Алгебра Даффина – Кеммера – Петио - Duffin–Kemmer–Petiau algebra

В математическая физика, то Алгебра Даффина – Кеммера – Петио (алгебра DKP), представлен Р.Дж. Даффин, Николас Кеммер и Ж. Петио, алгебра которое порождается матрицами Даффина – Кеммера – Петьо. Эти матрицы составляют часть Уравнение Даффина – Кеммера – Петио. который обеспечивает релятивистское описание частиц со спином 0 и спином 1.

Алгебру DKP также называют мезонная алгебра.^[1]

Определение отношений

Матрицы Даффина – Кеммера – Петио обладают определяющим соотношением^[2]

${\displaystyle \beta ^{a}\beta ^{b}\beta ^{c}+\beta ^{c}\beta ^{b}\beta ^{a}=\beta ^{a}\eta ^{bc}+\beta ^{c}\eta ^{ba}}$

куда ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ стоять за постоянный диагональная матрица. Матрицы Даффина – Кеммера – Петио. ${\displaystyle \beta }$ для которого ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ состоит из диагональных элементов (+ 1, -1,…, -1), составляющих часть уравнения Даффина – Кеммера – Петио. Пятимерные матрицы ДКП можно представить в виде:^[3][4]

${\displaystyle \beta ^{0}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \beta ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \beta ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \beta ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$

Эти пятимерные матрицы DKP представляют частицы со спином 0. Матрицы DKP для частиц со спином 1 10-мерны.^[3] DKP-алгебра может быть сведена к прямой сумме неприводимых подалгебр для бозонов со спином 0 и спином 1, причем подалгебры определяются правилами умножения для линейно независимых базисных элементов.^[5]

Уравнение Даффина – Кеммера – Петио.

В Уравнение Даффина – Кеммера – Петио. (Уравнение ДКП, также: Уравнение Кеммера) это релятивистское волновое уравнение который описывает частицы со спином 0 и спином 1 в описании стандартная модель. Для частиц с ненулевой массой уравнение ДКП имеет вид^[2]

${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$

куда ${\displaystyle \beta ^{a}}$ - матрицы Даффина – Кеммера – Петьо, ${\displaystyle m}$ это частица масса, ${\displaystyle \psi }$ это волновая функция, ${\displaystyle \hbar }$ сокращенный Постоянная Планка, ${\displaystyle c}$ в скорость света. Для безмассовых частиц термин ${\displaystyle mc}$ заменяется сингулярной матрицей ${\displaystyle \gamma }$ что подчиняется отношениям ${\displaystyle \beta ^{a}\gamma +\gamma \beta ^{a}=\beta ^{a}}$ и ${\displaystyle \gamma ^{2}=\gamma }$.

Уравнение ДКП для спина 0 тесно связано с Уравнение Клейна – Гордона^[4][6] а уравнение для спина-1 - к Уравнения Прока.^[7] Оно страдает тем же недостатком, что и уравнение Клейна – Гордона, поскольку требует отрицательные вероятности.^[4] Так же Ковариантные гамильтоновы полевые уравнения де Дондера – Вейля могут быть сформулированы в терминах матриц DKP.^[8]

История

Алгебра Даффина – Кеммера – Петио была введена в 1930-х годах Р.Дж. Даффин,^[9] Н. Кеммер^[10] и Г. Петяу.^[11]

дальнейшее чтение

• М. К. Б. Фернандес, Дж. Д. М. Вианна: Об обобщенном фазовом подходе к частицам Даффина – Кеммера – Петио, Основы физики, т. 29, нет. 2. С. 201–219, 1999, Дои:10.1023 / А: 1018869505031 (Абстрактные )
• Марко Сезар Б. Фернандес, Дж. Дэвид М. Вианна: Об алгебре Даффина-Кеммера-Петио и обобщенном фазовом пространстве, Brazilian Journal of Physics, vol. 28 п. 4, Сан-Паулу, декабрь 1998 г., ISSN 0103-9733, Дои:10.1590 / S0103-97331998000400024 (полный текст )
• Павел Винтерниц и др. (ред.): Симметрия в физике: памяти Роберта Т. Шарпа, CRM Proceedings and Lecture Notes, 2004, ISBN  0-8218-3409-6, раздел «Уравнения Бхабхи и Даффина – Кеммера – Петио: спин ноль и спин один», п. 50 сл.
• В.Я. Файнберг, Б. М. Пиментель: Уравнения Даффина – Кеммера – Петио и Клейна – Гордона – Фока для электромагнитных взаимодействий, взаимодействий Янга – Миллса и внешнего гравитационного поля: доказательство эквивалентности, hep-th / 0003283, подано 30. марта 2000 г.

Рекомендации

1. Жак Хельмштеттер, Артибано Микали: О структуре мезонных алгебр, Успехи в прикладных алгебрах Клиффорда, т. 20, нет. 3-4, стр. 617-629, Дои:10.1007 / s00006-010-0213-0, Абстрактные
2. См. Вводную часть: Павлов Ю.В.: Уравнение Даффина – Кеммера – Петио с неминимальной связью с кривизной, Гравитация и космология, т. 12 (2006), №2–3, с. 205–208
3. См., Например, I. Boztosun, M. Karakoc, F. Yasuk, A. Durmus: Решение релятивистского уравнения Даффина-Кеммера-Петьо методом асимптотических итераций, Journal of Mathematical Physics vol. 47, 062301 (2006), Дои:10.1063/1.2203429, arXiv: math-ph / 0604040v1 (представлено 18 апреля 2006 г.) [1]
4. Антон З. Капри: Релятивистская квантовая механика и введение в квантовую теорию поля, World Scientific, 2002, ISBN  981-238-136-8, п. 25
5. Эфраим Фишбах, Майкл Мартин Ньето, К. К. Скотт: Подалгебры Даффина-Кеммера-Петио: представления и приложения, Журнал математической физики, т. 14, вып. 12, 1760 (1973), Дои:10.1063/1.1666249 (Абстрактные В архиве 2012-07-13 в Archive.today )
6. Р. Казана, В.Я. Файнберг, Дж. Лунарди, Р. Тейшейра, Б. Пиментел: Безмассовые поля ДКП в пространстве-времени Римана-Картана^{[постоянная мертвая ссылка ]}, arXiv: gr-qc / 0209083v2 (подано 23 сентября 2002 г., версия от 12 марта 2003 г.)
7. Сергей Круглов: Симметрия и электромагнитное взаимодействие полей с мультиспином. Том современной фундаментальной физики, ISBN  1-56072-880-9, 2000, п. 26
8. Канатчиков Игорь Васильевич: О формулировке Даффина – Кеммера – Петио ковариантной гамильтоновой динамики в теории поля, hep-th / 9911 / 9911175v1 (представлено 23 ноября 1999 г.)
9. Р.Дж. Даффин: О характеристических матрицах ковариантных систем., Phys. Rev. Lett., Vol. 54, 1114 (1938), Дои:10.1103 / PhysRev.54.1114
10. Н. Кеммер: Частичный аспект теории мезонов, Труды Королевского общества A, vol. 173, стр. 91–116 (1939), Дои:10.1098 / rspa.1939.0131
11. G. Petiau, диссертация Парижского университета (1936), опубликованная в Acad. Рой. de Belg., A. Sci. Mem. Сбор. Об. 16, N 2, 1 (1936)