Двойная основа в расширении поля - Dual basis in a field extension

В математика, то линейная алгебра идея двойная основа может применяться в контексте конечное расширение L/K, используя полевой след. Для этого требуется свойство, чтобы трассировка поля Тр_L/K обеспечивает невырожденный квадратичная форма над K. Это можно гарантировать, если расширение отделяемый; это автоматически верно, если K это идеальное поле, а значит, в случаях, когда K конечна или имеет нулевую характеристику.

А двойная основа () не конкретный основа словно полиномиальный базис или нормальная основа; скорее, это дает возможность использовать вторую основу для вычислений.

Рассмотрим две базы для элементов в конечное поле, GF (п^м):

${\displaystyle B_{1}={\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m-1}}}$

и

${\displaystyle B_{2}={\gamma _{0},\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m-1}}}$

тогда B₂ можно рассматривать как двойственную основу B₁ при условии

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\alpha _{i}\cdot \gamma _{j})=\left\{{\begin{matrix}0,&\operatorname {if} \ i\neq j\\1,&\operatorname {otherwise} \end{matrix}}\right.}$

Здесь след значения в GF (п^м) можно рассчитать следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta )=\sum _{i=0}^{m-1}\beta ^{p^{i}}}$

Использование двойной основы может обеспечить способ простого взаимодействия между устройствами, использующими разные базы, вместо того, чтобы явно преобразовывать между базами с помощью смена баз формула. Более того, если реализован дуальный базис, то преобразование из элемента в исходном базисе в двойственный базис может быть выполнено умножением на мультипликативную единицу (обычно 1).

Рекомендации

• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1994). Введение в конечные поля и их приложения. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / cbo9781139172769. ISBN  9781139172769., Определение 2.30, с. 54.