA^{*}\right)^{+}\right)^{*}A=A^{*}\left(\left(AA^{*}\right)^{+}\right)A=DA}$.

Следовательно, ${\displaystyle D=A^{+}}$.

А⁺ = (А^* А)⁺А^*

Это доказывается аналогично предыдущему случаю, используя Лемма 2 вместо леммы 3.

Товары

Для первых трех доказательств рассмотрим произведения C = AB.

А имеет ортонормированные столбцы

Если ${\displaystyle A}$ имеет ортонормированные столбцы, т.е. ${\displaystyle A^{*}A=I}$ тогда ${\displaystyle A^{+}=A^{*}}$.Написать ${\displaystyle D=B^{+}A^{+}=B^{+}A^{*}}$. Мы показываем, что ${\displaystyle D}$ удовлетворяет критериям Мура-Пенроуза.

${\displaystyle {\begin{aligned}CDC&=ABB^{+}A^{*}AB=ABB^{+}B=AB=C,\\[4pt]DCD&=B^{+}A^{*}ABB^{+}A^{*}=B^{+}BB^{+}A^{*}=B^{+}A^{*}=D,\\[4pt](CD)^{*}&=D^{*}B^{*}A^{*}=A\left(B^{+}\right)^{*}B^{*}A^{*}=A\left(BB^{+}\right)^{*}A^{*}=ABB^{+}A^{*}=CD,\\[4pt](DC)^{*}&=B^{*}A^{*}D^{*}=B^{*}A^{*}A\left(B^{+}\right)^{*}=\left(B^{+}B\right)^{*}=B^{+}B=B^{+}A^{*}AB=DC\end{aligned}}}$.

Следовательно, ${\displaystyle D=C^{+}}$.

B имеет ортонормированные строки

Если B имеет ортонормированные строки, т.е. ${\displaystyle BB^{*}=I}$ тогда ${\displaystyle B^{+}=B^{*}}$. Написать ${\displaystyle D=B^{+}A^{+}=B^{*}A^{+}}$. Мы показываем, что ${\displaystyle D}$ удовлетворяет критериям Мура-Пенроуза.

${\displaystyle {\begin{aligned}CDC&=ABB^{*}A^{+}AB=AA^{+}AB=AB=C,\\[4pt]DCD&=B^{*}A^{+}ABB^{*}A^{+}=B^{*}A^{+}AA^{+}=B^{*}A^{+}=D,\\[4pt](CD)^{*}&=D^{*}B^{*}A^{*}=\left(A^{+}\right)^{*}BB^{*}A^{*}=\left(A^{+}\right)^{*}A^{*}=\left(AA^{+}\right)^{*}=AA^{+}=ABB^{*}A^{+}=CD,\\[4pt](DC)^{*}&=B^{*}A^{*}D^{*}=B^{*}A^{*}\left(A^{+}\right)^{*}B=B^{*}\left(A^{+}A\right)^{*}B=B^{*}A^{+}AB=DC\end{aligned}}}$.

Следовательно, ${\displaystyle D=C^{+}.}$

А имеет полный ранг столбца и B имеет полный ранг строки

С ${\displaystyle A}$ имеет полный ранг столбца, ${\displaystyle A^{*}A}$ обратим, поэтому ${\displaystyle \left(A^{*}A\right)^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}}$. Аналогично, поскольку ${\displaystyle B}$ имеет полный ранг строки, ${\displaystyle BB^{*}}$ обратим, поэтому ${\displaystyle \left(BB^{*}\right)^{+}=\left(BB^{*}\right)^{-1}}$.

Написать ${\displaystyle D=B^{+}A^{+}=B^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}}$(используя редукцию к эрмитову случаю). Мы показываем, что ${\displaystyle D}$ удовлетворяет критериям Мура-Пенроуза.

${\displaystyle {\begin{aligned}CDC&=ABB^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}AB=AB=C,\\[4pt]DCD&=B^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}ABB^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}=B^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}=D,\\[4pt]CD&=ABB^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}=\left(A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}\right)^{*},\\\Rightarrow (CD)^{*}&=CD,\\[4pt]DC&=B^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}AB=B^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}B=\left(B^{*}\left(BB^{*}\right)^{-1}B\right)^{*},\\\Rightarrow (DC)^{*}&=DC.\end{aligned}}}$

Следовательно, ${\displaystyle D=C^{+}}$.

Конъюгат транспонировать

Здесь, ${\displaystyle B=A^{*}}$, и поэтому ${\displaystyle C=AA^{*}}$ и ${\displaystyle D=A^{+*}A^{+}}$. Мы показываем, что действительно ${\displaystyle D}$ удовлетворяет четырем критериям Мура-Пенроуза.

${\displaystyle {\begin{aligned}CDC&=AA^{*}A^{+*}A^{+}AA^{*}=A\left(A^{+}A\right)^{*}A^{+}AA^{*}=AA^{+}AA^{+}AA^{*}=AA^{+}AA^{*}=AA^{*}=C\\[4pt]DCD&=A^{+*}A^{+}AA^{*}A^{+*}A^{+}=A^{+*}A^{+}A\left(A^{+}A\right)^{*}A^{+}=A^{+*}A^{+}AA^{+}AA^{+}=A^{+*}A^{+}AA^{+}=A^{+*}A^{+}=D\\[4pt](CD)^{*}&=\left(AA^{*}A^{+*}A^{+}\right)^{*}=A^{+*}A^{+}AA^{*}=A^{+*}\left(A^{+}A\right)^{*}A^{*}=A^{+*}A^{*}A^{+*}A^{*}\\&=\left(AA^{+}\right)^{*}\left(AA^{+}\right)^{*}=AA^{+}AA^{+}=A\left(A^{+}A\right)^{*}A^{+}=AA^{*}A^{+*}A^{+}=CD\\[4pt](DC)^{*}&=\left(A^{+*}A^{+}AA^{*}\right)^{*}=AA^{*}A^{+*}A^{+}=A\left(A^{+}A\right)^{*}A^{+}=AA^{+}AA^{+}\\&=\left(AA^{+}\right)^{*}\left(AA^{+}\right)^{*}=A^{+*}A^{*}A^{+*}A^{*}=A^{+*}\left(A^{+}A\right)^{*}A^{*}=A^{+*}A^{+}AA^{*}=DC\end{aligned}}}$

Следовательно, ${\displaystyle D=C^{+}}$. Другими словами:

${\displaystyle \left(AA^{*}\right)^{+}=A^{+*}A^{+}}$

и с тех пор ${\displaystyle \left(A^{*}\right)^{*}=A}$

${\displaystyle \left(A^{*}A\right)^{+}=A^{+}A^{+*}}$

Проекторы и подпространства

Определять ${\displaystyle P=AA^{+}}$ и ${\displaystyle Q=A^{+}A}$. Заметьте, что ${\displaystyle P^{2}=AA^{+}AA^{+}=AA^{+}=P}$. по аналогии ${\displaystyle Q^{2}=Q}$, и наконец, ${\displaystyle P=P^{*}}$ и ${\displaystyle Q=Q^{*}}$. Таким образом ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ находятся операторы ортогонального проектирования. Ортогональность следует из соотношений ${\displaystyle P=P^{*}}$ и ${\displaystyle Q=Q^{*}}$. Действительно, рассмотрим оператор ${\displaystyle P}$: любой вектор распадается как

${\displaystyle x=Px+(I-P)x}$

и для всех векторов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ удовлетворение ${\displaystyle Px=x}$ и ${\displaystyle (I-P)y=y}$, у нас есть

${\displaystyle x^{*}y=(Px)^{*}(I-P)y=x^{*}P^{*}(I-P)y=x^{*}P(I-P)y=0}$.

Следует, что ${\displaystyle PA=AA^{+}A=A}$ и ${\displaystyle A^{+}P=A^{+}AA^{+}=A^{+}}$. По аналогии, ${\displaystyle QA^{+}=A^{+}}$ и ${\displaystyle AQ=A}$. Ортогональные компоненты теперь легко идентифицируются.

Если ${\displaystyle y}$ принадлежит к ряду ${\displaystyle A}$ тогда для некоторых ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y=Ax}$ и ${\displaystyle Py=PAx=Ax=y}$. Наоборот, если ${\displaystyle Py=y}$ тогда ${\displaystyle y=AA^{+}y}$ так что ${\displaystyle y}$ принадлежит к ряду ${\displaystyle A}$. Следует, что ${\displaystyle P}$ ортогональный проектор на диапазон ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle I-P}$ ортогональный проектор на ортогональное дополнение из диапазона ${\displaystyle A}$, что равно ядро из ${\displaystyle A^{*}}$.

Аналогичное рассуждение с использованием соотношения ${\displaystyle QA^{*}=A^{*}}$ устанавливает, что ${\displaystyle Q}$ ортогональный проектор на диапазон ${\displaystyle A^{*}}$ и ${\displaystyle (I-Q)}$ ортогональный проектор на ядро ${\displaystyle A}$.

Используя отношения ${\displaystyle P\left(A^{+}\right)^{*}=P^{*}\left(A^{+}\right)^{*}=\left(A^{+}P\right)^{*}=\left(A^{+}\right)^{*}}$ и ${\displaystyle P=P^{*}=\left(A^{+}\right)^{*}A^{*}}$ следует, что диапазон п равняется диапазону ${\displaystyle \left(A^{+}\right)^{*}}$, что, в свою очередь, означает, что диапазон ${\displaystyle I-P}$ равно ядру ${\displaystyle A^{+}}$. по аналогии ${\displaystyle QA^{+}=A^{+}}$ означает, что диапазон ${\displaystyle Q}$ равняется диапазону ${\displaystyle A^{+}}$. Следовательно, находим,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ker} \left(A^{+}\right)&=\operatorname {Ker} \left(A^{*}\right).\\\operatorname {Im} \left(A^{+}\right)&=\operatorname {Im} \left(A^{*}\right).\\\end{aligned}}}$

Дополнительные свойства

Минимизация методом наименьших квадратов

В общем случае он показан здесь для любых ${\displaystyle m\times n}$ матрица ${\displaystyle A}$ который${\displaystyle \|Ax-b\|_{2}\geq \|Az-b\|_{2}}$ куда ${\displaystyle z=A^{+}b}$. Эта нижняя граница не обязательно равна нулю, поскольку система ${\displaystyle Ax=b}$ может не иметь решения (например, когда матрица A не имеет полного ранга или система переопределена).

Чтобы доказать это, сначала отметим, что (формулируя сложный случай), используя тот факт, что${\displaystyle P=AA^{+}}$ удовлетворяет ${\displaystyle PA=A}$ и ${\displaystyle P=P^{*}}$, у нас есть

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}A^{*}(Az-b)&=A^{*}(AA^{+}b-b)\\&=A^{*}(Pb-b)\\&=A^{*}P^{*}b-A^{*}b\\&=(PA)^{*}b-A^{*}b\\&=0\end{alignedat}}}$

так что (${\displaystyle {\text{c.c.}}}$ стоит за комплексно сопряженный предыдущего срока в следующем)

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\|Ax-b\|_{2}^{2}&=\|Az-b\|_{2}^{2}+(A(x-z))^{*}(Az-b)+{\text{c.c.}}+\|A(x-z)\|_{2}^{2}\\&=\|Az-b\|_{2}^{2}+(x-z)^{*}A^{*}(Az-b)+{\text{c.c.}}+\|A(x-z)\|_{2}^{2}\\&=\|Az-b\|_{2}^{2}+\|A(x-z)\|_{2}^{2}\\&\geq \|Az-b\|_{2}^{2}\end{alignedat}}}$

как заявлено.

Если ${\displaystyle A}$ является инъективным, т.е. один к одному (что подразумевает ${\displaystyle m\geq n}$), то оценка достигается однозначно при ${\displaystyle z}$.

Решение минимальной нормы линейной системы

Приведенное выше доказательство также показывает, что если система ${\displaystyle Ax=b}$ выполнимо, т.е. имеет решение, то обязательно ${\displaystyle z=A^{+}b}$ является решением (не обязательно уникальным). Мы показываем здесь, что ${\displaystyle z}$ - наименьшее такое решение (его Евклидова норма однозначно минимально).

Чтобы увидеть это, сначала обратите внимание на ${\displaystyle Q=A^{+}A}$, который ${\displaystyle Qz=A^{+}AA^{+}b=A^{+}b=z}$ и это ${\displaystyle Q^{*}=Q}$. Следовательно, предполагая, что ${\displaystyle Ax=b}$, у нас есть

${\displaystyle {\begin{aligned}z^{*}(x-z)&=(Qz)^{*}(x-z)\\&=z^{*}Q(x-z)\\&=z^{*}\left(A^{+}Ax-z\right)\\&=z^{*}\left(A^{+}b-z\right)\\&=0.\end{aligned}}}$

Таким образом

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\|x\|_{2}^{2}&=\|z\|_{2}^{2}+2z^{*}(x-z)+\|x-z\|_{2}^{2}\\&=\|z\|_{2}^{2}+\|x-z\|_{2}^{2}\\&\geq \|z\|_{2}^{2}\end{alignedat}}}$

с равенством тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=z}$, как должно было быть показано.

Примечания

1. Бен-Исраэль и Гревиль (2003), п. 7)
2. Кэмпбелл и Мейер (1991, п. 10) Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFCampbellMeyer1991 (помощь)
3. Накамура (1991, п. 42)
4. Рао и Митра (1971), стр. 50–51).
5. Некоторые авторы используют несколько иные размеры факторов. Эти два определения эквивалентны.
6. Ади Бен-Исраэль; Томас Н.Э. Greville (2003). Обобщенные инверсии. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-00293-4.

Рекомендации

• Бен-Исраэль, Ади; Гревиль, Томас Н. (2003). Обобщенные обратные: теория и приложения (2-е изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Спрингер. Дои:10.1007 / b97366. ISBN  978-0-387-00293-4.
• Кэмпбелл, S. L .; Мейер-младший, К. Д. (1991). Обобщенные обращения линейных преобразований.. Дувр. ISBN  978-0-486-66693-8.
• Накамура, Йошихико (1991). Продвинутая робототехника: резервирование и оптимизация. Эддисон-Уэсли. ISBN  978-0201151985.
• Рао, Ч. Радхакришна; Митра, Суджит Кумар (1971). Обобщенная обратная матрица и ее приложения. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. стр.240. ISBN  978-0-471-70821-6.