Полевой след - Field trace

Для использования в других целях см. След (значения).

В математика, то полевой след особый функция определен относительно конечный расширение поля L/K, который является K-линейная карта из L на K.

Определение

Позволять K быть полем и L конечный расширение (и, следовательно, алгебраическое расширение ) из K. L можно рассматривать как векторное пространство над K. Умножение на α, элемент L,

${\displaystyle m_{\alpha }:L\to L{\text{ given by }}m_{\alpha }(x)=\alpha x}$,

это K-линейное преобразование этого векторного пространства в себя. В след, Тр_L/K(α), определяется как (линейная алгебра) след этого линейного преобразования.^[1]

За α в L, позволять σ₁(α), ..., σ_п(α) - корни (с учетом кратности) минимальный многочлен из α над K (в некотором поле расширения K), тогда

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K(\alpha )]\sum _{j=1}^{n}\sigma _{j}(\alpha )}$.

Если L/K разделим, то каждый корень появляется только один раз^[2] (однако это не означает, что указанный выше коэффициент равен единице; например, если α является единичным элементом 1 K тогда след будет [L:K] умножить на 1).

В частности, если L/K это Расширение Галуа и α в L, то след α это сумма всех Конъюгаты Галуа из α,^[1] т.е.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(\alpha ),}$

где Gal (L/K) обозначает Группа Галуа из L/K.

Пример

Позволять ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ - квадратичное расширение ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Тогда основа ${\displaystyle L/\mathbb {Q} {\text{ is }}\{1,{\sqrt {d}}\}.}$ Если ${\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {d}}}$ тогда матрица ${\displaystyle m_{\alpha }}$ является:

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}a&bd\\b&a\end{matrix}}\right]}$,

и так, ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/\mathbb {Q} }(\alpha )=[L:\mathbb {Q} (\alpha )]\left(\sigma _{1}(\alpha )+\sigma _{2}(\alpha )\right)=1\times \left(\sigma _{1}(\alpha )+{\overline {\sigma _{1}}}(\alpha )\right)=a+b{\sqrt {d}}+a-b{\sqrt {d}}=2a}$.^[1] Минимальный многочлен от α является Икс² − 2а Икс + а² − d б².

Свойства следа

Некоторые свойства функции следа сохраняются для любого конечного расширения.^[3]

След Тр_L/K : L → K это K-линейная карта (а K-линейный функционал), то есть

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname {Tr} _{L/K}(a)+\beta \operatorname {Tr} _{L/K}(b){\text{ for all }}\alpha ,\beta \in K}$.

Если α ∈ K тогда ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=[L:K]\alpha .}$

Кроме того, трассировка ведет себя хорошо в башни полей: если M является конечным расширением L, то след от M к K это просто состав следа от M к L со следом от L к K, т.е.

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{M/K}=\operatorname {Tr} _{L/K}\circ \operatorname {Tr} _{M/L}}$.

Конечные поля

Позволять L = GF (q^п) - конечное расширение конечное поле K = GF (q). С L/K это Расширение Галуа, если α в L, то след α это сумма всех Конъюгаты Галуа из α, т.е.^[4]

${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(\alpha )=\alpha +\alpha ^{q}+\cdots +\alpha ^{q^{n-1}}}$.

В этом параметре у нас есть дополнительные свойства,^[5]

• ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{L/K}(a^{q})=\operatorname {Tr} _{L/K}(a){\text{ for }}a\in L}$
• ${\displaystyle {\text{for any }}\alpha \in K,{\text{ we have }}|\{b\in L\colon \operatorname {Tr} _{L/K}(b)=\alpha \}|=q^{n-1}}$

Теорема.^[6] За б ∈ L, позволять F_б быть картой ${\displaystyle a\mapsto \operatorname {Tr} _{L/K}(ba).}$ потом F_б ≠ F_c если б ≠ c. Более того, K-линейные преобразования из L к K - это в точности карты вида F_б в качестве б меняется по полю L.

Когда K является простым подполем поля L, след называется абсолютный след а в противном случае это относительный след.^[4]

Заявление

Квадратное уравнение, топор² + bx + c = 0, с а ≠ 0, а коэффициенты в конечном поле ${\displaystyle \operatorname {GF} (q)=\mathbb {F} _{q}}$ имеет 0, 1 или 2 корня в GF (q) (и два корня с учетом кратности в квадратичном расширении GF (q²)). Если характеристика ГФ (q) нечетно, дискриминант, Δ = б² − 4ac указывает количество корней в GF (q) и классический квадратичная формула дает корни. Однако когда GF (q) имеет четную характеристику (т.е. q = 2^час для некоторого положительного целого числа час) эти формулы больше не применимы.

Рассмотрим квадратное уравнение топор² + bx + c = 0 с коэффициентами в конечном поле GF (2^час).^[7] Если б = 0, то это уравнение имеет единственное решение ${\displaystyle x={\sqrt {\frac {c}{a}}}}$ в ГФ (q). Если б ≠ 0 тогда замена у = топор/б преобразует квадратное уравнение к виду:

${\displaystyle y^{2}+y+\delta =0,{\text{ where }}\delta ={\frac {ac}{b^{2}}}}$.

Это уравнение имеет два решения в GF (q) тогда и только тогда, когда абсолютный след ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(\delta )=0.}$ В этом случае, если у = s является одним из решений, то у = s + 1 это другой. Позволять k - любой элемент из GF (q) с ${\displaystyle \operatorname {Tr} _{GF(q)/GF(2)}(k)=1.}$ Тогда решение уравнения дается следующим образом:

${\displaystyle y=s=k\delta ^{2}+(k+k^{2})\delta ^{4}+\ldots +(k+k^{2}+\ldots +k^{2^{h-2}})\delta ^{2^{h-1}}}$.

Когда час = 2м + 1 решение дается более простым выражением:

${\displaystyle y=s=\delta +\delta ^{2^{2}}+\delta ^{2^{4}}+\ldots +\delta ^{2^{2m}}}$.

Форма следа

Когда L/K отделима, след дает теория двойственности через форма следа: карта из L × L к K отправка (Икс, у) к Тр_L/K(ху) это невырожденный, симметричный, билинейная форма называется формой следа. Пример того, где это используется, находится в алгебраическая теория чисел в теории другой идеал.

Форма следа для расширения поля конечной степени L/K имеет неотрицательный подпись для любого порядок полей из K.^[8] Наоборот, каждый Эквивалентность Витта класс с неотрицательной сигнатурой содержит форму следа, верно для полей алгебраических чисел K.^[8]

Если L/K является неотделимое расширение, то форма следа тождественно равна 0.^[9]

Смотрите также

• Норма поля
• Уменьшенный след

Примечания

1. Ротман 2002, п. 940
2. Ротман 2002, п. 941
3. Роман 1995, п. 151 (1-е изд.) Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFRoman1995 (помощь)
4. Lidl & Niederreiter 1997, стр.54
5. Mullen & Panario 2013, п. 21 год
6. Lidl & Niederreiter 1997, стр.56
7. Хиршфельд 1979, стр. 3-4
8. Лоренц (2008) стр.38
9. Айзекс 1994, п. 369, как указано в сноске Ротман 2002, п. 943

Рекомендации

• Хиршфельд, J.W.P. (1979), Проективные геометрии над конечными полями, Oxford Mathematical Monographs, Oxford University Press, ISBN  0-19-853526-0
• Айзекс, И. М. (1994), Алгебра, Аспирантура, Brooks / Cole Publishing
• Лидл, Рудольф; Нидеррайтер, Харальд (1997) [1983], Конечные поля, Энциклопедия математики и ее приложений, 20 (Второе изд.), Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-39231-4, Zbl  0866.11069
• Лоренц, Фалько (2008). Алгебра. Том II: Поля со структурой, алгебры и сложные темы. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4. Zbl  1130.12001.
• Mullen, Gary L .; Панарио, Даниэль (2013), Справочник конечных полей, CRC Press, ISBN  978-1-4398-7378-6
• Роман, Стивен (2006), Теория поля, Тексты для выпускников по математике, 158 (Второе изд.), Springer, Глава 8, ISBN  978-0-387-27677-9, Zbl  1172.12001
• Ротман, Джозеф Дж. (2002), Продвинутая современная алгебра, Прентис Холл, ISBN  978-0-13-087868-7

дальнейшее чтение

• Коннер, П.Е .; Перлис, Р. (1984). Обзор форм следов полей алгебраических чисел. Серия по чистой математике. 2. World Scientific. ISBN  9971-966-05-0. Zbl  0551.10017.
• Раздел VI.5 Ланг, Серж (2002), Алгебра, Тексты для выпускников по математике, 211 (Пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-95385-4, МИСТЕР  1878556, Zbl  0984.00001